Esercizio Dinamica del CR II, e 47.5 p255
Il sistema di figura si compone di una lamina triangolare $ABC$ con angolo alla base $pi/4$ , massa m e di un’asta $DE$ di lunghezza e massa $m$. La lamina triangolare è vincolata a scorrere senza attrito lungo una guida orizzontale. L’estremo $D$ dell’asta $DE$ è vincolato tramite un pattino ad una guida verticale mentre l’estremo $E$ poggia sul lato $AC$ della lamina. L’asta può quindi solo traslare verticalmente, mantenendosi orizzontale. Si chiede di:
(1.) determinare il legame cinematico tra le coordinate $x_A$ e $y_D$ indicate in figura;
(2.) determinare il moto del sistema;
(3.) calcolare le reazioni vincolari che agiscono sull’asta in $D$.
Punto 1)
Non serve scrivere passaggi e spiegare come si è arrivati a dire che $y_D = -x_A$ in quanto si tratta di semplici considerazioni, si può anche scrivere $x_A = -y_D $ e possiamo dire che quando l'ascissa cresce, l'ordinata diminuisce.
Punto 2)
Per determinare il moto del sistema ho consatato che conviene usare il metodo del testo e cioè quello che ti fa scrivere in primis la relazione dell'energia cinetica del sistema:
$E_k = 1/2m dot(x)_A^2 + ½ mdot(y)_D^2 = mdot(x)_A$
poi si deve scrivele la seguente:
$Pi = Fv$ e cioè
$Pi = -mg hat(j)* dot(y)_D hat(j) = mgdot(x)_A $
Poi sapendo che $dot(E)_k = Pi$, allora derivo l'energia cinetica rispetto alla coordinata interessata al movimento ed ho:
$d/(d dot(x)_A)( dot(E)_k) = 1/2mdot(x)_A*ddot(x)_A $
per cui sapendo che $dot(E)_k = Pi$ si ha
$1/2mdot(x)_A*ddot(x)_A = mgdot(x)_A → ddot(x)_A = 1/2g$
Ovviamente si sa che per arrivare all'equazione del moto si deve integrare e arrivare alla seguente:
$x_A(t) = 1/4 g t^2$
Punto 3)
In questo punto ho le idee confuse e chiedo a voi un aiuto per capire cosa fa il testo nella risoluzione?
Ho letto per bene la soluzione e ho provato a fare i calcoli così come facevo in Fisica 1, cioè con le equazioni messe a sistema delle reazioni, dei momenti esistenti nei punti D ed E, solo che così come dice il testo si finisce con avere due incognite e quindi si deve usare una equazione in più ed il che comporta un sacco di calcoli, ed ho constatato personalmente finendo nel labirinto dei calcoli.
Conviene quindi usare il metodo del testo, quindi voglio comprenderlo veramente bene.....
Il testo mette a sistema l'equazione della quantità di moto $Q$ nelle due componenti, che in questo caso conviene scriverle rispetto alla sola componente $dot(x)_A$, e l'equazione della risultante delle forze esterne $R^(e)$ nelle due componenti $hat(i)$ ed $hat(j)$.
Poi considera il sistema lungo le sole $x$ e pensa che derivando la quantità di moto avrà di certo una forza, ed in effetti a noi serve una forza che in questo caso è $F_x $ e sapendo che la Prima equazione cardinale è data da $F = ma$ allora deriva la quantità di moto e si ha
$dot(Q)_x = mddot(x)_A$, ovviamente messa a sistema arriva all'equazione della reazione $H_D$.
Fino a questo punto penso di aver compreso cerrettamente, datemi conferma se ho detto bene per quello che ho scritto sopra....
Ma da quando il testo scrive che per calcolare il momento $M_D$ scrive la seconda equazione cardinale della meccanica per la sola asta, non riesco a capire più cosa combina in termini di ragionamento e chiedo a voi gentilmente se potete spiegarmi cosa combina dalla seguente relazione in poi:
$dot(Gamma)_E^(a s t a) = M_E^(a s t a) – dot(E) xx Q^(a s t a) $
Potete per favore spiegarmi questa formula e quello che combina a seguire ?
Risoluzione del testo:
Help!
(1.) determinare il legame cinematico tra le coordinate $x_A$ e $y_D$ indicate in figura;
(2.) determinare il moto del sistema;
(3.) calcolare le reazioni vincolari che agiscono sull’asta in $D$.
