Esercizio dinamica corpo rigido
Potreste aiutarmi a comprendere meglio questo esercizio? (Ho già visto qualcuno porre la stessa domanda nel 2017 ma la conversazione è inconcludente, chiedo scusa se la ripropongo)
$1)$ Un corpo rigido è formato da un'asta sottile di massa trascurabile, da una sfera piena di raggio $ R=14cm $ e massa $ m=16kg $, da un guscio sferico di eguale raggio R e massa $ m/4 $. Il sistema è disposto come in figura, con l'asta (linea rossa in figura) che attraversa le sfere lungo un diametro e può ruotare senza attrito attorno all'asse verticale indicato, passante per il punto di contatto delle due sfere.
a) Calcolare il lavoro necessario per portare il sistema, inizialmente in quiete, alla velocità angolare $ omega_1=15 "rad"/s $ .
Raggiunta $omega_1=15"rad"/s $ si stacca il motore e il sistema continua a ruotare con questa stessa velocità angolare. Ad un certo istante, agendo all'interno del sistema si lascia slittare senza attrito il guscio di una distanza pari a $ 2R $.
b)Calcolare il lavoro che viene fornito dal sistema.
https://i.imgur.com/XDQKucy.jpeg <-- qui il problema con l'immagine e la soluzione.
Ho risolto tutto il problema e i risultati sono giusti fatta eccezione per il lavoro del punto b). Infatti il libro lo risolve così:
Calcola $I_1$, il momento di inerzia quando le sfere sono unite, $I_2$ quando si separano. Poiché il momento della forza peso è ininfluente rispetto all'asse di rotazione (?), si ha conservazione del momento angolare dunque $I_1*omega_1=I_2*omega_2$. Quindi calcola $omega_2$. Infine per calcolare il lavoro fa $W=1/2I_1omega_1^2-1/2I_2omega_2^2$.
Ora, perché inverte l'energia cinetica finale con quella iniziale? Mi sfugge qualcosa della richiesta o è un errore?
Vi ringrazio per l'aiuto!
$1)$ Un corpo rigido è formato da un'asta sottile di massa trascurabile, da una sfera piena di raggio $ R=14cm $ e massa $ m=16kg $, da un guscio sferico di eguale raggio R e massa $ m/4 $. Il sistema è disposto come in figura, con l'asta (linea rossa in figura) che attraversa le sfere lungo un diametro e può ruotare senza attrito attorno all'asse verticale indicato, passante per il punto di contatto delle due sfere.
a) Calcolare il lavoro necessario per portare il sistema, inizialmente in quiete, alla velocità angolare $ omega_1=15 "rad"/s $ .
Raggiunta $omega_1=15"rad"/s $ si stacca il motore e il sistema continua a ruotare con questa stessa velocità angolare. Ad un certo istante, agendo all'interno del sistema si lascia slittare senza attrito il guscio di una distanza pari a $ 2R $.
b)Calcolare il lavoro che viene fornito dal sistema.
https://i.imgur.com/XDQKucy.jpeg <-- qui il problema con l'immagine e la soluzione.
Ho risolto tutto il problema e i risultati sono giusti fatta eccezione per il lavoro del punto b). Infatti il libro lo risolve così:
Calcola $I_1$, il momento di inerzia quando le sfere sono unite, $I_2$ quando si separano. Poiché il momento della forza peso è ininfluente rispetto all'asse di rotazione (?), si ha conservazione del momento angolare dunque $I_1*omega_1=I_2*omega_2$. Quindi calcola $omega_2$. Infine per calcolare il lavoro fa $W=1/2I_1omega_1^2-1/2I_2omega_2^2$.
Ora, perché inverte l'energia cinetica finale con quella iniziale? Mi sfugge qualcosa della richiesta o è un errore?
Vi ringrazio per l'aiuto!
Risposte
L'energia cinetica del sistema è diminuita quando il guscio si allontana, giusto? Quindi il sistema ha ceduto energia.
A cosa, non viene detto, ma si può immaginare: visto che non c'è attrito nello slittamento, il guscio prenderà velocità, quindi potrebbe sbattere su un fermo e dissiparla così; oppure, la situazione "finale" potrebbe essere solo una fotografia di una situazione in evoluzione, il guscio potrebbe acquisire velocità radiale, nel qual caso non ci sarebbe in realtà diminuzione di energia cinetica, perchè questa non si esaurisce nell'enegia di rotazione, e l'energia nello stato finale non avrebbe quella forma, ci va aggiunta quella dovuta al movimento radiale.
Per cui, se vediamo le cose in questo secondo modo, la risposta è che il sistema non compie lavoro (all'esterno)
A cosa, non viene detto, ma si può immaginare: visto che non c'è attrito nello slittamento, il guscio prenderà velocità, quindi potrebbe sbattere su un fermo e dissiparla così; oppure, la situazione "finale" potrebbe essere solo una fotografia di una situazione in evoluzione, il guscio potrebbe acquisire velocità radiale, nel qual caso non ci sarebbe in realtà diminuzione di energia cinetica, perchè questa non si esaurisce nell'enegia di rotazione, e l'energia nello stato finale non avrebbe quella forma, ci va aggiunta quella dovuta al movimento radiale.
Per cui, se vediamo le cose in questo secondo modo, la risposta è che il sistema non compie lavoro (all'esterno)
Perdonami ma non credo di aver capito. L'energia cinetica è diminuita, il lavoro dovrebbe essere negativo.
Il lavoro fatto dal sistema sull'ambiente (?) è positivo?
Se ad esempio il sistema urtasse qualcosa, è l'oggetto urtato che compie un lavoro negativo sul sistema poiché riduce l'energia cinetica del sistema? Il sistema invece compie un lavoro positivo poiché aumenta l'energia cinetica del corpo urtato?
Che intendi con "il sistema non compie lavoro all'esterno?"
Il lavoro fatto dal sistema sull'ambiente (?) è positivo?
Se ad esempio il sistema urtasse qualcosa, è l'oggetto urtato che compie un lavoro negativo sul sistema poiché riduce l'energia cinetica del sistema? Il sistema invece compie un lavoro positivo poiché aumenta l'energia cinetica del corpo urtato?
Che intendi con "il sistema non compie lavoro all'esterno?"
"paolo1712":
Perdonami ma non credo di aver capito. L'energia cinetica è diminuita, il lavoro dovrebbe essere negativo.
...
Che intendi con "il sistema non compie lavoro all'esterno?"
Il sistema ha una certa energia (inizialmente, energia cinetica di rotazione).
Dopo lo spostamente del guscio (e nell'ipotesi che alla fine sia fermo) l'energia è ancora solo rotazionale, e minore di prima.
La differenza è stata ceduta dal sistema, ha preso un'altro aspetto.
Se ci fosse attrito sulla guida, sarebbe andato in attrito, energia termica. Oppure in un urto finale, idem.
Se invece supponiamo la guida liscia, e lunga oltre la posizione finale, il guscio ha preso una velocità radiale $v$, l'energia cinetica del sistema non è più $1/2I_2omega_2^2$ ma bisogna aggiungere $1/2mv^2$ per il guscio in moto radiale. Anzi, puoi trovare $v$ proprio tenendo conto che quel che manca da una parte è riapparso qui. E siccome tutto resta "in famiglia" mi pare che si possa dire che il sistema non ha compiuto lavoro, l'ha solo travasato da una forma ad un'altra
Ok quindi il $W$ che calcolo è la quota di energia trasferita. Nell'ipotesi in cui tale lavoro resti nel sistema, compie lavoro nullo. Ma perché è positiva? Non lo sta prendendo in valore assoluto, ha proprio scambiato i termini finale/iniziale.
"paolo1712":
Ok quindi il $W$ che calcolo è la quota di energia trasferita.
[..]
Ma perché è positiva? Non lo sta prendendo in valore assoluto, ha proprio scambiato i termini finale/iniziale.
Mi sfugge il problema. Se il sistema inizialmente ha, poniamo, 10J, e alla fine ne ha 6, vuol dire che ne ha ceduti 4. Il qual numero 4 si ottiene appunto da 10 - 6, e risulta positivo. Di che scambio parli?
Del resto ti dirò che tutte queste storie sui segni mi sono sempre sembrate questioni di lana caprina.
la formula del lavoro è $W=DeltaK=K_f-K_i$ se l'energia cinetica è diminuita il lavoro compiuto è negativo. "6-10=-4". Invece la soluzione è $W=K_i-K_f$, ovvero lo scambio di cui ti parlavo.
Forse l'incomprensione sta sul "lavoro fornito dal sistema"
Forse l'incomprensione sta sul "lavoro fornito dal sistema"
"paolo1712":
la formula del lavoro è $W=DeltaK=K_f-K_i$ se l'energia cinetica è diminuita il lavoro compiuto è negativo.
E' negativo il lavoro compiuto sul sistema, positivo quello compiuto dal sistema.
Basta intendersi.
Ho capito, ti ringrazio ancora per il tuo tempo!
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