Esercizio dinamica del CR. Risolto.
Ho il seguente esercizio risolto:
Punto 2)
Non mi è tanto chiaro il punto 2)!
Insomma, perchè per descrivere il moto comincia con la potenza dell'atto di un corpo rigido $Pi = R*v_O + M_O*omega$
Punto 3)
E poi come conseguenza non comprendo il perchè del modus operandi del punto 3)!
Potete per favore aiutarmi a capire il filo logico
Punto 2)
Non mi è tanto chiaro il punto 2)!
Insomma, perchè per descrivere il moto comincia con la potenza dell'atto di un corpo rigido $Pi = R*v_O + M_O*omega$
Punto 3)
E poi come conseguenza non comprendo il perchè del modus operandi del punto 3)!
Potete per favore aiutarmi a capire il filo logico
Risposte
La risposta al tuo quesito del punto 2 è probabilmente che si vuole vengano applicati principi "avanzati".
Se invece tu volessi ragionare più terra-terra, ti offro uno spunto di soluzione diversa (che ovviamente conduce agli stessi risultati).
In analogia con le considerazioni che applicano le equazioni cardinali in direzione x, si potrebbe applicare la formula del corpo rigido:
$${M_G} = {I_G}\ddot \theta $$
Rispetto a G abbiamo 3 componenti che formano il momento complessivo, ovvero la coppia C e i momenti delle forze $F_{Ax}$ e $F_{Ay}$.
Sussistono le seguenti relazioni:
$${F_{Ax}} = - k{x_A}$$
$${F_{Ay}} + mg = m{{\ddot y}_G}$$
Questa seconda dice che l'accelerazione verticale è data dalla somma vettoriale della forza peso più la reazione verticale del punto A, da cui:
$$\eqalign{
& {y_G} = \frac{l}
{2}\cos \theta \cr
& {{\dot y}_G} = - \dot \theta \frac{l}
{2}\sin \theta \cr
& {{\ddot y}_G} = - \ddot \theta \frac{l}
{2}\sin \theta - {{\dot \theta }^2}\frac{l}
{2}\cos \theta \cr
& {F_{Ay}} = - m\ddot \theta \frac{l}
{2}\sin \theta - m{{\dot \theta }^2}\frac{l}
{2}\cos \theta - mg \cr} $$
Allora sommando i tre contributi al momento complessivo ed eguagliandoli al prodotto del momento di inerzia baricentrico per l'accelerazione angolare si ha:
$$ - \frac{1}
{2}lmg\sin \theta - \frac{1}
{4}{l^2}m\ddot \theta {\sin ^2}\theta - \frac{1}
{4}{l^2}m{{\dot \theta }^2}\sin \theta \cos \theta + k{x_A}\frac{1}
{2}l\cos \theta + C = \frac{1}
{{12}}m{l^2}\ddot \theta $$
Questa equazione unita a quella che il libro propone riguardante le forze orizzontali risolve il problema, senza aver invocato la potenza.
Se invece tu volessi ragionare più terra-terra, ti offro uno spunto di soluzione diversa (che ovviamente conduce agli stessi risultati).
In analogia con le considerazioni che applicano le equazioni cardinali in direzione x, si potrebbe applicare la formula del corpo rigido:
$${M_G} = {I_G}\ddot \theta $$
Rispetto a G abbiamo 3 componenti che formano il momento complessivo, ovvero la coppia C e i momenti delle forze $F_{Ax}$ e $F_{Ay}$.
Sussistono le seguenti relazioni:
$${F_{Ax}} = - k{x_A}$$
$${F_{Ay}} + mg = m{{\ddot y}_G}$$
Questa seconda dice che l'accelerazione verticale è data dalla somma vettoriale della forza peso più la reazione verticale del punto A, da cui:
$$\eqalign{
& {y_G} = \frac{l}
{2}\cos \theta \cr
& {{\dot y}_G} = - \dot \theta \frac{l}
{2}\sin \theta \cr
& {{\ddot y}_G} = - \ddot \theta \frac{l}
{2}\sin \theta - {{\dot \theta }^2}\frac{l}
{2}\cos \theta \cr
& {F_{Ay}} = - m\ddot \theta \frac{l}
{2}\sin \theta - m{{\dot \theta }^2}\frac{l}
{2}\cos \theta - mg \cr} $$
Allora sommando i tre contributi al momento complessivo ed eguagliandoli al prodotto del momento di inerzia baricentrico per l'accelerazione angolare si ha:
$$ - \frac{1}
{2}lmg\sin \theta - \frac{1}
{4}{l^2}m\ddot \theta {\sin ^2}\theta - \frac{1}
{4}{l^2}m{{\dot \theta }^2}\sin \theta \cos \theta + k{x_A}\frac{1}
{2}l\cos \theta + C = \frac{1}
{{12}}m{l^2}\ddot \theta $$
Questa equazione unita a quella che il libro propone riguardante le forze orizzontali risolve il problema, senza aver invocato la potenza.
