Esercizio dinamica del CR.
In un piano verticale un disco di massa m e raggio R rotola senza strisciare lungo una guida inclinata di un angolo $alpha$ rispetto all’orizzontale.
Si chiede di:
1) Scrivere l’energia cinetica del disco;
2) Determinare il moto del disco, sapendo che inizialmente il disco è in quiete e il centro del disco si trova ad un’altezza $h$ dal suolo;
3) Calcolare le reazioni vincolari nel punto di contatto tra il disco e la guida;
4) Descrivere come sarebbe il moto del disco se la lamina fosse liscia (ovvero nel caso in cui ci sia strisciamento). Il disco cadrebbe più velocemente o più lentamente? Perchè?
Prima di iniziare a risolverlo, vorrei chiedervi solo se il disegno che ho fatto del sistema che dice la traccia è corretto?
P.S. Vi chiedo cortesemente se potete darmi conferma, così posterò le mie considerazioni.
Si chiede di:
1) Scrivere l’energia cinetica del disco;
2) Determinare il moto del disco, sapendo che inizialmente il disco è in quiete e il centro del disco si trova ad un’altezza $h$ dal suolo;
3) Calcolare le reazioni vincolari nel punto di contatto tra il disco e la guida;
4) Descrivere come sarebbe il moto del disco se la lamina fosse liscia (ovvero nel caso in cui ci sia strisciamento). Il disco cadrebbe più velocemente o più lentamente? Perchè?
Prima di iniziare a risolverlo, vorrei chiedervi solo se il disegno che ho fatto del sistema che dice la traccia è corretto?
P.S. Vi chiedo cortesemente se potete darmi conferma, così posterò le mie considerazioni.
Risposte
No, il disegno non va bene. Che cosa è quella parete verticale a sinistra ? Ti sei fatto ingannare dalle parole del testo "in un piano verticale…" ?
Il disco è poggiato sopra il piano inclinato, che forma l'angolo $\alpha$ con l'orizzontale , e inizialmente il suo centro è distanza $h$ dal piano orizzontale .
Il disco è poggiato sopra il piano inclinato, che forma l'angolo $\alpha$ con l'orizzontale , e inizialmente il suo centro è distanza $h$ dal piano orizzontale .
Ho rifatto il disegno, non far caso alla circonferenza che non è perfetta, ma sai, non essendo Giotto, a mano libera faccio difficoltà. Ecco qui:
ho segnato anche $h$ che è la distanza tra il $CR$ del disco e il piano orizzontale.
In effetti mi ha ingannato la traccia!
Penso che adesso va bene, vero?
Punto 1)
Il teorema di Konig per il CR sull'energia cinetica è dato dalla seguente formula:
$T = 1/2 Mv^2_G + 1/2 omega* I_G omega$
Ma se non erro, nel caso della traccia e cioè un caso in cui c'è puro rotolamento, si può usare la formula seguente:
$T = 1/2 omega* I_G omega$
ho detto bene?
ho segnato anche $h$ che è la distanza tra il $CR$ del disco e il piano orizzontale.
In effetti mi ha ingannato la traccia!
Penso che adesso va bene, vero?
Punto 1)
Il teorema di Konig per il CR sull'energia cinetica è dato dalla seguente formula:
$T = 1/2 Mv^2_G + 1/2 omega* I_G omega$
Ma se non erro, nel caso della traccia e cioè un caso in cui c'è puro rotolamento, si può usare la formula seguente:
$T = 1/2 omega* I_G omega$
ho detto bene?
No , Giotto Antonio ! LA distanza $h$ del centro disco dal piano orizzontale non è quella! Il piano orizzontale è "il suolo" , dice la traccia! Insomma , sta sotto il piano inclinato.
