Esercizio - Dinamica del Corpo Rigido
Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica - G.Dalba, P.Fornasini
Problema n°6.1 Dinamica del Corpo Rigido
Testo: Per determinare il momento d'inerzia $I$ di un argano cilindrico di raggio $R$ si può utilizzare il metodo illustrato in $Fig. 6.64a$. Una fune inestensibile di massa trascurabile viene avvolta attorno al cilindro e alla sua estremità libera viene appesa una massa $m_A$: si lascia cadere la massa $m_A$ con velocità iniziale nulla per una altezza $h$ e si misura il tempo di caduta $t_A$; si ripete l'esperimento con una massa diversa $m_B$ e si misura il corrispondente tempo $t_B$. Si suppone che l'attrito sull'asse dell'argano sia esprimibile mediante un momento di forze $\tau$ costante.
Si determinino, in funzione di $m_A, m_B, t_A, t_B, e h$:
a) il momento d'inerzia $I$ dell'argano;
b) il momento $\tau$ delle forze d'attrito agenti sull'asse.
Soluzioni:
a) $ I=[(m_B-m_A)g - 2h(m_B/t_B^2 -m_A/t_A^2)]/(2h(1//t_B^2 - 1//t_A^2)) $
b) $ \tau = [2h(m_A - m_B) + (m_Bt_B^2 - m_At_A^2)g]*[R/(t_A^2 - t_B^2)] $
Come ho cercato di risolvere:
Considerato il fatto che c'è attrito, quindi l'energia maccanica non è costante, per cui non posso usare la conservazione dell'energia meccanica. Allora applico le equazioni cardinali sulla massa e sull'argano.
Sulla $m_A$ con l'asse cartesiano rivolto verso il basso: $m_Ag - T_A = m_Aa_A$ per cui $a_A=g-T_A/m_A$
Integrando $\upsilon_A=a_At$ e $y_A=1/2a_At^2 - h$
Ora $y_A(t_A)=0$ per cui $1/2a_At_A^2 - h=0$ da quì risolvo rispetto a $T_A=m_A(g-(2h)/t_A^2)$
Passando alla rotazione dell'argano so che il momento dell'attrito $\tau=\alpha_A*I$, dove $\alpha_A=a_A/R=(2h)/(Rt_A^2)$ è costante e uguale al momento della tensione $\tau_A=RT_A=Rm_A(g-(2h)/t_A^2)$ perché essendo un sistema isolato il momento totale e nullo.
Ripeto il ragionamento anche per la massa $m_B$.
Uguaglio la differenza dei due momenti delle due masse:
$\alpha_A I- RT_A = \alpha_B I- RT_B$, avrò
$((2h)/(Rt_B^2) - (2h)/(Rt_A^2))I = R((m_B - m_A)g - 2h(m_B/t_B^2 - m_A/t_A^2))$, infine
$I= R^2[(m_B - m_A)g - 2h(m_B/t_B^2 - m_A/t_A^2)]/(2h(1/t_B^2 - 1/t_A^2))$
Cosa sto sbagliando?
Problema n°6.1 Dinamica del Corpo Rigido
Testo: Per determinare il momento d'inerzia $I$ di un argano cilindrico di raggio $R$ si può utilizzare il metodo illustrato in $Fig. 6.64a$. Una fune inestensibile di massa trascurabile viene avvolta attorno al cilindro e alla sua estremità libera viene appesa una massa $m_A$: si lascia cadere la massa $m_A$ con velocità iniziale nulla per una altezza $h$ e si misura il tempo di caduta $t_A$; si ripete l'esperimento con una massa diversa $m_B$ e si misura il corrispondente tempo $t_B$. Si suppone che l'attrito sull'asse dell'argano sia esprimibile mediante un momento di forze $\tau$ costante.
Si determinino, in funzione di $m_A, m_B, t_A, t_B, e h$:
a) il momento d'inerzia $I$ dell'argano;
b) il momento $\tau$ delle forze d'attrito agenti sull'asse.
Soluzioni:
a) $ I=[(m_B-m_A)g - 2h(m_B/t_B^2 -m_A/t_A^2)]/(2h(1//t_B^2 - 1//t_A^2)) $
b) $ \tau = [2h(m_A - m_B) + (m_Bt_B^2 - m_At_A^2)g]*[R/(t_A^2 - t_B^2)] $
Come ho cercato di risolvere:
Considerato il fatto che c'è attrito, quindi l'energia maccanica non è costante, per cui non posso usare la conservazione dell'energia meccanica. Allora applico le equazioni cardinali sulla massa e sull'argano.
