Esercizio dinamica sistemi
una corda di densita omogenea $lambda$ e' appesa per un suo capo ad altezza h mentre l'altro
poggia sul terreno. Ad un certo istante viene lasciata cadere; supposto y la variazione di quota
e supposto che la corda non rimbalzi per terra scrivere la legge della forza trasmessa a terra in
funzione della variazione di quota.
Osservo che la quantita' di moto trasmessa a terra dell'elemento infinitesimo e' data dalla
velocita' con cui impatta al suolo $vecq = deltam vecv$ mentre la caduta dell'elemento infinitesimo
avviene con moto uniformemente accelerato.
Come devo sintetizzare la formula?
posso utilizzare la conservazione dell'energia come alternativa? e come?
poggia sul terreno. Ad un certo istante viene lasciata cadere; supposto y la variazione di quota
e supposto che la corda non rimbalzi per terra scrivere la legge della forza trasmessa a terra in
funzione della variazione di quota.
Osservo che la quantita' di moto trasmessa a terra dell'elemento infinitesimo e' data dalla
velocita' con cui impatta al suolo $vecq = deltam vecv$ mentre la caduta dell'elemento infinitesimo
avviene con moto uniformemente accelerato.
Come devo sintetizzare la formula?
posso utilizzare la conservazione dell'energia come alternativa? e come?
Risposte
Allora la $vecF = d/dt (M(t)vecv(t)) + M(t)vecg$ almeno credo...
$M(t)=lambda*y(t)$ dove $y(t)=1/2*g*t^2$ $=> d/dt(M(t))= lambda*g*t$
si ha : $vecF = d/dt (M(t)) vecv(t)+M(t)d/dt vecv(t) + M(t)vecg$
proiettando lungo l'asse y rivolto verso il basso si ha:
$F= lambda g^2 t^2+1/2lambda g^2 t^2+1/2lambda g^2 t^2= 2lambda (g t)^2$ ma a questo punto
$y=1/2*g*t^2$ e $t^2=2y/g$ da cui $F=4 lambdagy$
non sono molto sicuro di M(t)
ed il risultato dovrebbe essere $3lambdagy$......chiedo lumi
$M(t)=lambda*y(t)$ dove $y(t)=1/2*g*t^2$ $=> d/dt(M(t))= lambda*g*t$
si ha : $vecF = d/dt (M(t)) vecv(t)+M(t)d/dt vecv(t) + M(t)vecg$
proiettando lungo l'asse y rivolto verso il basso si ha:
$F= lambda g^2 t^2+1/2lambda g^2 t^2+1/2lambda g^2 t^2= 2lambda (g t)^2$ ma a questo punto
$y=1/2*g*t^2$ e $t^2=2y/g$ da cui $F=4 lambdagy$
non sono molto sicuro di M(t)
ed il risultato dovrebbe essere $3lambdagy$......chiedo lumi
Immagino che tu abbia indicato con $y$ la distanza percorsa dal punto superiore del filo.
Se è così, confermo che il risultato è $3\lambda g y$ fino a che $0<=y<=h$ o $t<=\sqrt(2h/g)$, poi la forza è $\lambda g h$.
Per trovarlo devi considerare:
1) il peso del filo che giace sul piano
2) la forza di impatto uguale alla derivata temporale della quantità di moto... (la variazione di quantità di moto del tratto di filo che si arresta nell'unità di tempo...)
prova...
Non credo tu possa ragionare con la conservazione dell'energia meccanica, si tratta di urto completamente anelastico e quindi necessariamente ci sarà dissipazione...
ciao
Se è così, confermo che il risultato è $3\lambda g y$ fino a che $0<=y<=h$ o $t<=\sqrt(2h/g)$, poi la forza è $\lambda g h$.
Per trovarlo devi considerare:
1) il peso del filo che giace sul piano
2) la forza di impatto uguale alla derivata temporale della quantità di moto... (la variazione di quantità di moto del tratto di filo che si arresta nell'unità di tempo...)
prova...
Non credo tu possa ragionare con la conservazione dell'energia meccanica, si tratta di urto completamente anelastico e quindi necessariamente ci sarà dissipazione...
ciao
Io l'ho interpretata così ( con qualche dubbio !).
Non uso la notazione vettoriale visto che le forze e gli impulsi in gioco hanno medesimi direzione e verso.
Sia $lambdady$ l'lemento di corda che cade per effetto della variazione di quota y.L'impuslo che esso trasmette
sara' dato da :
$dq=v dm =sqrt(2gy)*lambda dy$ e da qui si ricava che $(dq)/(dy)=lambda sqrt(2gy)$
Pertanto la forza totale agente sul suolo sarà :
$F=(dq)/(dt)+mg=(dq)/(dy)*(dy)/(dt)+lambdayg=(dq)/(dy)*v+lambdagy=lambda sqrt(2gy)*sqrt(2gy)+lambda gy=3lambdagy$
Ciao
Non uso la notazione vettoriale visto che le forze e gli impulsi in gioco hanno medesimi direzione e verso.
Sia $lambdady$ l'lemento di corda che cade per effetto della variazione di quota y.L'impuslo che esso trasmette
sara' dato da :
$dq=v dm =sqrt(2gy)*lambda dy$ e da qui si ricava che $(dq)/(dy)=lambda sqrt(2gy)$
Pertanto la forza totale agente sul suolo sarà :
$F=(dq)/(dt)+mg=(dq)/(dy)*(dy)/(dt)+lambdayg=(dq)/(dy)*v+lambdagy=lambda sqrt(2gy)*sqrt(2gy)+lambda gy=3lambdagy$
Ciao
Stavolta manlio avrei fatto come te... 
grazie molte manlio alla prossima!
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