Ok, adesso lo ridisegno, avevo capito male ancora una volta, nel frattempo ho scritto quanto segue, puoi per favore darmi conferma in merito a quello che ho scritto 
Ecco il disegno:
Va bene adesso
Punto 1)
Il teorema di Konig per il CR sull'energia cinetica è dato dalla seguente formula:
$T = 1/2 Mv_G^2 + 1/2 omega* I_G omega$
Ma se non erro, nel caso della traccia e cioè un caso in cui c'è puro rotolamento, si può usare la formula seguente:
$T = 1/2 omega* I_G omega$
Ovviamente si deve pensare alla formula del trasporto, cioè la seguente:
$I_(Hz) = I_(Gz) + mR^2$
Se per un disco di raggio $R$ e massa $m$ si ha che $I_(Gz) = 1/2mR^2$, possiamo concludere che:
$I_(Hz) = 1/2mR^2 + mR^2 = 3/2mR^2$
Se $I_(Hz) = 3/2mR^2$ e $T = 1/2 omega* I_(Hz) omega$, dove compare il pendice $Hz$ in quanto stiamo utilizzando il trasporto nella formula di $T$ che ho scritto all'inizio, allora si avrà che l'energia cinetica è:
$T = 1/2 omega^2* I_(Hz) = 1/2 dot(theta)^2* I_(Hz) = 3/4 m R^2dot(theta)^2 $
Ho detto bene?
Ecco il disegno:
Va bene adesso
Punto 1)
Il teorema di Konig per il CR sull'energia cinetica è dato dalla seguente formula:
$T = 1/2 Mv_G^2 + 1/2 omega* I_G omega$
Ma se non erro, nel caso della traccia e cioè un caso in cui c'è puro rotolamento, si può usare la formula seguente:
$T = 1/2 omega* I_G omega$
Ovviamente si deve pensare alla formula del trasporto, cioè la seguente:
$I_(Hz) = I_(Gz) + mR^2$
Se per un disco di raggio $R$ e massa $m$ si ha che $I_(Gz) = 1/2mR^2$, possiamo concludere che:
$I_(Hz) = 1/2mR^2 + mR^2 = 3/2mR^2$
Se $I_(Hz) = 3/2mR^2$ e $T = 1/2 omega* I_(Hz) omega$, dove compare il pendice $Hz$ in quanto stiamo utilizzando il trasporto nella formula di $T$ che ho scritto all'inizio, allora si avrà che l'energia cinetica è:
$T = 1/2 omega^2* I_(Hz) = 1/2 dot(theta)^2* I_(Hz) = 3/4 m R^2dot(theta)^2 $
Ho detto bene?
"Antonio_80":
Punto 1)
Il teorema di Konig per il CR sull'energia cinetica è dato dalla seguente formula:
$ T = 1/2 Mv_G^2 + 1/2 omega* I_G omega $
Si, l'energia cinetica è somma di due termini, quella di traslazione (massa supposta concentrata nel CM) e quella di rotazione attorno a un asse, perpendicolare al foglio, passante per il CM.
Ma se non erro, nel caso della traccia e cioè un caso in cui c'è puro rotolamento, si può usare la formula seguente:
$ T = 1/2 omega* I_G omega $
Ovviamente si deve pensare alla formula del trasporto, cioè la seguente:
$ I_(Hz) = I_(Gz) + mR^2 $
Se c'è puro rotolamento, il punto di contatto tra disco e piano inclinato è centro di istantanea rotazione. Si può scrivere quindi l'energia cinetica come sola energia di rotazione attorno a tale centro, e per fare questo occorre applicare il teorema di Konig e scrivere il momento di inerzia del disco rispetto a questo punto, che hai chiamato $H$ .
Se per un disco di raggio $ R $ e massa $ m $ si ha che $ I_(Gz) = 1/2mR^2 $, possiamo concludere che:
$ I_(Hz) = 1/2mR^2 + mR^2 = 3/2mR^2 $
Se $ I_(Hz) = 3/2mR^2 $ e $ T = 1/2 omega* I_(Hz) omega $, dove compare il pendice $ Hz $ in quanto stiamo utilizzando il trasporto nella formula di $ T $ che ho scritto all'inizio, allora si avrà che l'energia cinetica è:
$ T = 1/2 omega^2* I_(Hz) = 1/2 dot(theta)^2* I_(Hz) = 3/4 m R^2dot(theta)^2 $
Ho detto bene?
