Esercizio Dinamica Corpo Rigido
Buongiorno a tutti gli utenti del Forum, scusate se disturbo durante la pausa estiva, per chi la fa, (non come me che purtroppo devo sia studiare che lavorare) ma a settembre devo dare l'esame di Fisica 1 e ho ancora molte perplessità.
Una tra le tante si trova nella risoluzione di questo esercizio, allegato all'indirizzo:
a) Per quanto riguarda la risoluzione del primo punto capisco che il problema va risolto con il principio di conservazione dell'energia, cioè:
Energia del sistema iniziale
\(\displaystyle E_i = \frac{1}{2} m(\omega_0 r)^2 + \frac{1}{2} I \omega_0^2\)
dove I è il momento d'inerzia del disco rispetto ad un asse passante per il suo centro:
\(\displaystyle I = \frac{mr^2}{2} \)
Quindi
\(\displaystyle E_i = \frac{3mr^2 \omega_0^2}{4} \)
Ma non riesco a capire come impostare l'energia finale.
Ringrazio in anticipo a chi risponderà.
Una tra le tante si trova nella risoluzione di questo esercizio, allegato all'indirizzo:
a) Per quanto riguarda la risoluzione del primo punto capisco che il problema va risolto con il principio di conservazione dell'energia, cioè:
Energia del sistema iniziale
\(\displaystyle E_i = \frac{1}{2} m(\omega_0 r)^2 + \frac{1}{2} I \omega_0^2\)
dove I è il momento d'inerzia del disco rispetto ad un asse passante per il suo centro:
\(\displaystyle I = \frac{mr^2}{2} \)
Quindi
\(\displaystyle E_i = \frac{3mr^2 \omega_0^2}{4} \)
Ma non riesco a capire come impostare l'energia finale.
Ringrazio in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Per capire l'energia cinetica minima che può avere il disco un istante prima di staccarsi devi fare qualche considerazione in merito alle forze e accelerazioni che agiscono sul disco quando si trova sulla guida in un certo punto. Considera per esempio che il disco non può arrivare alla massima quota a velocità nulla perchè si staccherebbe prima dalla guida....
Cerco di risolverlo. Dico subito che nei bilnaci dell'energia non compare l'energia di rotazione poichè dato che è costante i termini si elidono.
1) Dato che la guida è senza attrito, il disco avrà sempre la stessa $\omega_0$ attorno al proprio asse. Questa serve solo per calcolarci la velocità del cdm prima che cominci la salita poichè il disco non slitta:$v_{cm}=\omega_0 r$ E' chiaro che se il disco raggiunge appena la metà della salita basta che incrementiamo un po' la velocità iniziale affinchè si stacchi dalla guida. Il limite superiore di $\omega_0$ è dato dal fatto che il disco potrebbe anche completare il giro: il punto più rischioso perchè si stacchi è quello più in alto, poichè la velocità è minima e la forza peso massima (intendo la componente radiale): allora la condizione la imposto in quel punto.
Per la conservazione dell'energia: $\frac{1}{2}m(\omega_0 r)^2=\frac{1}{2}mv_f^2+mg(10r)(1+\sin \alpha )$ con $\alpha$ l'angolo che il disco percorre oltre il diametro orizzontale della guida. Nel caso del punto più in alto ho $\frac{1}{2}m(\omega_0 r)^2=\frac{1}{2}mv_f^2+mg(20r)$ inoltre affinchè non ci sia distacco $\frac{v_f^2}{10r}=g$
Mettendo a sistema si ha $\omega_0=\sqrt{\frac{30g}{r}}$ Facendo la stessa cosa e imponendo che il disco si fermi sul diametro orizzontale della guida ho il limite minore.
Allora l'intervallo richiesto dovrebbe essere $\sqrt{\frac{20g}{r}}<\omega_0<\sqrt{\frac{30g}{r}}$
2)Suppongo che il distacco avvenga. Allora dalla conservazione dell'energia come prima ho $\frac{1}{2}m(\omega_0 r)^2=\frac{1}{2}mv_f^2+mg(10r)(1+\sin \alpha )$. La condizione in questo caso da imporre è $\frac{v_f^2}{10r}=g\sin \alpha$ da cui ottengo $\sin \alpha=\frac{\omega_0^2 r-20g}{30g}$ quindi conosco l'altezza che è pari a $\Delta h= \frac{10rg+\omega_0^2r^2}{3g}$
3) Per la conservazione dell'energia la velocità (penso si intenda del centro di massa) è la stessa dell'inizio
o c'è qualche altra cosa dietro ?
PS: ma all'università si studia anche nelle vacanze??