E adesso riesco a capire con chiarezza, mentre quel metodo del testo mi è un po scomodo da capire!
Ti ringrazio per la spiegazione
Ti ringrazio per la spiegazione
Altro esercizio in cui mi viene chiesto di scrivere l'equazione del moto:
Il sistema di figura `e posto in un piano verticale e si compone di un’asta omogenea $AB$ di lunghezza , massa $m$ e di un disco con centro$ C $di raggio$ R$ e massa m. L’asta è vincolata a scorrere in direzione verticale tramite un manicotto ed il suo estremo $B$ è incernierato alla circonferenza del disco. Il disco è libero di strisciare senza attrito sulla guida orizzontale. Sia $H$ il punto di contatto tra disco e guida. Sul centro $C$ agisce una forza $F = F (t)$ i incognita.
Si chiede di:
(1.) scrivere l’equazione di moto;
(2.) determinare la forza $F (t)$ tale che il disco si muova con velocit`a angolare costante $omega = omega_0 hat(k)$;
(3.) calcolare in tale situazione le reazioni vincolari che l’asta esercita sul disco in $B$.
Punto 1)
QUi cosa conviene fare per scrivere l'equazione del moto
Da quello che ho capito io mi sembra che ci sia una forza che agisce sul punto $C$ che spinge il disco verso destra e quindi l'asta va verso l'alto, vero
A colpo d'occhio posso dire che se devo individuare un moto, allora bisogna individuare delle coordinate iniziali e quindi si ha che:
$x_C = H-O$
$y_C = y_B - R*sen theta$
sto trattando il movimento come un punto materiale, punto che è il centro di massa del disco.
Derivo queste due espressioni ed ho la velocità del punto $C$:
$dot(x)_C = (H-O)'$
$dot(y)_C = dot(y)_B - R*dot(theta)cos theta$
Sono andato a vedere la soluzione del testo per questo primo punto e quello che non capisco io è perchè il testo fa il mio stesso ragionamento, solo che ragiona sul punto $B$
Ecco cosa fa:
P.S. Noto che il mio testo usa descrivere il moto con il teorema dell'energia cinetica, potete per favore aiutarmi a capire questo modo di operare Perchè conviene usare questo metodo
E poi arriva a usare ancora una volta la potenza $dot(T) = Pi$ che deriva dalla $Pi = F*v$, che sinceramente non mi da soddisfazione nel capire bene il modo di operare!
Punto 2)
Ecco la risoluzione del testo:
Comprendo quello che dice, ma non sto capendo come arriva alla seguente formula :
$F(t) = (mg)/(tan(omega_0 t + theta_0))$
Facendo lo schema dei vettori in gioco, ho pensato alla seguente configurazione:
dalla quale mi viene fuori questa espressione:
$ma_(Cm) = F(t) - f - F(a s t a)$
$f$ è la forza di attrito che in questo caso è $f=0$ in quanto c'è strisciamento.
La direzione della forza dell'asta è data dalla seguente $tg theta= (y)/(x)$, ma a noi interessa il $theta$ in funzione del tempo e si sa dal moto uniformemente accelerato che $theta(t) = omega_0 t + theta_0$.
In sostanza la massa $m$ è dell'asta e quindi l'asta è soggetta alla forza $F(t)$ che viene applicata nel $CM$ della circonferenza, quindi la forza lungo l'angolo $theta$ è data dalla seguente relazione:
$F(t)* tg theta = mg$
dalla quale si arriva alla seguente:
$F(t) = (mg)/(tan(omega_0 t + theta_0))$
Dite che ho compreso perfettamente il punto 2)
Help!
Punto 3)
Questo è lo schema dei vettori che fa il testo:
capisco il disegno a sinistra, quello con la circonferenza, ma non mi è tanto chiaro quello di destra riferito all'asta?!