Hai fatto un po' di confusione con gli indici , ma comunque il risultato finale è giusto.
Punto 2)
Il disco si trova su un piano inclinato, quindi scendendo ha un movimento lungo l'asse delle $x$ e uno lungo l'asse delle $y$.
Come conviene pensare per arrivare a definire il moto del disco
Ho pensato di individuare in primis le coordinare del punto $C$ che è il centro di massa del disco, fissando l'origine degli assi con $x$ orizzontale e $y$ verticale in corrispondenza dell'intersezione tra il piano inclinato e la parete verticale quindi all'inizio del piano inclinato in alto.
Così facendo ho le seguenti coordinate del punto $C$:
$x_C= (h-R) cos alpha $
$y_C = (h-R) sen alpha$
derivando dovrei avere (ho delle insicurezze nel calcolo delle derivate):
$dot(x)_C= (h-R)'*cos alpha- (h-R) sen alpha* alpha'$
$dot(y)_C= (h-R)'*sen alpha + (h-R) cos alpha* alpha'$
Sono corrette queste derivate?
Adesso posso calcolare le velocità lungo gli assi, cioè:
$v_(Cx) = dot(x)_C hat(i) = dot(theta) hat(k) xx (h - R)$
$v_(Cy) = dot(y)_C hat(j) = ((h-R)'*sen alpha + (h-R) cos alpha* alpha')hat(j) $
Se non erro, per arrivare a determinare il moto, nel caso di puro rotolamento, si può utilizzare il teorema dell'energia cinetica $dot(T) = Pi$
sapendo che la potenza è
$Pi = F*v$
dove si ha:
$F_N = mg cosalpha$
$F_x = mg sen alpha$
la forza in modulo è
$F = sqrt(F_x^2 + F_N^2) = sqrt((mg cosalpha)^2 + (mg sen alpha)^2) = mg sqrt(cos^2 alpha + sen^2 alpha) = mg$
Adesso mi sono impallato!
Quello che sto cercando di replicare è quello che è stato fatto nel punto 3) del seguente esercizio:
Help!
Ho detto cose corrette fino ad adesso
E adesso come come devo continuare
Il disco si trova su un piano inclinato, quindi scendendo ha un movimento lungo l'asse delle $x$ e uno lungo l'asse delle $y$.
Come conviene pensare per arrivare a definire il moto del disco
Ho pensato di individuare in primis le coordinare del punto $C$ che è il centro di massa del disco, fissando l'origine degli assi con $x$ orizzontale e $y$ verticale in corrispondenza dell'intersezione tra il piano inclinato e la parete verticale quindi all'inizio del piano inclinato in alto.
Così facendo ho le seguenti coordinate del punto $C$:
$x_C= (h-R) cos alpha $
$y_C = (h-R) sen alpha$
derivando dovrei avere (ho delle insicurezze nel calcolo delle derivate):
$dot(x)_C= (h-R)'*cos alpha- (h-R) sen alpha* alpha'$
$dot(y)_C= (h-R)'*sen alpha + (h-R) cos alpha* alpha'$
Sono corrette queste derivate?
Adesso posso calcolare le velocità lungo gli assi, cioè:
$v_(Cx) = dot(x)_C hat(i) = dot(theta) hat(k) xx (h - R)$
$v_(Cy) = dot(y)_C hat(j) = ((h-R)'*sen alpha + (h-R) cos alpha* alpha')hat(j) $
Se non erro, per arrivare a determinare il moto, nel caso di puro rotolamento, si può utilizzare il teorema dell'energia cinetica $dot(T) = Pi$
sapendo che la potenza è
$Pi = F*v$
dove si ha:
$F_N = mg cosalpha$
$F_x = mg sen alpha$
la forza in modulo è
$F = sqrt(F_x^2 + F_N^2) = sqrt((mg cosalpha)^2 + (mg sen alpha)^2) = mg sqrt(cos^2 alpha + sen^2 alpha) = mg$
Adesso mi sono impallato!
