Esercizio dinamica dei sistemi, urti, corpi rigidi
Salve potreste dirmi se questo esercizio è svolto correttamente? Non possiedo le soluzioni. Vi chiedo scusa in anticipo per la lunghezza del post.
Un'asta di lunghezza $l=50cm$, massa $m=300g$ può ruotare senza attrito attorno a una cerniera fissata al soffitto, tenuta ferma, ad un angolo $theta=70°$ rispetto alla verticale, da una molla verticale di costante elastica $k=491 N/m$, allungata di una lunghezza $d$ rispetto alla lunghezza di riposo. La molla si spezza, l'asta ruota e quando è verticale la sua estremità inferiore urta un blocco di massa $m_2=100g$, posto su un piano orizzontale. Nell'urto l'asta si ferma e il blocco parte sul piano, con cui ha coefficiente di attrito $mu_d=0,49$.
Calcolare l'allungamento $d$ che aveva la molla, la velocità angolare $omega$ dell'asta quando urta il blocco, lo spazio $s$ percorso dal blocco sul piano.
Risoluzione
Ho pesato di suddividere il moto in 4 fasi
Fase 1 $t=0$ condizione di equilibrio statico
Fase 2 $0
Fase 1
Scelgo come sistema di riferimento l'usuale piano cartesiano con l'asse z entrante nel foglio e polo nella cerniera.
Nell'istante antecedente alla rottura, il sistema è in equilibrio dunque:
${ ( sumvec(F)_"ext"=0 ),( sumvec(M)_"ext"=0 ):}$
Abbiamo nel dettaglio
$mvec(g)=-mg*vec(u)_x$
$vec(F)_e=F_e*vec(u)_y=-k(x-x_0)vec(u)_y=kdvec(u)_y$ per $x=x_0-d$
$vec(R)_N=R_N*vec(u)_y$
Dunque $mvec(g)+vec(F)_e+vec(R_N)=0 hArr (kd+R_N-mg)vec(u)_y=0$
Per quanto riguarda i momenti
$vec(M)_(mg)=vecr xx mvecg=(l/2mgsin(pi/2+pi/9))vecu_z$
$vec(M)_(F_e)=vecr xx vecF_e=-(lkdsin(pi/2-pi/9))vecu_z$
$vec(M)_(R_N)$ risulta zero poichè applicato nel polo.
Dunque $vec(M)_(mg)+vec(M)_(F_e)=(l/2mgsin(pi/2+pi/9)-lkdsin(pi/2-pi/9))vecu_z=0$
Segue il sistema
${ ( kd+R_N-mg=0 ),( l/2mg=lkd) :}={ ( d=(mg-R_N)/k),( l/2mg=lk(mg-R_n)/k) :}={ (d=(mg)/2k),(R_N=(mg)/2) :}$
Fase 2
Subito dopo la forza elastica cessa di avere effetto sull'asta e questa ruota sotto l'effetto della forza peso. Il centro di massa descrive un arco di circonferenza. Riarrangiando le formule precedenti e considerando l'assenza della forza elastica ho:
${ (R_N-mg=ma_(CM) ),( l/2mgcos(pi/9)=I*alpha=1/3ml^2*alpha) :}$
Dalla seconda segue direttamente $alpha=3/2*g/l*cos(pi/9)$
L'angolo iniziale che l'asta forma con il soffitto è $theta_0=pi/9$. Un istante prima dell'urto $theta(t_u-varepsilon)=pi/2-theta(epsilon)\approx pi/2$ Dunque:
${(omega=alpha*t),(theta=theta_0+1/2alpha(t)^2),(alpha=3/2*g/l*cos(pi/9)) :}rArr omega=sqrt(2alpha(theta-theta_0))=sqrt((3g)/lcos(pi/9)(pi/2-pi/9))$
Fase 3
Considero la quantità di moto del sistema asta-punto. Non è un sistema isolato infatti l'asta è vincolata e soggetta alla forza peso. Quindi la quantità di moto non è conservata:
$vec(M)_"ext"=(dvecL)/dt$ dove $vec(M)_"ext"=l/2 xxmvecg$ dunque la forza peso esercita un momento sull'asta e quindi il momento angolare varia nel tempo. Tuttavia la forza peso è non-impusiva così come il suo momento. Segue che nonostante la variazione del momento angolare, questa avviene senza discontinuità (bruschi salti) in nessun istante. (E' sufficiente integrare la relazione del momento nell'intervallo della fase 3)
Segue che pur variando nel tempo il momento angolare si conserva nell'urto:
$vecL_i=vecL_f$ ovvero
$vecL_(a,i)+vecL_(p,i)=vecL_(a,f)+vecL_(p,f) hArr Iomegavecu_z=lm_2v_0vec(u)_z$ da cui:
$v_0=(Iomega)/(lm_2)=m/m_2*sqrt((gl)/3*cos(pi/9)(pi/2-pi/9))$
Fase 4
In questa fase intervengono forze dissipative inoltre considero l'energia cinetica finale uguale a zero e quella iniziale proporzionale alla velocità nell'istante subito dopo l'urto. Dunque
$W_(nc)=E_(m,f)-E_(m,i)=E_(K,f)+E_(U,f)-E_(K,i)-E_(U,i) hArr -s*f_A=-1/2m_2v_0^2 hArr -smum_2g=-1/2m_2v_0^2$
Da cui $s=(v_0^2)/(2mug)$
Andando a sostituire i vari dati, seguono le soluzioni.
Come già detto mi scuso per il papiro ma la data si avvicina e ho cercato di risolverlo come farei in sede di esame.
Ammetto di avere dubbi sia sulla fase 3 che 4 a causa della presenza della forza di attrito quindi non so se effettivamente le relazioni sono corrette.