Sulla $m_A$ con l'asse cartesiano rivolto verso il basso: $m_Ag - T_A = m_Aa_A$ per cui $a_A=g-T_A/m_A$
Integrando $\upsilon_A=a_At$ e $y_A=1/2a_At^2 - h$
Ora $y_A(t_A)=0$ per cui $1/2a_At_A^2 - h=0$ da quì risolvo rispetto a $T_A=m_A(g-(2h)/t_A^2)$
Passando alla rotazione dell'argano so che il momento dell'attrito $\tau=\alpha_A*I$, dove $\alpha_A=a_A/R=(2h)/(Rt_A^2)$ è costante e uguale al momento della tensione $\tau_A=RT_A=Rm_A(g-(2h)/t_A^2)$ perché essendo un sistema isolato il momento totale e nullo.
Ripeto il ragionamento anche per la massa $m_B$.
Uguaglio la differenza dei due momenti delle due masse:
$\alpha_A I- RT_A = \alpha_B I- RT_B$, avrò
$((2h)/(Rt_B^2) - (2h)/(Rt_A^2))I = R((m_B - m_A)g - 2h(m_B/t_B^2 - m_A/t_A^2))$, infine
$I= R^2[(m_B - m_A)g - 2h(m_B/t_B^2 - m_A/t_A^2)]/(2h(1/t_B^2 - 1/t_A^2))$
Cosa sto sbagliando?
Risposte
essendo un sistema isolato il momento totale e nullo
No, e perché ? Il tamburo è soggetto a due momenti, il momento motore $TR$ e il momento resistente $\tau$ , ma perché devono essere uguali in modulo, e quindi dar luogo a un momento totale nullo? Non è detto che la massa cali con velocità costante, cioè con accelerazione lineare nulla ( in entrambi i casi A e B) , e quindi sia nulla anche l’accelerazione angolare. Anzi, non è proprio vero, lo hai scritto tu stesso considerando il moto di caduta uniformemente accelerato:
$h = 1/2at^2$
in entrambi i casi A e B .
LA prima parte della soluzione, quella in applicazione della prima cardinale, è giusta.
LA seconda cardinale applicata al tamburo si scrive. sia in A che in B :
$TR - \tau = I\alpha$
Non ho verificato nè la soluzione del libro nè la tua , ma quello di cui sopra mi è saltato all’occhio. Rivedi tutto, ti conviene.
@antmerl
Non ho letto in dettaglio il tuo procedimento comunque andando al tuo risultato finale mi pare che ci sia solo un fattore $R^2$ di differenza rispetto alla soluzione data, però il tuo risultato ha le dimensioni di un momento di inerzia, mentre quello della soluzione no...
Non ho letto in dettaglio il tuo procedimento comunque andando al tuo risultato finale mi pare che ci sia solo un fattore $R^2$ di differenza rispetto alla soluzione data, però il tuo risultato ha le dimensioni di un momento di inerzia, mentre quello della soluzione no...
Come dicevo, la prima parte è giusta :
$T_A = m_A(g-(2h)/t_A^2) \bigwedge T_B= m_B(g-(2h)/t_B^2) $
Poi, applicando la 2º cardinale nella maniera corretta :
$T_A R -\tau = I alpha_A = I/R (2h)/t_A^2$
$T_B R -\tau = I alpha_B = I/R (2h)/t_B^2$
sottraendo membro a membro :
$(T_B - T_A ) R = I/R * 2h( 1/t_B^2 - 1/t_A^2)$
ovvero :$(T_B - T_A ) = I/R^2 * 2h( 1/t_B^2 - 1/t_A^2)$
la differenza a primo membro $(T_B-T_A)$ si può ricavare dai risultati della prima parte scritti sopra; uguagliando e sistemando si ha :
$I/R^2 * 2h( 1/t_B^2 - 1/t_A^2) = (m_B - m_A)g - 2h(m_B/t_B^2-m_A/t_A^2)$
da cui si ricava : $ I = R^2 ( (m_B - m_A)g - 2h(m_B/t_B^2-m_A/t_A^2))/(2h( 1/t_B^2 - 1/t_A^2))$
che è lo stesso risultato ottenuto da @antmerl , però applicando nella maniera giusta la 2º cardinale. Si ha lo stesso risultato perché il momento di attrito $\tau$ si elimina quando si sottrae membro a membro.