Quello che sto cercando di replicare è quello che è stato fatto nel punto 3) del seguente esercizio:
Help!
Ho detto cose corrette fino ad adesso
E adesso come come devo continuare
Antonio,
non devi fare niente di tutto questo!. Fai pure piazza pulita.
Il disco scende lungo il piano con moto di puro rotolamento, secondo quanto dice il testo.
Devi ragionare sulle forze agenti.
Sul disco agisce la forza peso, che è costante, e la reazione della guida. Anche la reazione della guida si suppone costante, non c'è motivo di ritenerla variabile, poiché la "scabrezza" tra disco e guida, e cioè la resistenza di attrito, non varia. Naturalmente uno dei problemi da risolvere sarà quello di determinare tale forza di attrito, che è statico perché nel punto di contatto non c'è moto relativo tra disco e guida; inoltre la forza di attrito, da determinare, non deve superare un certo valore massimo perché altrimenti il disco non rotolerebbe più ma striscerebbe nella caduta.
Perciò , se le forze agenti sono costanti , il moto traslatorio avviene con accelerazione lineare costante $a_(CM) $ : è un moto uniformemente accelerato, dunque. Il moto rotatorio, per la condizione di rotolamento puro, avviene con accelerazione angolare pure costante $\alpha = a_(CM)/R$ .
Quindi le velocità, sia la lineare che l'angolare, aumentano linearmente col tempo, e sono legate tra loro dalla condizione di rotolamento : $v_(CM) = \omega*R$ .
Per determinare l'accelerazione $a_(CM) $ , e quindi quella angolare , scrivi la 1° eq, cardinale della dinamica :
$mgsen\theta - f_a = ma_(CM)$ ---------(1)
e la 2° eq. cardinale per determinare la forza di attrito $f_a$ , che non è altro che la componente della reazione guida parallela alla guida stessa :
$R*f_a = I\alpha = I a_(CM)/R$ -----------(2)
nella (1) , la quantità $mgsen\theta$ è la componente della forza peso parallela alla guida, essendo $theta$ l'angolo tra guida e suolo.
LA (1) e la (2) , dove ho già inserito la condizione per il rotolamento $ \alpha = a_(CM)/R$ , ti consentono di ricavare le espressioni di $f_a$ e di $a_(CM)$ .
Poi, devi scrivere la condizione per la forza di attrito, e cioè che $ f_a <=\mumgcos\theta $ .
non devi fare niente di tutto questo!. Fai pure piazza pulita.
Il disco scende lungo il piano con moto di puro rotolamento, secondo quanto dice il testo.
Devi ragionare sulle forze agenti.
Sul disco agisce la forza peso, che è costante, e la reazione della guida. Anche la reazione della guida si suppone costante, non c'è motivo di ritenerla variabile, poiché la "scabrezza" tra disco e guida, e cioè la resistenza di attrito, non varia. Naturalmente uno dei problemi da risolvere sarà quello di determinare tale forza di attrito, che è statico perché nel punto di contatto non c'è moto relativo tra disco e guida; inoltre la forza di attrito, da determinare, non deve superare un certo valore massimo perché altrimenti il disco non rotolerebbe più ma striscerebbe nella caduta.
Perciò , se le forze agenti sono costanti , il moto traslatorio avviene con accelerazione lineare costante $a_(CM) $ : è un moto uniformemente accelerato, dunque. Il moto rotatorio, per la condizione di rotolamento puro, avviene con accelerazione angolare pure costante $\alpha = a_(CM)/R$ .
Quindi le velocità, sia la lineare che l'angolare, aumentano linearmente col tempo, e sono legate tra loro dalla condizione di rotolamento : $v_(CM) = \omega*R$ .