1) Dato che la guida è senza attrito, il disco avrà sempre la stessa $\omega_0$ attorno al proprio asse. Questa serve solo per calcolarci la velocità del cdm prima che cominci la salita poichè il disco non slitta:$v_{cm}=\omega_0 r$ E' chiaro che se il disco raggiunge appena la metà della salita basta che incrementiamo un po' la velocità iniziale affinchè si stacchi dalla guida. Il limite superiore di $\omega_0$ è dato dal fatto che il disco potrebbe anche completare il giro: il punto più rischioso perchè si stacchi è quello più in alto, poichè la velocità è minima e la forza peso massima (intendo la componente radiale): allora la condizione la imposto in quel punto.
Per la conservazione dell'energia: $\frac{1}{2}m(\omega_0 r)^2=\frac{1}{2}mv_f^2+mg(10r)(1+\sin \alpha )$ con $\alpha$ l'angolo che il disco percorre oltre il diametro orizzontale della guida. Nel caso del punto più in alto ho $\frac{1}{2}m(\omega_0 r)^2=\frac{1}{2}mv_f^2+mg(20r)$ inoltre affinchè non ci sia distacco $\frac{v_f^2}{10r}=g$
Mettendo a sistema si ha $\omega_0=\sqrt{\frac{30g}{r}}$ Facendo la stessa cosa e imponendo che il disco si fermi sul diametro orizzontale della guida ho il limite minore.
Allora l'intervallo richiesto dovrebbe essere $\sqrt{\frac{20g}{r}}<\omega_0<\sqrt{\frac{30g}{r}}$
2)Suppongo che il distacco avvenga. Allora dalla conservazione dell'energia come prima ho $\frac{1}{2}m(\omega_0 r)^2=\frac{1}{2}mv_f^2+mg(10r)(1+\sin \alpha )$. La condizione in questo caso da imporre è $\frac{v_f^2}{10r}=g\sin \alpha$ da cui ottengo $\sin \alpha=\frac{\omega_0^2 r-20g}{30g}$ quindi conosco l'altezza che è pari a $\Delta h= \frac{10rg+\omega_0^2r^2}{3g}$
3) Per la conservazione dell'energia la velocità (penso si intenda del centro di massa) è la stessa dell'inizio
o c'è qualche altra cosa dietro ? PS: ma all'università si studia anche nelle vacanze??
texas97, 97 è il tuo anno di nascita? Hai 14 anni? Te lo chiedo perché un problema così alla tua età neanche lo avrei capito, figuriamoci risolverlo!
Mmmmm no, certo che no, ce ne ho 4 in più, quel numeretto non ha niente a che fare con gli anni ! !
Già che ci sei, potrebbe andare come soluzione (mi stupisce la 3^a domanda, non è che c'è qualcosa di più sofisticato sotto ?
)
Già che ci sei, potrebbe andare come soluzione (mi stupisce la 3^a domanda, non è che c'è qualcosa di più sofisticato sotto ?
)
Be', anche a 18 anni avrei avuto molto più di qualche problema a risolverlo!
Posso chiederti che scuola fai?
Per quel che riguarda lo svolgimento non ho controllato tutte le formule, ma il procedimento mi pare corretto.
Per l'ultimo punto concordo con quanto dici.
Posso chiederti che scuola fai?
Per quel che riguarda lo svolgimento non ho controllato tutte le formule, ma il procedimento mi pare corretto.
Per l'ultimo punto concordo con quanto dici.
Forse è meglio in privato...
Per quanto riguarda il terzo punto, allora è più una domanda di teoria
!
Per quanto riguarda il terzo punto, allora è più una domanda di teoria
!
Grazie per le risposte.
Anche se hai 18 anni hai una buonissima preparazione, di sicuro non fai un istituto tecnico (quello che ho fatto io) dove non si studia neanche la fisica.
Per quanto riguarda l'esercizio ho trovato la soluzione(anche se si impara di più a non guardarla), e anche se la leggo non mi è chiaro del tutto.
Sopratutto quando ha trovato Emax, riuscireste a spiegarmelo?
Anche se hai 18 anni hai una buonissima preparazione, di sicuro non fai un istituto tecnico (quello che ho fatto io) dove non si studia neanche la fisica.
Per quanto riguarda l'esercizio ho trovato la soluzione(anche se si impara di più a non guardarla), e anche se la leggo non mi è chiaro del tutto.
Sopratutto quando ha trovato Emax, riuscireste a spiegarmelo?
Mmmm la soluzione ufficiale è impeccabile se il piano fosse stato con attrito, anzi il massimo possibile affinchè il disco non possa mai slittare. Ma nella traccia c'era scritto "piano privo di attrito" il che mi autorizza a ignorare il termine $\frac{1}{2}I\omega_0^2$. Bah, magari è un errore di stampa.