Insomma, cosa è questo $H_D$ ed $M_D$
E sulla base di cosa compaiono
Il sistema di figura `e posto in un piano verticale e si compone di un’asta omogenea $AB$ di lunghezza , massa $m$ e di un disco con centro$ C $di raggio$ R$ e massa m. L’asta è vincolata a scorrere in direzione verticale tramite un manicotto ed il suo estremo $B$ è incernierato alla circonferenza del disco. Il disco è libero di strisciare senza attrito sulla guida orizzontale. Sia $H$ il punto di contatto tra disco e guida. Sul centro $C$ agisce una forza $F = F (t)$ i incognita.
Si chiede di:
(1.) scrivere l’equazione di moto;
(2.) determinare la forza $F (t)$ tale che il disco si muova con velocit`a angolare costante $omega = omega_0 hat(k)$;
(3.) calcolare in tale situazione le reazioni vincolari che l’asta esercita sul disco in $B$.
Punto 1)
QUi cosa conviene fare per scrivere l'equazione del moto
Da quello che ho capito io mi sembra che ci sia una forza che agisce sul punto $C$ che spinge il disco verso destra e quindi l'asta va verso l'alto, vero
A colpo d'occhio posso dire che se devo individuare un moto, allora bisogna individuare delle coordinate iniziali e quindi si ha che:
$x_C = H-O$
$y_C = y_B - R*sen theta$
sto trattando il movimento come un punto materiale, punto che è il centro di massa del disco.
Derivo queste due espressioni ed ho la velocità del punto $C$:
$dot(x)_C = (H-O)'$
$dot(y)_C = dot(y)_B - R*dot(theta)cos theta$
Sono andato a vedere la soluzione del testo per questo primo punto e quello che non capisco io è perchè il testo fa il mio stesso ragionamento, solo che ragiona sul punto $B$
Ecco cosa fa:
P.S. Noto che il mio testo usa descrivere il moto con il teorema dell'energia cinetica, potete per favore aiutarmi a capire questo modo di operare
Perchè conviene usare questo metodo E poi arriva a usare ancora una volta la potenza $dot(T) = Pi$ che deriva dalla $Pi = F*v$, che sinceramente non mi da soddisfazione nel capire bene il modo di operare!
Punto 2)
Ecco la risoluzione del testo:
Comprendo quello che dice, ma non sto capendo come arriva alla seguente formula
: $F(t) = (mg)/(tan(omega_0 t + theta_0))$
Facendo lo schema dei vettori in gioco, ho pensato alla seguente configurazione:
dalla quale mi viene fuori questa espressione:
$ma_(Cm) = F(t) - f - F(a s t a)$
$f$ è la forza di attrito che in questo caso è $f=0$ in quanto c'è strisciamento.
La direzione della forza dell'asta è data dalla seguente $tg theta= (y)/(x)$, ma a noi interessa il $theta$ in funzione del tempo e si sa dal moto uniformemente accelerato che $theta(t) = omega_0 t + theta_0$.
In sostanza la massa $m$ è dell'asta e quindi l'asta è soggetta alla forza $F(t)$ che viene applicata nel $CM$ della circonferenza, quindi la forza lungo l'angolo $theta$ è data dalla seguente relazione:
$F(t)* tg theta = mg$
dalla quale si arriva alla seguente:
$F(t) = (mg)/(tan(omega_0 t + theta_0))$
Dite che ho compreso perfettamente il punto 2)
Help!
Punto 3)
Questo è lo schema dei vettori che fa il testo:
capisco il disegno a sinistra, quello con la circonferenza, ma non mi è tanto chiaro quello di destra riferito all'asta?!
Insomma, cosa è questo $H_D$ ed $M_D$
E sulla base di cosa compaiono
Andiamo con ordine.
Il calcolo dell'equazione del moto fatto col metodo del libro (energia e potenza) presenta indubbiamente dei vantaggi di semplicità di calcolo, e quindi minore probabilità di errore, per cui te lo raccomando caldamente, ti conviene imparare a usarlo.
Tuttavia presenta lo svantaggio di essere un tantino distante dall'intuizione fisica del fenomeno.
Allora provo a descriverti il fenomeno e poi ti presento la soluzione utizzando esclusivamente relazioni elementari, che come vedrai portano a calcoli più complicati.
Partiamo per prima cosa dallo schema delle forze.
Io non sono d'accordo con lo schema del tuo libro, non perché sia sbagliato ma perché complica inutilmente i ragionamenti.
Ti presento dunque una situazione secondo me più intuitiva.