Punto 1)
Non serve scrivere passaggi e spiegare come si è arrivati a dire che $y_D = -x_A$ in quanto si tratta di semplici considerazioni, si può anche scrivere $x_A = -y_D $ e possiamo dire che quando l'ascissa cresce, l'ordinata diminuisce.
Punto 2)
Per determinare il moto del sistema ho consatato che conviene usare il metodo del testo e cioè quello che ti fa scrivere in primis la relazione dell'energia cinetica del sistema:
$E_k = 1/2m dot(x)_A^2 + ½ mdot(y)_D^2 = mdot(x)_A$
poi si deve scrivele la seguente:
$Pi = Fv$ e cioè
$Pi = -mg hat(j)* dot(y)_D hat(j) = mgdot(x)_A $
Poi sapendo che $dot(E)_k = Pi$, allora derivo l'energia cinetica rispetto alla coordinata interessata al movimento ed ho:
$d/(d dot(x)_A)( dot(E)_k) = 1/2mdot(x)_A*ddot(x)_A $
per cui sapendo che $dot(E)_k = Pi$ si ha
$1/2mdot(x)_A*ddot(x)_A = mgdot(x)_A → ddot(x)_A = 1/2g$
Ovviamente si sa che per arrivare all'equazione del moto si deve integrare e arrivare alla seguente:
$x_A(t) = 1/4 g t^2$
Punto 3)
In questo punto ho le idee confuse e chiedo a voi un aiuto per capire cosa fa il testo nella risoluzione?
Ho letto per bene la soluzione e ho provato a fare i calcoli così come facevo in Fisica 1, cioè con le equazioni messe a sistema delle reazioni, dei momenti esistenti nei punti D ed E, solo che così come dice il testo si finisce con avere due incognite e quindi si deve usare una equazione in più ed il che comporta un sacco di calcoli, ed ho constatato personalmente finendo nel labirinto dei calcoli.
Conviene quindi usare il metodo del testo, quindi voglio comprenderlo veramente bene.....
Il testo mette a sistema l'equazione della quantità di moto $Q$ nelle due componenti, che in questo caso conviene scriverle rispetto alla sola componente $dot(x)_A$, e l'equazione della risultante delle forze esterne $R^(e)$ nelle due componenti $hat(i)$ ed $hat(j)$.
Poi considera il sistema lungo le sole $x$ e pensa che derivando la quantità di moto avrà di certo una forza, ed in effetti a noi serve una forza che in questo caso è $F_x $ e sapendo che la Prima equazione cardinale è data da $F = ma$ allora deriva la quantità di moto e si ha
$dot(Q)_x = mddot(x)_A$, ovviamente messa a sistema arriva all'equazione della reazione $H_D$.
Fino a questo punto penso di aver compreso cerrettamente, datemi conferma se ho detto bene per quello che ho scritto sopra....
Ma da quando il testo scrive che per calcolare il momento $M_D$ scrive la seconda equazione cardinale della meccanica per la sola asta, non riesco a capire più cosa combina in termini di ragionamento e chiedo a voi gentilmente se potete spiegarmi cosa combina dalla seguente relazione in poi:
$dot(Gamma)_E^(a s t a) = M_E^(a s t a) – dot(E) xx Q^(a s t a) $
Potete per favore spiegarmi questa formula e quello che combina a seguire ?
Risoluzione del testo:
Help!
Risposte
Interessante quella formula, confesso che non me la ricordo, io meccanica razionale l'ho studiata... ...anta anni fa. 
Comunque provo a ricavarla, così mi diverto di più.