In effetti l'esercizio ha molto più senso così, altrimenti poteva benissimo esserci un corpo puntiforme
Se posso essere d'aiuto, il punto è questo: dato che il disco non slitta mai, ciò significa che non v'è dissipazione d'energia, quindi tutta l'energia che ha viene trasformata in potenziale. Poi lui ha seguito una strada analoga alla mia (includendo anche l'energia di rotazione): in pratica il disco se non riesce a giungere a metà altezza stai certo che non si stacca, ma riviene indietro. Se riesce a giungere alla massima altezza stai certo che non si stacca, ma riviene giù dall'altra parte (se ti è più comodo immagina un cerchio completo). Dopodichè ha fatto semplicemente il bilancio dell'energia. Il $\Delta h$ per il primo caso relativo al centro di massa è $9r$ e per il secondo caso è $18r$. Spero di essere stato chiaro.
la soluzione ufficiale è impeccabile se il piano fosse stato con attrito, anzi il massimo possibile affinchè il disco non possa mai slittare. Ma nella traccia c'era scritto "piano privo di attrito" il che mi autorizza a ignorare il termine $\frac{1}{2}I\omega_0^2$. Bah, magari è un errore di stampa.In effetti l'esercizio ha molto più senso così, altrimenti poteva benissimo esserci un corpo puntiforme
Se posso essere d'aiuto, il punto è questo: dato che il disco non slitta mai, ciò significa che non v'è dissipazione d'energia, quindi tutta l'energia che ha viene trasformata in potenziale. Poi lui ha seguito una strada analoga alla mia (includendo anche l'energia di rotazione): in pratica il disco se non riesce a giungere a metà altezza stai certo che non si stacca, ma riviene indietro. Se riesce a giungere alla massima altezza stai certo che non si stacca, ma riviene giù dall'altra parte (se ti è più comodo immagina un cerchio completo). Dopodichè ha fatto semplicemente il bilancio dell'energia. Il $\Delta h$ per il primo caso relativo al centro di massa è $9r$ e per il secondo caso è $18r$. Spero di essere stato chiaro.
Se deve essere sincero a me la soluzione data non convince per nulla.
Oltre al discorso che se si considera la guida priva di attrito il disco non può smettere di ruotare, come fato notare da texas97, c'è anche da dire che il disco non può giungere alla massima altezza a velocità nulla, perché si staccherebbe prima.
Ma quella è la soluzione ufficiale?
Oltre al discorso che se si considera la guida priva di attrito il disco non può smettere di ruotare, come fato notare da texas97, c'è anche da dire che il disco non può giungere alla massima altezza a velocità nulla, perché si staccherebbe prima.
Ma quella è la soluzione ufficiale?
Sì, mi ritrovo al 100% con Faussone. Proporrei una cosa a questo punto: dato che il topic potrebbe incasinarsi forse è meglio che ciascuno di noi mettesse i propri risultati sviluppati da sè. Non mi ritrovo con le soluzioni ufficiali per i motivi di Faussone e neanche con il risultato dell'ultimo esercizio perchè lui parte dal presupposto che il disco non abbia più una velocità angolare.
Pertanto con il presupposto che il piano abbia molto molto attrito e cioè che il disco non slitti mai e sfruttando il fatto che $r$ non è trascurabile rispetto ad $R$ e che quindi il raggio della circonferenza fatta dal disco è $9r$ io ottengo questi risultati (ovviamente funzioni di $\omega_0$, $r$ e $g$):
1) $\sqrt{\frac{12g}{r}}<\omega_0<\sqrt{\frac{33g}{r}}$
2) $\Delta h=\frac{34gr+3\omega_0^2r^2}{7g}$ dove questa è la quota dal terreno del centro di massa al momento del distacco
3)$v_f=\sqrt{\frac{9\omega_0^2r^2+18gr}{7}}$
Postateli anche voi così li confrontiamo
Pertanto con il presupposto che il piano abbia molto molto attrito e cioè che il disco non slitti mai e sfruttando il fatto che $r$ non è trascurabile rispetto ad $R$ e che quindi il raggio della circonferenza fatta dal disco è $9r$ io ottengo questi risultati (ovviamente funzioni di $\omega_0$, $r$ e $g$):
1) $\sqrt{\frac{12g}{r}}<\omega_0<\sqrt{\frac{33g}{r}}$
2) $\Delta h=\frac{34gr+3\omega_0^2r^2}{7g}$ dove questa è la quota dal terreno del centro di massa al momento del distacco
3)$v_f=\sqrt{\frac{9\omega_0^2r^2+18gr}{7}}$
Postateli anche voi così li confrontiamo
non capisco ocme un corpo che rotola senza strisciare possa fare a meno dell'attrito, sono d'accordo con texas97 che dice che è necessaria una forza di attrito tale da permettere al corpo rigido di ravere un moto di rotolamento perfetto. il problema secondo me è malposto anche se tuttavia nei calcoli possiamo comunque applicare la conservazione dell'energia perché si può dimostrare che essendo il punto di contatto istantaneamente fermo non c'è alcuna dispersione di energia. tuttavia occorre considerare che nel calcolo dell'energia meccanica del sistema va considerata l'energia di rotazione $1/2Iω0^2$ e la velocità angolare decresce sulla guida circolare, non rimane la stessa
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