Punto H: ha solo la reazione d'appoggio del piano liscio, dunque un vettore rivolto verso l'alto-
Punto B: qui è più facile ragionare sulle componenti verticale e orizzontale. La componente verticale che chiamerò $F_By$ e la considero rivolta verso l'alto (non perché sia "veramente" rivolta verso l'alto ma solo perché la voglio considerare positiva quando è rivolta nel verso dell'asse y) è la forza che il moto e le forze dell'asta comunicano al disco in senso verticale. L'interazione tra asta e disco è soltanto questa. La componente orizzontale che chiamerò $F_Bx$ e la considero rivolta verso destra, ovvero secondo le x crescenti, è invece dovuta alla reazione liscia del manicotto scorrevole, e dunque non può essere che ortogonale al manicotto, cioè orizzontale appunto.
Consideriamo adesso il disco. Il suo CM è sempre allineato con la forza in H, dunque questa forza non fa mai momento rispetto al CM e quindi non contribuisce alla rotazione del disco.
Le forze che invece fanno momento non nullo rispetto al CM del disco sono la $F_By$ con braccio $R\cos \theta $ rispetto al CM e la $F_Bx$ con braccio $R\sin \theta $. Dobbiamo però notare che mentre la prima fa un momento in senso antiorario, cioè coerente con theta crescenti, la seconda forza fa momento orario. Dunque quando scriviamo la relazione tra momenti e accelerazione angolare dobbiamo tenere conto del segno opposto di questi due contributi.
La relazione è dunque:
$$ - {F_{Bx}}R\sin \theta + {F_{By}}R\cos \theta = {I_{CM}}\ddot \theta $$
Adesso dobbiamo scrivere queste due forze in funzione di theta.
Prima di tutto dobbiamo avvalerci del secondo principio della dinamica per mettere in relazione le forze con le coordinate x e y:
$${F_{Bx}} = - {F_C} + m{{\ddot x}_C}$$
$${F_{By}} = - mg - m{{\ddot y}_B}$$
Adesso sviluppiamo i calcoli sulle coordinate:
$$\eqalign{
& {x_C} = {x_B} - R\cos \theta \cr
& {{\dot x}_C} = R\dot \theta \sin \theta \cr
& {{\ddot x}_C} = R\left( {\ddot \theta \sin \theta + {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right) \cr} $$
$$\eqalign{
& {y_B} = R\left( {1 + \sin \theta } \right) \cr
& {{\dot y}_B} = R\dot \theta \cos \theta \cr
& {{\ddot y}_B} = R\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right) \cr} $$
e arriviamo alle seguenti relazioni:
$${F_{Bx}} = - {F_C} + mR\left( {\ddot \theta \sin \theta + {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right)$$
$${F_{By}} = - mg - mR\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right)$$
che inserite nella formula iniziale danno:
$${F_C}R\sin \theta - mR\left( {\ddot \theta \sin \theta + {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right)R\sin \theta - \left( {mg + mR\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right)} \right)R\cos \theta = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta $$
(il momento di inerzia del disco è rispetto al CM)
Semplificando la relazione di cui sopra si arriva alla soluzione:
$$\frac{{2{F_C}}}
{{3mR}}\sin \theta - \frac{{2g}}
{{3R}}\cos \theta = \ddot \theta $$
Come vedi questo metodo è lungo e può portare a errori, dunque ripeto che è preferibile usare il metodo del libro.
Quanto poi al punto 2 la cosa è più semplice di quanto tu pensi.
Si parte dalla formula trovata e si osserva che se la velocità angolare del disco deve essere costante allora deve essere $\ddot \theta = 0$. E inoltre si ha anche $\theta = \omega t + \varphi _0$.
Allora sostituendo si ha:
$$\eqalign{
& \frac{{2{F_C}}}
{{3mR}}\sin \theta - \frac{{2g}}
{{3R}}\cos \theta = 0 \cr
& {F_C} = mg\frac{{\cos \theta }}
{{\sin \theta }} = \frac{{mg}}
{{\tan \theta }} = \frac{{mg}}
{{\tan \left( {\omega t + {\varphi _0}} \right)}} \cr} $$
Il calcolo dell'equazione del moto fatto col metodo del libro (energia e potenza) presenta indubbiamente dei vantaggi di semplicità di calcolo, e quindi minore probabilità di errore, per cui te lo raccomando caldamente, ti conviene imparare a usarlo.
Tuttavia presenta lo svantaggio di essere un tantino distante dall'intuizione fisica del fenomeno.
Allora provo a descriverti il fenomeno e poi ti presento la soluzione utizzando esclusivamente relazioni elementari, che come vedrai portano a calcoli più complicati.
Partiamo per prima cosa dallo schema delle forze.