Per determinare l'accelerazione $a_(CM) $ , e quindi quella angolare , scrivi la 1° eq, cardinale della dinamica :
$mgsen\theta - f_a = ma_(CM)$ ---------(1)
e la 2° eq. cardinale per determinare la forza di attrito $f_a$ , che non è altro che la componente della reazione guida parallela alla guida stessa :
$R*f_a = I\alpha = I a_(CM)/R$ -----------(2)
nella (1) , la quantità $mgsen\theta$ è la componente della forza peso parallela alla guida, essendo $theta$ l'angolo tra guida e suolo.
LA (1) e la (2) , dove ho già inserito la condizione per il rotolamento $ \alpha = a_(CM)/R$ , ti consentono di ricavare le espressioni di $f_a$ e di $a_(CM)$ .
Poi, devi scrivere la condizione per la forza di attrito, e cioè che $ f_a <=\mumgcos\theta $ .
"navigatore":
$\alpha = a_(CM)/R$ .
Scusami, ma io non sto ricordando da dove viene questa formula
Quando c'è rotolamento puro : $v_(CM) = \omegaR $ .
Se derivi rispetto al tempo : $a_(CM) = (dv_(CM))/(dt) = (d\omega)/(dt) * R = \alpha*R$
Se derivi rispetto al tempo : $a_(CM) = (dv_(CM))/(dt) = (d\omega)/(dt) * R = \alpha*R$
Ok, adesso ricordo 
Sto elaborando i calcoli, tra poco pubblico quello che ho fatto!
Sto elaborando i calcoli, tra poco pubblico quello che ho fatto!
Quello che mi viene di scrivere e che ha un ragionamento che ho compreso, è dato da questo sistema:
$ { ( mgsentheta - f_a= ma_(cm) ),( R*f_a = I alpha ),( alpha = (a_cm)/(R) ):} $
Sono in grado di risolvere il seguente sistema, nulla di difficile, bene, ma quello che non sto capendo e come arrivare a descrivere il moto del sistema
Quello che più non capisco è cosa intende in questo caso come moto del sistema
Se mi venisse chiesto di ricavare una componente di quel sistema, allora saprei farlo, ma ad arrivare a descrivere un moto che a mio parere significa scrivere una formula del moto, in questo caso a che formula dovrei arrivare
$ { ( mgsentheta - f_a= ma_(cm) ),( R*f_a = I alpha ),( alpha = (a_cm)/(R) ):} $
Sono in grado di risolvere il seguente sistema, nulla di difficile, bene, ma quello che non sto capendo e come arrivare a descrivere il moto del sistema
Quello che più non capisco è cosa intende in questo caso come moto del sistema
Se mi venisse chiesto di ricavare una componente di quel sistema, allora saprei farlo, ma ad arrivare a descrivere un moto che a mio parere significa scrivere una formula del moto, in questo caso a che formula dovrei arrivare
"Antonio_80":
Quello che più non capisco è cosa intende in questo caso come moto del sistema
Te l'ho detto : moto rototraslatorio del disco sulla guida inclinata . Accelerazione del CM costante , quindi moto unif, accelerato , sia per la traslazione che per la rotazione . Non c'è altro da dire.
"navigatore":
Non c'è altro da dire.
Ok, adesso ho compreso, ma in termini di calcolo, devo risolvere il sistema
A mio pare no, in quanto se si vuole calcolare qualcosa, la si può fare con quel sistema, quindi non occorre fare calcoli, vero?
Col sistema che hai scritto trovi l'accelerazione del CM, quindi l'accelerazione angolare, e la forza di attrito.
Poi puoi trovare la velocità del CM visto che il moto è unif. accelerato, e puoi trovare la velocità quando il disco è arrivato sul piano.
E devi imporre la condizione relativa alla forza di attrito , che ti ho detto, per sapere qual è la massima inclinazione della guida consentita per avere rotolamento.
