ESERCIZIO DINAMOMETRO
ho il seguente esercizio:
La scala graduata di un dinamometro è lunga 8cm e segna da 0 a 12kg. Determinare la massa di un carico che, appeso al dinamometro, lo fa oscillare con frequenza 2,5Hz.
ho pensato di risolvere nel modo seguente:
l'equazione del moto è\(\displaystyle x(t)=Asin( \omega t+ \phi )\), per quanto riguarda la velocità abbiamo\(\displaystyle v(t)=-\omega Asin(\omega t+ \phi ) \) l'accelerazione è \(\displaystyle a(t)=- {\omega} ^2 Asin( \omega t+ \phi )\), sappiamo che la frequenza è \(\displaystyle f = \omega /{2 \pi} \), quindi ci ricaviamo la velocità angolare , avremo \(\displaystyle \omega =2f \pi =15,71 rad/sec\) ora sappiamo che l'accelerazione è massima per \(\displaystyle \omega t+ \phi = 0 \), per questo valore avremmo \(\displaystyle a(t) = -\omega ^2A = 19,74m/s^2 \), adesso sappiamo che \(\displaystyle -F_{el}+P=ma \), qui mi vengono dei dubbi su come ricavare la forza elastica, comunque sappiamo che \(\displaystyle F_{el}=-k \Delta x \), ho pensato che potessimo ricavarla sostituendo a \(\displaystyle k \Delta x = 12kg*19.74*0,08 \) per poi trovarmi la massa, soltanto che i miei conti non tornano con il risultato finale del libro, vorresi sapere innanzitutto se stavo procedendo bene e come faccio a trovare la forza elastica per poi ricavarmi la massa. grazie mille.
La scala graduata di un dinamometro è lunga 8cm e segna da 0 a 12kg. Determinare la massa di un carico che, appeso al dinamometro, lo fa oscillare con frequenza 2,5Hz.
ho pensato di risolvere nel modo seguente:
l'equazione del moto è\(\displaystyle x(t)=Asin( \omega t+ \phi )\), per quanto riguarda la velocità abbiamo\(\displaystyle v(t)=-\omega Asin(\omega t+ \phi ) \) l'accelerazione è \(\displaystyle a(t)=- {\omega} ^2 Asin( \omega t+ \phi )\), sappiamo che la frequenza è \(\displaystyle f = \omega /{2 \pi} \), quindi ci ricaviamo la velocità angolare , avremo \(\displaystyle \omega =2f \pi =15,71 rad/sec\) ora sappiamo che l'accelerazione è massima per \(\displaystyle \omega t+ \phi = 0 \), per questo valore avremmo \(\displaystyle a(t) = -\omega ^2A = 19,74m/s^2 \), adesso sappiamo che \(\displaystyle -F_{el}+P=ma \), qui mi vengono dei dubbi su come ricavare la forza elastica, comunque sappiamo che \(\displaystyle F_{el}=-k \Delta x \), ho pensato che potessimo ricavarla sostituendo a \(\displaystyle k \Delta x = 12kg*19.74*0,08 \) per poi trovarmi la massa, soltanto che i miei conti non tornano con il risultato finale del libro, vorresi sapere innanzitutto se stavo procedendo bene e come faccio a trovare la forza elastica per poi ricavarmi la massa. grazie mille.
Risposte
Mi sembra che si potrebbe ragionare così....
Se la molla si deforma di $Delta x=8 \ cm$ quando viene sollecitata dal peso $mg$ di una massa $m = 12 \ kg$, la costante elastica $k$ si può calcolare da
$mg=k Delta x->k=(mg)/(Delta x)$.
Ma la pulsazione è
$omega=sqrt(k/M)=sqrt(((mg)/(Delta x))/M)=sqrt((mg)/(MDelta x))$
e la frequenza è
$f=omega/(2 pi)=1/(2pi)sqrt((mg)/(MDelta x))->f^2=1/(4pi^2)(mg)/(MDelta x)$.
Da cui
$M=1/(4pi^2)(mg)/(f^2Delta x)=5.96 \ kg$.
Se la molla si deforma di $Delta x=8 \ cm$ quando viene sollecitata dal peso $mg$ di una massa $m = 12 \ kg$, la costante elastica $k$ si può calcolare da
$mg=k Delta x->k=(mg)/(Delta x)$.
Ma la pulsazione è
$omega=sqrt(k/M)=sqrt(((mg)/(Delta x))/M)=sqrt((mg)/(MDelta x))$
e la frequenza è
$f=omega/(2 pi)=1/(2pi)sqrt((mg)/(MDelta x))->f^2=1/(4pi^2)(mg)/(MDelta x)$.
Da cui
$M=1/(4pi^2)(mg)/(f^2Delta x)=5.96 \ kg$.
Intanto grazie il risultato è esatto, quello che non mi è chiaro è che quindi devo supporre che il corpo sia fermo cioè\(\displaystyle F_{tot} = -k \Delta x +mg=0 \) quindi non vi è accelerazione, inoltre perchè dici che la pulsazione è \(\displaystyle \omega \sqrt{k/M} \)? grazie.
Il passo del testo che dice "La scala graduata di un dinamometro è lunga 8cm e segna da 0 a 12kg" mi sembra voglia dire che il dinamometro, per effetto del peso di una massa di 12 kg, si deformi di 8 cm.
In un moto oscillatorio si ha che
$ddot x=-omega^2 x$,
ma, se il moto è prodotto da una forza elastica, è anche
$M ddot x =-k x$.
Per cui
$omega^2=k/M$
e
$omega=sqrt(k/M)$.
In un moto oscillatorio si ha che
$ddot x=-omega^2 x$,
ma, se il moto è prodotto da una forza elastica, è anche
$M ddot x =-k x$.
Per cui
$omega^2=k/M$
e
$omega=sqrt(k/M)$.
grazie mille
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