Io non sono d'accordo con lo schema del tuo libro, non perché sia sbagliato ma perché complica inutilmente i ragionamenti.
Ti presento dunque una situazione secondo me più intuitiva.
Punto H: ha solo la reazione d'appoggio del piano liscio, dunque un vettore rivolto verso l'alto-
Punto B: qui è più facile ragionare sulle componenti verticale e orizzontale. La componente verticale che chiamerò $F_By$ e la considero rivolta verso l'alto (non perché sia "veramente" rivolta verso l'alto ma solo perché la voglio considerare positiva quando è rivolta nel verso dell'asse y) è la forza che il moto e le forze dell'asta comunicano al disco in senso verticale. L'interazione tra asta e disco è soltanto questa. La componente orizzontale che chiamerò $F_Bx$ e la considero rivolta verso destra, ovvero secondo le x crescenti, è invece dovuta alla reazione liscia del manicotto scorrevole, e dunque non può essere che ortogonale al manicotto, cioè orizzontale appunto.
Consideriamo adesso il disco. Il suo CM è sempre allineato con la forza in H, dunque questa forza non fa mai momento rispetto al CM e quindi non contribuisce alla rotazione del disco.
Le forze che invece fanno momento non nullo rispetto al CM del disco sono la $F_By$ con braccio $R\cos \theta $ rispetto al CM e la $F_Bx$ con braccio $R\sin \theta $. Dobbiamo però notare che mentre la prima fa un momento in senso antiorario, cioè coerente con theta crescenti, la seconda forza fa momento orario. Dunque quando scriviamo la relazione tra momenti e accelerazione angolare dobbiamo tenere conto del segno opposto di questi due contributi.
La relazione è dunque:
$$ - {F_{Bx}}R\sin \theta + {F_{By}}R\cos \theta = {I_{CM}}\ddot \theta $$
Adesso dobbiamo scrivere queste due forze in funzione di theta.
Prima di tutto dobbiamo avvalerci del secondo principio della dinamica per mettere in relazione le forze con le coordinate x e y:
$${F_{Bx}} = - {F_C} + m{{\ddot x}_C}$$
$${F_{By}} = - mg - m{{\ddot y}_B}$$
Adesso sviluppiamo i calcoli sulle coordinate:
$$\eqalign{
& {x_C} = {x_B} - R\cos \theta \cr
& {{\dot x}_C} = R\dot \theta \sin \theta \cr
& {{\ddot x}_C} = R\left( {\ddot \theta \sin \theta + {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right) \cr} $$
$$\eqalign{
& {y_B} = R\left( {1 + \sin \theta } \right) \cr
& {{\dot y}_B} = R\dot \theta \cos \theta \cr
& {{\ddot y}_B} = R\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right) \cr} $$
e arriviamo alle seguenti relazioni:
$${F_{Bx}} = - {F_C} + mR\left( {\ddot \theta \sin \theta + {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right)$$
$${F_{By}} = - mg - mR\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right)$$
che inserite nella formula iniziale danno:
$${F_C}R\sin \theta - mR\left( {\ddot \theta \sin \theta + {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right)R\sin \theta - \left( {mg + mR\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right)} \right)R\cos \theta = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta $$
(il momento di inerzia del disco è rispetto al CM)
Semplificando la relazione di cui sopra si arriva alla soluzione:
$$\frac{{2{F_C}}}
{{3mR}}\sin \theta - \frac{{2g}}
{{3R}}\cos \theta = \ddot \theta $$
Come vedi questo metodo è lungo e può portare a errori, dunque ripeto che è preferibile usare il metodo del libro.
Quanto poi al punto 2 la cosa è più semplice di quanto tu pensi.
Si parte dalla formula trovata e si osserva che se la velocità angolare del disco deve essere costante allora deve essere $\ddot \theta = 0$. E inoltre si ha anche $\theta = \omega t + \varphi _0$.
Allora sostituendo si ha:
$$\eqalign{
& \frac{{2{F_C}}}
{{3mR}}\sin \theta - \frac{{2g}}
{{3R}}\cos \theta = 0 \cr
& {F_C} = mg\frac{{\cos \theta }}
{{\sin \theta }} = \frac{{mg}}
{{\tan \theta }} = \frac{{mg}}
{{\tan \left( {\omega t + {\varphi _0}} \right)}} \cr} $$
La tua è una logica da ammirare! 
Ho molto da imparare da te
Ti ringrazio, adesso proseguo con altri esercizi, devo fare in fretta a prepararmi per l'esame di Meccanica Razionale
Ho molto da imparare da te
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