Quindi il libro sbaglia.
$T_A = m_A(g-(2h)/t_A^2) \bigwedge T_B= m_B(g-(2h)/t_B^2) $
Poi, applicando la 2º cardinale nella maniera corretta :
$T_A R -\tau = I alpha_A = I/R (2h)/t_A^2$
$T_B R -\tau = I alpha_B = I/R (2h)/t_B^2$
sottraendo membro a membro :
$(T_B - T_A ) R = I/R * 2h( 1/t_B^2 - 1/t_A^2)$
ovvero :$(T_B - T_A ) = I/R^2 * 2h( 1/t_B^2 - 1/t_A^2)$
la differenza a primo membro $(T_B-T_A)$ si può ricavare dai risultati della prima parte scritti sopra; uguagliando e sistemando si ha :
$I/R^2 * 2h( 1/t_B^2 - 1/t_A^2) = (m_B - m_A)g - 2h(m_B/t_B^2-m_A/t_A^2)$
da cui si ricava : $ I = R^2 ( (m_B - m_A)g - 2h(m_B/t_B^2-m_A/t_A^2))/(2h( 1/t_B^2 - 1/t_A^2))$
che è lo stesso risultato ottenuto da @antmerl , però applicando nella maniera giusta la 2º cardinale. Si ha lo stesso risultato perché il momento di attrito $\tau$ si elimina quando si sottrae membro a membro.
Quindi il libro sbaglia.
@Faussone
Si verissimo, non avevo pensato di fare una verifica dimensionale.
@Shackle
Ho capito. L'errore che ho fatto è considerare il sistema isolato, ma così non è perché esiste una forza elastica che non è conservativa. E poi mi sono contraddetto col fatto di aver considerato la massa in moto accelerato.
C'è una cosa che però non ho capito, con $\tau$ si intende il momento totale del sistema?
Se è così, perché rispetto alle due masse sono uguali? E quindi si eliminano.
Scusami Shackle, i conti tornano ma i ragionamenti non li ho ancora capiti del tutto.
Infine, ho provato a risolvere il punto b)
Il momento delle forze d'attrito agenti sull'asse qual è? Ho pensato a $\alpha_AI$ oppure a $\alpha_BI$, ma non risulta. Poi ho pensato che forse è $(\alpha_B-\alpha_A)I$, ma è evidente che non ho capito qualcosa di fondamentale. Mi potreste aiutare?
Si verissimo, non avevo pensato di fare una verifica dimensionale.
@Shackle
Ho capito. L'errore che ho fatto è considerare il sistema isolato, ma così non è perché esiste una forza elastica che non è conservativa. E poi mi sono contraddetto col fatto di aver considerato la massa in moto accelerato.
C'è una cosa che però non ho capito, con $\tau$ si intende il momento totale del sistema?
Se è così, perché rispetto alle due masse sono uguali? E quindi si eliminano.
Scusami Shackle, i conti tornano ma i ragionamenti non li ho ancora capiti del tutto.
Infine, ho provato a risolvere il punto b)
Il momento delle forze d'attrito agenti sull'asse qual è? Ho pensato a $\alpha_AI$ oppure a $\alpha_BI$, ma non risulta. Poi ho pensato che forse è $(\alpha_B-\alpha_A)I$, ma è evidente che non ho capito qualcosa di fondamentale. Mi potreste aiutare?
@antmerl
Cosa intendi per forza elastica non conservativa? Mi sa che stai facendo un poco di confusione....
Per $tau$ si intende il momento di attrito che frena l'argano e che agisce sull'asse.
Shackle ha scritto le equazioni in maniera molto chiara ti consiglio di riflettere su quello, credo che sia la cosa migliore per capire il tutto.
Tra l'altro dalle stesse equazioni puoi ricavare quanto chiesto nel punto b).
Cosa intendi per forza elastica non conservativa? Mi sa che stai facendo un poco di confusione....
Per $tau$ si intende il momento di attrito che frena l'argano e che agisce sull'asse.
Shackle ha scritto le equazioni in maniera molto chiara ti consiglio di riflettere su quello, credo che sia la cosa migliore per capire il tutto.
Tra l'altro dalle stesse equazioni puoi ricavare quanto chiesto nel punto b).
Confermo quanto detto da Faussone; il testo indica con $\tau$ il momento di attrito sull’asse del tamburo, assunto uguale nei due casi. Non c’è alcuna forza elastica.
