Esercizio Dipolo Elettrico
Un dipolo di momento elettrico P e momento d'inerzia I rispetto ad un'asse passante per il centro ed ortogonale a P è immerso in un campo uniforme E. Descrivere il moto del dipolo quando viene spostato di un piccolo angolo rispetto alla posizione di equilibrio.
Un caloroso ringraziamento a chi saprà risolvere questo mio quesito.
Un caloroso ringraziamento a chi saprà risolvere questo mio quesito.
Risposte
Faccio un discorso qualitativo, gli esperti dei momenti d'inerzia mi correggano pure!
La situazione di equilibrio stabile è quella in cui il dipolo è parallelo al campo elettrico.
In questa situazione l'energia E(t=0) vale (F è il modulo del campo elettrico):
E(t=0) = -pF*cos(0) = -pF
Se l'angolo varia di dt:
E(0+dt) = -pF*cos(0+dt) = -pF*cos(dt)
Quindi la variazione di energia:
dE(0) = -pF*cos(dt) - (-pF) = pF(1-cos(dt))
se dt è piccolo il coseno vale circa 1-(dt^2)/2, quindi:
dE(0) = (pF/2) * (dt)^2
Se L è la semidistanza delle due cariche che formano il dipolo, l'angolo dt si può scrivere come:
dt = dx/L
dove dx è l'arco di circonferenza di cui si sposta ciascuna carica. Essendo dx piccolo possiamo approssimarlo ad un segmentino rettilineo.
Riscriviamo dE:
dE = (pF/(2*L^2)) * (dx)^2
La forza che agisce sulla carica q sarà allora la derivata di dE rispetto a x (col segno opposto) (è la legge F=-grad(E)):
Forza = - (pF/(L^2)) * dx
Chiamiamo k=(pF/(L^2)) e allora:
Forza = - k * x
ovvero il moto del dipolo è armonico con costante elastica k.
Modificato da - goblyn il 28/10/2003 12:54:03
La situazione di equilibrio stabile è quella in cui il dipolo è parallelo al campo elettrico.
In questa situazione l'energia E(t=0) vale (F è il modulo del campo elettrico):
E(t=0) = -pF*cos(0) = -pF
Se l'angolo varia di dt:
E(0+dt) = -pF*cos(0+dt) = -pF*cos(dt)
Quindi la variazione di energia:
dE(0) = -pF*cos(dt) - (-pF) = pF(1-cos(dt))
se dt è piccolo il coseno vale circa 1-(dt^2)/2, quindi:
dE(0) = (pF/2) * (dt)^2
Se L è la semidistanza delle due cariche che formano il dipolo, l'angolo dt si può scrivere come:
dt = dx/L
dove dx è l'arco di circonferenza di cui si sposta ciascuna carica. Essendo dx piccolo possiamo approssimarlo ad un segmentino rettilineo.
Riscriviamo dE:
dE = (pF/(2*L^2)) * (dx)^2
La forza che agisce sulla carica q sarà allora la derivata di dE rispetto a x (col segno opposto) (è la legge F=-grad(E)):
Forza = - (pF/(L^2)) * dx
Chiamiamo k=(pF/(L^2)) e allora:
Forza = - k * x
ovvero il moto del dipolo è armonico con costante elastica k.
Modificato da - goblyn il 28/10/2003 12:54:03
Se il campo è uniforme le forze sulle cariche, una positiva ed una negativa, si equilibrano, rimane però un momento diverso da zero. Il dipolo quindi rimane fermo nel campo uniforme nella sua posizione di equilibrio stabile, cioè col momento di dipolo p parallelo e concorde al campo E. Facendo ruotare il dipolo di un angolo ß rispetto alla posizione di equilibrio stabile, esso risente di un momento delle forze M che tende a riportarlo nella posizione ß=0 fino a raggiungerla e superarla per inerzia, innescando così un moto oscillatorio. Passiamo ai conti.
Sappiamo che M = p x E
Proiettando sull’asse di rotazione z risulta
Nell’ipotesi che l’angolo sia piccolo, cioè in modo da poter approssimare il senß con ß otteniamo
che non è altro che l’equazione di un moto armonico con pulsazione
La posizione angolare e la velocità angolare sono
Il moto è del tutto simile al pendolo di torsione, cioè è presente un momento di richiamo di tipo elastico M = -kß. Se l’angolo è grande le cose si complicano, comunque se ti serve posso darti le formule.
WonderP.
Sappiamo che M = p x E
Proiettando sull’asse di rotazione z risulta
Nell’ipotesi che l’angolo sia piccolo, cioè in modo da poter approssimare il senß con ß otteniamo
che non è altro che l’equazione di un moto armonico con pulsazione
La posizione angolare e la velocità angolare sono
Il moto è del tutto simile al pendolo di torsione, cioè è presente un momento di richiamo di tipo elastico M = -kß. Se l’angolo è grande le cose si complicano, comunque se ti serve posso darti le formule.
WonderP.
grazie per il prezioso aiuto...
per Wonder... se ti avanzano un paio di formule bhe... non posso certo rifiutarle, mi farebbero mooolto comodo!
per Wonder... se ti avanzano un paio di formule bhe... non posso certo rifiutarle, mi farebbero mooolto comodo!
Se l’angolo è grande il moto non è più armonico, pur restando periodico.
Applicando la conservazione dell’energia si può esprimere la velocità in funzione dell’angolo:
WonderP.
Applicando la conservazione dell’energia si può esprimere la velocità in funzione dell’angolo:
WonderP.
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