Prendiamo per semplicità un punto materiale situato nel punto P in un sistema di riferimento fisso, e applichiamogli la seconda legge di Newton:
$${\bf{F = \dot Q}}$$
Adesso prendiamo un punto qualsiasi A dello spazio, caratterizzato da un vettore posizione $r_A$
Facciamo il prodotto vettoriale tra il vettore posizione AP ed entrambi i membri della relazione trovata prima:
$${{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times F = M = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q}}$$
Il membro a sinistra è detto "momento della forza rispetto al polo A scelto"
Adesso definiamo il momento angolare del corpo, sempre rispetto al medesimo polo A:
$${\bf{L = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times Q}}$$
Se facciamo la derivata temporale otteniamo:
$${\bf{\dot L = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q + }}{{{\bf{\dot r}}}_{A - P}}{\bf{ \times Q}}$$
Adesso consideriamo che se il punto A è fermo si ha:
$${{{\bf{\dot r}}}_{A - P}} = {{{\bf{\dot r}}}_P}$$
e allora poiché la quantità di moto è un vettore parallelo al vettore velocità del punto P nel sistema assoluto scelto, si ha:
$${{{\bf{\dot r}}}_{A - P}}{\bf{ \times Q}} = 0$$
da cui esce la solita relazione:
$${\bf{M = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q}} = {\bf{\dot L}}$$
Se però il punto A è in movimento si ha:
$${{{\bf{\dot r}}}_{A - P}} = {{{\bf{\dot r}}}_P} - {{{\bf{\dot r}}}_A}$$
dunque la relazione di derivata del momento angolare si può scrivere:
$${\bf{\dot L = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q + }}\left( {{{{\bf{\dot r}}}_P} - {{{\bf{\dot r}}}_A}} \right){\bf{ \times Q}} = {{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q}} - {{{\bf{\dot r}}}_A}{\bf{ \times Q}}$$
essendo
$${{{\bf{\dot r}}}_P}{\bf{ \times Q}} = 0$$
e siccome.
$${\bf{M = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q}}$$
si può scrivere:
$${\bf{\dot L = M}} - {{{\bf{\dot r}}}_A}{\bf{ \times Q}}$$
Il secondo addendo è il fattore correttivo da applicarsi al momento quando il punto A è in movimento.
Non so se ho scritto delle cavolate, dunque riportando in altre sedi queste considerazioni sarà bene utilizzare un po' di prudenza.
Comunque provo a ricavarla, così mi diverto di più.
Prendiamo per semplicità un punto materiale situato nel punto P in un sistema di riferimento fisso, e applichiamogli la seconda legge di Newton:
$${\bf{F = \dot Q}}$$
Adesso prendiamo un punto qualsiasi A dello spazio, caratterizzato da un vettore posizione $r_A$
Facciamo il prodotto vettoriale tra il vettore posizione AP ed entrambi i membri della relazione trovata prima:
$${{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times F = M = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q}}$$
Il membro a sinistra è detto "momento della forza rispetto al polo A scelto"
Adesso definiamo il momento angolare del corpo, sempre rispetto al medesimo polo A:
$${\bf{L = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times Q}}$$
Se facciamo la derivata temporale otteniamo:
$${\bf{\dot L = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q + }}{{{\bf{\dot r}}}_{A - P}}{\bf{ \times Q}}$$
Adesso consideriamo che se il punto A è fermo si ha:
$${{{\bf{\dot r}}}_{A - P}} = {{{\bf{\dot r}}}_P}$$
e allora poiché la quantità di moto è un vettore parallelo al vettore velocità del punto P nel sistema assoluto scelto, si ha:
$${{{\bf{\dot r}}}_{A - P}}{\bf{ \times Q}} = 0$$
da cui esce la solita relazione:
$${\bf{M = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q}} = {\bf{\dot L}}$$
Se però il punto A è in movimento si ha:
$${{{\bf{\dot r}}}_{A - P}} = {{{\bf{\dot r}}}_P} - {{{\bf{\dot r}}}_A}$$
dunque la relazione di derivata del momento angolare si può scrivere:
$${\bf{\dot L = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q + }}\left( {{{{\bf{\dot r}}}_P} - {{{\bf{\dot r}}}_A}} \right){\bf{ \times Q}} = {{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q}} - {{{\bf{\dot r}}}_A}{\bf{ \times Q}}$$
essendo
$${{{\bf{\dot r}}}_P}{\bf{ \times Q}} = 0$$
e siccome.
$${\bf{M = }}{{\bf{r}}_{A - P}}{\bf{ \times \dot Q}}$$
si può scrivere:
$${\bf{\dot L = M}} - {{{\bf{\dot r}}}_A}{\bf{ \times Q}}$$
Il secondo addendo è il fattore correttivo da applicarsi al momento quando il punto A è in movimento.
Non so se ho scritto delle cavolate, dunque riportando in altre sedi queste considerazioni sarà bene utilizzare un po' di prudenza.
Ma e'impossibile che tu abbia detto cavolate, c'e' una logica incomiabile 
Ti ringrazio di cuore per la spiegazione!
Ti ringrazio di cuore per la spiegazione!
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