Scusate, volevo proprio scrivere forza di attrito. Certe volte, mentre fai altri esercizi, ti viene in automatico pensare una cosa e scriverne un'altra.
Se $\tau$ è il momento di attrito, $I\alpha$ è quindi il momento totale?
Se è così mi torna tutto.
Se è così mi torna tutto.
Infine, ho provato a risolvere il punto b)
Il momento delle forze d'attrito agenti sull'asse qual è? Ho pensato a αAI oppure a αBI, ma non risulta. Poi ho pensato che forse è (αB−αA)I, ma è evidente che non ho capito qualcosa di fondamentale. Mi potreste aiutare?
Per calcolare il momento delle forze di attrito $\tau$ , prendi una delle due equazioni cardinali, per A o per B (ovviamente la seconda, non la prima cardinale), da poco scritta, e ricava $tau$ , visto che ora conosci il momento di inerzia: tutte le quantità sono note , o facilmente ricavabili.
È un momento resistente, ripeto, che agisce sull’asse del tamburo; per esempio puoi supporre che l’asse abbia due cuscinetti radenti alle estremità , entro le quali l’asse ruota, mente i cuscinetti sono fissi ad un basamento. I due cuscinetti danno insieme un momento d attrito che si oppone al momento motore TR .
PS : ho visto solo ora un altro messaggio, che avevi pubblicato mentre scrivevo , questo :
Se τ è il momento di attrito, Iα è quindi il momento totale?
Se è così mi torna tutto.
Riguardati quanto scritto in precedenza: il momento totale di forze esterne al tamburo è dato da :
$TR - \tau $
la seconda cardinale dice che un momento di forze esterne, calcolato rispetto a un certo polo ( nel tuo caso un punto dell’asse di rotazione) è causa di variazione del momento angolare $ L = Iomega$ . Quindi :
$M_e = TR-\tau = d/(dt) (Iomega) = I dot omega = I alpha$
perciò , $Ialpha$ non è il momento delle forze esterne al tamburo, è piuttosto la variazione del momento angolare, che si traduce nel prodotto del momento di inerzia assiale per l’accelerazione angolare.
Dovresti rinfrescarti un po’ le idee su questi argomenti, sono fondamentali.
Quindi Shackle, lo studio è rivolto solamente alle forze agenti sull'argano e posso dire che la somma dei momenti che intervengono, momento della forza d'attrito e momento della tensione, producono una variazione del momento angolare che è espresso dal prodotto fra il momento d'inerzia assiale dell'argano e una accelerazione angolare dello stesso?
Per cui, il momento delle forze d'attrito agenti sull'asse è $\tau=T_AR - I\alpha_A$ oppure $\tau=T_BR - I\alpha_B$? Che sono uguali.
A quasto punto, se il ragionamento è giusto, prendo la prima equazione e sostituisco $T_A=m_A(g-(2h)/(t_A^2))$, $\alpha_A=(2h)/(Rt_A^2)$ e $I=[(m_B-m_A)g - 2h(m_B/t_B^2 -m_A/t_A^2)]/(2h(1/t_B^2 - 1/t_A^2))$, sto considerando il momento d'inerzia con l'errore del libro.
Però facendo i calcoli non sono riuscito a risolvere.
Per cui, il momento delle forze d'attrito agenti sull'asse è $\tau=T_AR - I\alpha_A$ oppure $\tau=T_BR - I\alpha_B$? Che sono uguali.
A quasto punto, se il ragionamento è giusto, prendo la prima equazione e sostituisco $T_A=m_A(g-(2h)/(t_A^2))$, $\alpha_A=(2h)/(Rt_A^2)$ e $I=[(m_B-m_A)g - 2h(m_B/t_B^2 -m_A/t_A^2)]/(2h(1/t_B^2 - 1/t_A^2))$, sto considerando il momento d'inerzia con l'errore del libro.
Però facendo i calcoli non sono riuscito a risolvere.
Il ragionamento è giusto, ma perché prendi l’espressione sbagliata per $I$ ? Abbiamo trovato quella giusta, usala.
È solo algebra, in fondo. E probabilmente anche qui il risultato del libro non è corretto.
È solo algebra, in fondo. E probabilmente anche qui il risultato del libro non è corretto.
Va bene Shackle, non mi dilungo ulteriormente e ti ringrazio per la pazienza e la disponibilità.
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