Insomma , puoi trovare un sacco di cose. E devi rispondere ancora all'ultima domanda : se la guida fosse perfettamente liscia, quale sarebbe la velocità all'arrivo al suolo ?
Poi puoi trovare la velocità del CM visto che il moto è unif. accelerato, e puoi trovare la velocità quando il disco è arrivato sul piano.
E devi imporre la condizione relativa alla forza di attrito , che ti ho detto, per sapere qual è la massima inclinazione della guida consentita per avere rotolamento.
Insomma , puoi trovare un sacco di cose. E devi rispondere ancora all'ultima domanda : se la guida fosse perfettamente liscia, quale sarebbe la velocità all'arrivo al suolo ?
"navigatore":
E devi rispondere ancora all'ultima domanda : se la guida fosse perfettamente liscia, quale sarebbe la velocità all'arrivo al suolo ?
SAi che non riesco a capire la risposta da dare
La cosa che mi viene di dire è che guida liscia significa attrito zero, e se non c'è attrito non ci può essere puro rotolamento!
Cosa devo dire?
Puoi per favore darmi qualche altro indizio che mi fa pensare alla giusta via risolutiva
Infatti , guida liscia significa attrito zero, e quindi il disco non rotola, ma scivola giù con solo moto traslatorio unif.accelerato. L'accelerazione lungo il piano vale $mgsen \theta$ . Insomma è come un punto materiale posto su un piano inclinato liscio.
La velocita quando arriva al suolo vale : $v = sqrt(2g(h-R))$ .
Invece nel tuo esercizio quanto vale la velocità finale? Vuoi fare questi calcoli che ti ho detto, si o no?
La velocita quando arriva al suolo vale : $v = sqrt(2g(h-R))$ .
Invece nel tuo esercizio quanto vale la velocità finale? Vuoi fare questi calcoli che ti ho detto, si o no?
Perdonami, ma non sto riuscendo a rispondere! Mi e' venuto in mente di utilizzare il principio di conservazione dell'energia, dici che si deve usare quel principio per arrivare alla soluzione della velocita'
Usa pure la conservazione dell'energia, se ti è più comodo per ricavare la velocità finale.
Ricordati comunque che devi ancora trovare le espressioni dell'accelerazione e della forza di attrito. Insomma devi risolvere il sistema che tu stesso hai scritto.
Non voglio farti impazzire ulteriormente. Trovi tutto spiegato per bene in questa dispensa , a pag 22 e 23.
Ti consiglio di leggere tutto il paragrafo 7.8 .
Ricordati comunque che devi ancora trovare le espressioni dell'accelerazione e della forza di attrito. Insomma devi risolvere il sistema che tu stesso hai scritto.
Non voglio farti impazzire ulteriormente. Trovi tutto spiegato per bene in questa dispensa , a pag 22 e 23.
Ti consiglio di leggere tutto il paragrafo 7.8 .
Risolvo il sistema:
Allora, dal sistema ho ottenuto quello che hai giustamente detto, cioè:
Accelerazione del centro di massa $a_(Cm)= (mgsentheta)/(I/R^2+m)$
Forza di attrito $f_a = (I*((mgsentheta)/(I/R^2+m)))/(R^2)$
Ricavo la velocità finale:
$mgh = 1/2Iomega^2 + 1/2mv_(Cm)^2$
$v_(Cm)=sqrt((2gh)/(1+I/(mR^2)))$
Nav. adesso penso proprio che l'esercizio è finito! Vero?
Allora, dal sistema ho ottenuto quello che hai giustamente detto, cioè:
Accelerazione del centro di massa $a_(Cm)= (mgsentheta)/(I/R^2+m)$
Forza di attrito $f_a = (I*((mgsentheta)/(I/R^2+m)))/(R^2)$
Ricavo la velocità finale:
$mgh = 1/2Iomega^2 + 1/2mv_(Cm)^2$
$v_(Cm)=sqrt((2gh)/(1+I/(mR^2)))$
Nav. adesso penso proprio che l'esercizio è finito! Vero?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo