Esercizio Dinamica Corpo Rigido
Salve, ho problemi con questo esercizio nella risoluzione del punto b).
Ho provato calcolando la variazione di energia potenziale per trovare appunto quella cinetica del cilindro 2 (cioè quello in movimento rototraslatorio):
$DeltaE_P=Mgh$ dove $h=lsin30°=l/2$ per cui $DeltaE_K=Mgl/2$ ma è errato.
Poi ho pensato che conoscendo l'accelerazione traslazionale del centro di massa $a_2=2/5g$ avrei potuto trovare la velocità del CM, ma dovevo prima trovare il tempo. Quindi
$S=1/2at^2=l$ per cui $t=sqrt((2l)/a)=sqrt((5l)/g)$
$\upsilon_2=a_2t=2/5gsqrt((2l)/(2/5g))=sqrt(4/5lg)$
So anche $\alpha_1=-\alpha_2=g/(4R+1)=5/9g$
$\omega_2=\alpha_2*t=-5/9gsqrt((5l)/g)=-5/9sqrt(5lg)$
rispetto all'asse del cilindro 1 $I_2=I_(CM)+Ml^2=1/2MR^2+Ml^2$
$E_K=1/2M\upsilon_2^2+1/2I_2\omega_2^2$ e anche questo è errato...
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
Ciao antmerl
Un paio di commenti a quanto hai scritto:
1) La variazione di energia potenziale $Delta E_P$ è il totale di energia reso disponibile dal campo gravitazionale quindi sarà uguale al totale di energia cinetica acquisita dal sistema e non solo dal cilindro 2, ovvero deve risultare:
$Delta E_P= E_1 + E_2$
2) La relazione
$alpha_1=g/(4R+1)$
è alquanto sospetta. Come posso sommare 1 (adimensionale) ad una lunghezza (dimensionale)?
Un ultimo commento al testo del problema: cosa vuol dire che il piano inclinato è "lungo10 m" quando con la fune srotolata sono stati percorsi 20 m e non pare (visto la domanda successiva) che sia ancora arrivato in fondo?
Un paio di commenti a quanto hai scritto:
1) La variazione di energia potenziale $Delta E_P$ è il totale di energia reso disponibile dal campo gravitazionale quindi sarà uguale al totale di energia cinetica acquisita dal sistema e non solo dal cilindro 2, ovvero deve risultare:
$Delta E_P= E_1 + E_2$
2) La relazione
$alpha_1=g/(4R+1)$
è alquanto sospetta. Come posso sommare 1 (adimensionale) ad una lunghezza (dimensionale)?
Un ultimo commento al testo del problema: cosa vuol dire che il piano inclinato è "lungo10 m" quando con la fune srotolata sono stati percorsi 20 m e non pare (visto la domanda successiva) che sia ancora arrivato in fondo?
Questo è un altro di quegli esercizi poco chiari.
Perché non fai il diagramma di corpo libero del cilindro che cade? Nel punto di contatto non c’è forza di attrito, quindi la reazione del piano inclinato è, come vettore, normale al piano stesso e passante per il suo CM , cioè il centro del disco. Inoltre, se immagini di tagliare il filo, lo devi sostituire con la tensione $vecT$ . Infine devi applicare la forza peso del disco .
Ora puoi scrivere le due equazioni cardinali della dinamica, assumendo come polo dei momenti il CM .
Nota che la rotazione del disco è antioraria, poiché nel punto di contatto non c’è nessuna forza di attrito che si oppone al moto relativo. Tuttavia il disco accelera verso il basso.
Vediamo che viene fuori.
Le osservazioni di Ingres sono giuste.
Perché non fai il diagramma di corpo libero del cilindro che cade? Nel punto di contatto non c’è forza di attrito, quindi la reazione del piano inclinato è, come vettore, normale al piano stesso e passante per il suo CM , cioè il centro del disco. Inoltre, se immagini di tagliare il filo, lo devi sostituire con la tensione $vecT$ . Infine devi applicare la forza peso del disco .
Ora puoi scrivere le due equazioni cardinali della dinamica, assumendo come polo dei momenti il CM .
Nota che la rotazione del disco è antioraria, poiché nel punto di contatto non c’è nessuna forza di attrito che si oppone al moto relativo. Tuttavia il disco accelera verso il basso.
Vediamo che viene fuori.
Le osservazioni di Ingres sono giuste.
In effetti ci sono due lunghezze: d=10m (lunghezza piano inclinato), l=20m (lunghezza fune)
Per l'acc. angolare $\alpha_1=-\alpha_2=g/(5R)$ dove R è il raggio dei cilindri.
Per cui $a_(CM)=2/5g$ penso che sia giusto e le dimensioni lo rispecchia.
Ho ragionato così:
Cilindro1 $TR=(1/2MR^2)\alpha_1$, $T=1/2MR\alpha_1$ inoltre $a_1=R\alpha_1$
Cilindro2: $Mgsin30° - T=Ma_(CM)$ inoltre $a_2=a_(CM)+R\alpha_2=a_1$ inoltre $\alpha_1=-\alpha_2$ per cui $a_(CM)=2R\alpha_1$
riprendo la prima cardinale, sostituisco la tensione del primo cilindro e l'$a_(CM)$ e trovo $\alpha_1$, lo sostituisco nell'ultima equazione e trovo $a_(CM)$
Per l'acc. angolare $\alpha_1=-\alpha_2=g/(5R)$ dove R è il raggio dei cilindri.
Per cui $a_(CM)=2/5g$ penso che sia giusto e le dimensioni lo rispecchia.
Ho ragionato così:
Cilindro1 $TR=(1/2MR^2)\alpha_1$, $T=1/2MR\alpha_1$ inoltre $a_1=R\alpha_1$
Cilindro2: $Mgsin30° - T=Ma_(CM)$ inoltre $a_2=a_(CM)+R\alpha_2=a_1$ inoltre $\alpha_1=-\alpha_2$ per cui $a_(CM)=2R\alpha_1$
riprendo la prima cardinale, sostituisco la tensione del primo cilindro e l'$a_(CM)$ e trovo $\alpha_1$, lo sostituisco nell'ultima equazione e trovo $a_(CM)$
SI, va bene (c'è solo una piccola svista nell'equazione del cilindro 1 di una divisione per R che non c'entra nulla).
Potevi anche ottenere la relazione tra accelerazione lineare e accelerazione angolare osservando che quando il cilindro 1 si srotola di $R d theta_1$ lo stesso fa il cilindro 2 e quindi il totale di spostamento lineare è $dx=2Rd theta_1$ da cui discende subito $a=2Ralpha_1$.
Adesso prova a calcolare la risposta alla domanda b). Non ha importanza se il tuo risultato numerico coincide o meno con la soluzione del testo. Come ha anche messo in evidenza Shackle
ci sono sicuramente delle incongruenze nel testo e quindi è possibile che altrettanto valga per i risultati.
L'importante è che il tuo risultato sia in accordo con le equazioni della Fisica.
Nota: considera il piano inclinato lungo 100 m.
Potevi anche ottenere la relazione tra accelerazione lineare e accelerazione angolare osservando che quando il cilindro 1 si srotola di $R d theta_1$ lo stesso fa il cilindro 2 e quindi il totale di spostamento lineare è $dx=2Rd theta_1$ da cui discende subito $a=2Ralpha_1$.
Adesso prova a calcolare la risposta alla domanda b). Non ha importanza se il tuo risultato numerico coincide o meno con la soluzione del testo. Come ha anche messo in evidenza Shackle
"Shackle":
Questo è un altro di quegli esercizi poco chiari.
ci sono sicuramente delle incongruenze nel testo e quindi è possibile che altrettanto valga per i risultati.
L'importante è che il tuo risultato sia in accordo con le equazioni della Fisica.
Nota: considera il piano inclinato lungo 100 m.
"ingres":
SI, va bene (c'è solo una piccola svista nell'equazione del cilindro 1 di una divisione per R che non c'entra nulla).
Lo modifico
"ingres":
Potevi anche ottenere la relazione tra accelerazione lineare e accelerazione angolare osservando che quando il cilindro 1 si srotola di $R d theta_1$ lo stesso fa il cilindro 2 e quindi il totale di spostamento lineare è $dx=2Rd theta_1$ da cui discende subito $a=2Ralpha_1$.
WOW
"ingres":
Adesso prova a calcolare la risposta alla domanda b). Non ha importanza se il tuo risultato numerico coincide o meno con la soluzione del testo. Come ha anche messo in evidenza
Ok grazie, provo a risolverlo tutto.
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