Esercizio Dinamica del Corpo Rigido
Non riesco a risolvere questo esercizio.
Il testo dice:
"Un piano scabro inclinato di un angolo $ pi $ /4 ha coefficiente di attrito dinamico pari a μd = 0.35 . Su di esso si trova una massa m1 = 4 kg, collegata ad una massa m2 = 1 kg per mezzo di una fune ideale passante su carrucola di massa M = 4 kg e raggio R = 10 cm.
a) Se all’istante t0 = 0 la massa m1 si trova in quiete ad una altezza h = 1m dal suolo, dopo quanto tempo giunge al fondo del piano?
b) Quale momento frenante Mf è necessario applicare alla carrucola per
mantenere il sistema in moto uniforme?"
Dunque io ho trattato la carrucola come un corpo rigido, ovvero una sfera ( $I= 2/5MR^2 $ ) e per ricavarmi l'accellerazione di m1 ho usato la seconda legge di Newton per m1, la seconda legge di Newton per m2 e la seconda legge cardinale della dinamica per la carrucola. Cioè:
Per m1: $ { ( N-m1gcosvartheta=0 ),( -Fd-T1+m1gsinvartheta=m1a ):} $ dove Fd è la forza di attrito dinamico e T1 la tensione della fune.
Per m2: $ T2-m2g=m2a $
E per la sfera: $ T1*R-T2*R=I*alpha $
A questo punto sapendo che $ alpha=a/R $ mi sono ricavata l'accellerazione del sistema $ a $ .
Per trovare il tempo ho calcolato lo spazio percorso da m1 (L) che è uguale a $ h/sinvartheta $ e con la formula:
$ L=1/2at^2 $ ho ricavato il tempo.
Ovviamente non torna...dove ho sbagliato?
Ripensandoci più volte mi è venuto il dubbio che forse al momento d'Inerzia della sfera dovei aggiungere i contributi di m1 e m2, quindi $I= 2/5MR^2+m1R^2+m2R^2 $ , ma anche così non torna. é comunque una correzione giusta o no?
(Il risultato dovrebbe essere t=1,55 s)
Il testo dice:
"Un piano scabro inclinato di un angolo $ pi $ /4 ha coefficiente di attrito dinamico pari a μd = 0.35 . Su di esso si trova una massa m1 = 4 kg, collegata ad una massa m2 = 1 kg per mezzo di una fune ideale passante su carrucola di massa M = 4 kg e raggio R = 10 cm.
a) Se all’istante t0 = 0 la massa m1 si trova in quiete ad una altezza h = 1m dal suolo, dopo quanto tempo giunge al fondo del piano?
b) Quale momento frenante Mf è necessario applicare alla carrucola per
mantenere il sistema in moto uniforme?"
Dunque io ho trattato la carrucola come un corpo rigido, ovvero una sfera ( $I= 2/5MR^2 $ ) e per ricavarmi l'accellerazione di m1 ho usato la seconda legge di Newton per m1, la seconda legge di Newton per m2 e la seconda legge cardinale della dinamica per la carrucola. Cioè:
Per m1: $ { ( N-m1gcosvartheta=0 ),( -Fd-T1+m1gsinvartheta=m1a ):} $ dove Fd è la forza di attrito dinamico e T1 la tensione della fune.
Per m2: $ T2-m2g=m2a $
E per la sfera: $ T1*R-T2*R=I*alpha $
A questo punto sapendo che $ alpha=a/R $ mi sono ricavata l'accellerazione del sistema $ a $ .
Per trovare il tempo ho calcolato lo spazio percorso da m1 (L) che è uguale a $ h/sinvartheta $ e con la formula:
$ L=1/2at^2 $ ho ricavato il tempo.
Ovviamente non torna...dove ho sbagliato?
Ripensandoci più volte mi è venuto il dubbio che forse al momento d'Inerzia della sfera dovei aggiungere i contributi di m1 e m2, quindi $I= 2/5MR^2+m1R^2+m2R^2 $ , ma anche così non torna. é comunque una correzione giusta o no?
(Il risultato dovrebbe essere t=1,55 s)
Risposte
Sarebbe opportuno che mettessi un disegno, per capire il sistema . Comunque , perchè la carrucola è una sfera ?? 
Devi assimilare la carrucola a un disco di raggio $R$ , con asse di rotazione perpendicolare alle facce circolari nel centro. Quindi il momento di inerzia assiale è : $I =1/2MR^2$ . Questo è certamente un errore.
In attesa del disegno , immagino che la carrucola sia in cima al piano inclinato, con l'asse orizzontale che ruota in un supporto solidale al vertice del piano. LA massa $m_1$ è sul piano, legata al filo che passa nella carrucola , la massa $m_2$ è legata all'altro capo del filo , che pende in verticale dopo l'uscita dalla carrucola : è cosi ?
Se è cosí , le due equazioni per $m_1$ e l'equazione per $m_2$ sono giuste, e anche la 2º cardinale per la carrucola; quindi può darsi che l'errore sia solo quello del momento di inerzia. La forza di attrito $F_d$ che agisce su $m_1$ , a che cosa è uguale ?
Il dubbio che ti è venuto alla fine è assurdo , fattelo passare...
NB : "accelerazione" , con una sola $l$ .
Devi assimilare la carrucola a un disco di raggio $R$ , con asse di rotazione perpendicolare alle facce circolari nel centro. Quindi il momento di inerzia assiale è : $I =1/2MR^2$ . Questo è certamente un errore.
In attesa del disegno , immagino che la carrucola sia in cima al piano inclinato, con l'asse orizzontale che ruota in un supporto solidale al vertice del piano. LA massa $m_1$ è sul piano, legata al filo che passa nella carrucola , la massa $m_2$ è legata all'altro capo del filo , che pende in verticale dopo l'uscita dalla carrucola : è cosi ?
Se è cosí , le due equazioni per $m_1$ e l'equazione per $m_2$ sono giuste, e anche la 2º cardinale per la carrucola; quindi può darsi che l'errore sia solo quello del momento di inerzia. La forza di attrito $F_d$ che agisce su $m_1$ , a che cosa è uguale ?
Il dubbio che ti è venuto alla fine è assurdo , fattelo passare...
NB : "accelerazione" , con una sola $l$ .
Cavolo in effetti non so perchè ho pensato fosse una sfera 
Correggendo il momento d'inerzia il risultato torna!
Grazie mille per le correzioni!
Correggendo il momento d'inerzia il risultato torna!
Grazie mille per le correzioni!
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