Spero possiate aiutarmi.
Vi ringrazio!
Un'asta di lunghezza $l=50cm$, massa $m=300g$ può ruotare senza attrito attorno a una cerniera fissata al soffitto, tenuta ferma, ad un angolo $theta=70°$ rispetto alla verticale, da una molla verticale di costante elastica $k=491 N/m$, allungata di una lunghezza $d$ rispetto alla lunghezza di riposo. La molla si spezza, l'asta ruota e quando è verticale la sua estremità inferiore urta un blocco di massa $m_2=100g$, posto su un piano orizzontale. Nell'urto l'asta si ferma e il blocco parte sul piano, con cui ha coefficiente di attrito $mu_d=0,49$.
Calcolare l'allungamento $d$ che aveva la molla, la velocità angolare $omega$ dell'asta quando urta il blocco, lo spazio $s$ percorso dal blocco sul piano.
Risoluzione
Ho pesato di suddividere il moto in 4 fasi
Fase 1 $t=0$ condizione di equilibrio statico
Fase 2 $0
Fase 1
Scelgo come sistema di riferimento l'usuale piano cartesiano con l'asse z entrante nel foglio e polo nella cerniera.
Nell'istante antecedente alla rottura, il sistema è in equilibrio dunque:
${ ( sumvec(F)_"ext"=0 ),( sumvec(M)_"ext"=0 ):}$
Abbiamo nel dettaglio
$mvec(g)=-mg*vec(u)_x$
$vec(F)_e=F_e*vec(u)_y=-k(x-x_0)vec(u)_y=kdvec(u)_y$ per $x=x_0-d$
$vec(R)_N=R_N*vec(u)_y$
Dunque $mvec(g)+vec(F)_e+vec(R_N)=0 hArr (kd+R_N-mg)vec(u)_y=0$
Per quanto riguarda i momenti
$vec(M)_(mg)=vecr xx mvecg=(l/2mgsin(pi/2+pi/9))vecu_z$
$vec(M)_(F_e)=vecr xx vecF_e=-(lkdsin(pi/2-pi/9))vecu_z$
$vec(M)_(R_N)$ risulta zero poichè applicato nel polo.
Dunque $vec(M)_(mg)+vec(M)_(F_e)=(l/2mgsin(pi/2+pi/9)-lkdsin(pi/2-pi/9))vecu_z=0$
Segue il sistema
${ ( kd+R_N-mg=0 ),( l/2mg=lkd) :}={ ( d=(mg-R_N)/k),( l/2mg=lk(mg-R_n)/k) :}={ (d=(mg)/2k),(R_N=(mg)/2) :}$
Fase 2
Subito dopo la forza elastica cessa di avere effetto sull'asta e questa ruota sotto l'effetto della forza peso. Il centro di massa descrive un arco di circonferenza. Riarrangiando le formule precedenti e considerando l'assenza della forza elastica ho:
${ (R_N-mg=ma_(CM) ),( l/2mgcos(pi/9)=I*alpha=1/3ml^2*alpha) :}$
Dalla seconda segue direttamente $alpha=3/2*g/l*cos(pi/9)$
L'angolo iniziale che l'asta forma con il soffitto è $theta_0=pi/9$. Un istante prima dell'urto $theta(t_u-varepsilon)=pi/2-theta(epsilon)\approx pi/2$ Dunque:
${(omega=alpha*t),(theta=theta_0+1/2alpha(t)^2),(alpha=3/2*g/l*cos(pi/9)) :}rArr omega=sqrt(2alpha(theta-theta_0))=sqrt((3g)/lcos(pi/9)(pi/2-pi/9))$
Fase 3
Considero la quantità di moto del sistema asta-punto. Non è un sistema isolato infatti l'asta è vincolata e soggetta alla forza peso. Quindi la quantità di moto non è conservata:
$vec(M)_"ext"=(dvecL)/dt$ dove $vec(M)_"ext"=l/2 xxmvecg$ dunque la forza peso esercita un momento sull'asta e quindi il momento angolare varia nel tempo. Tuttavia la forza peso è non-impusiva così come il suo momento. Segue che nonostante la variazione del momento angolare, questa avviene senza discontinuità (bruschi salti) in nessun istante. (E' sufficiente integrare la relazione del momento nell'intervallo della fase 3)
Segue che pur variando nel tempo il momento angolare si conserva nell'urto:
$vecL_i=vecL_f$ ovvero
$vecL_(a,i)+vecL_(p,i)=vecL_(a,f)+vecL_(p,f) hArr Iomegavecu_z=lm_2v_0vec(u)_z$ da cui:
$v_0=(Iomega)/(lm_2)=m/m_2*sqrt((gl)/3*cos(pi/9)(pi/2-pi/9))$
Fase 4
In questa fase intervengono forze dissipative inoltre considero l'energia cinetica finale uguale a zero e quella iniziale proporzionale alla velocità nell'istante subito dopo l'urto. Dunque
$W_(nc)=E_(m,f)-E_(m,i)=E_(K,f)+E_(U,f)-E_(K,i)-E_(U,i) hArr -s*f_A=-1/2m_2v_0^2 hArr -smum_2g=-1/2m_2v_0^2$
Da cui $s=(v_0^2)/(2mug)$
Andando a sostituire i vari dati, seguono le soluzioni.
Come già detto mi scuso per il papiro ma la data si avvicina e ho cercato di risolverlo come farei in sede di esame.
Ammetto di avere dubbi sia sulla fase 3 che 4 a causa della presenza della forza di attrito quindi non so se effettivamente le relazioni sono corrette.
Spero possiate aiutarmi.
Vi ringrazio!
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