Esercizio dielettrici

[niccoset]

L'esercizio proposto in un esame è il seguente:
Il campo elettrico $ E_1=12kV/m $ occupa un mezzo dielettrico avente costante dielettrica $ epsi_(r1)=3 $ in prossimità di una interfaccia di separazione con un altro mezzo dielettrico avente costante $ epsi_(r2)=4 $. Sulla superficie di separazione tra i due mezzi è presente una distribuzione di carica superficiale $ sigma=20C/m^2 $. Si calcolino i campi $ E_2 $ e $ D_2 $ nel secondo dielettrico.
(Nota: la distribuzione sigma va solo considerata come condizione al contorno nel calcolo del vettore $ D_2 $


Posto qui il mio accenno di risoluzione:
Indicando lo schema nel seguente modo:

Le componenti tangenziali dei campi elettrostatici si conservano, quindi: $ E_(1t)=E_(2t) $ da cui $ E_1sqrt3/2=E_2sin phi $ e quindi $ E_2=(E_1sqrt3/2)/sin phi $.
Indico con $ D $ il vettore induzione elettrica. Dalla teoria (se ho capito bene) le componenti normali alla superficie di separazione dei due mezzi si conservano.
Nel primo mezzo quindi ho scritto $ vecD_1=epsi_0epsi_(r1)vecE_1 $ poichè non essendo specificato nel testo suppongo i due dielettrici lineari.
Per il secondo scriverei ugualmente $ vecD_2=epsi_0epsi_(r2)vecE_2 $ e poi eguaglierei le componenti normali.
Nelle soluzioni il professore scrive $ D_(1n)=D_(2n)+sigma $, questo risultato lo ottiene applicando il teorema di Guass per il vettore induzione elettrica?
Infine scrive la seguente equazione $ -epsi_0epsi_(r1)vecE_1(1/2)=-epsi_0epsi_(r2)vecE_1 cosphi+sigma $ , perchè scrive quel meno davanti alle componenti normali alla superficie di separazione ?
Grazie.

[RenzoDF]

"niccoset":Per il secondo scriverei ugualmente $ vecD_2=epsi_0epsi_(r2)vecE_2 $ e poi eguaglierei le componenti normali.

Questo sarebbe corretto se non ci fosse carica libera sulla superficie di separazione, come ben sai il flusso dello spostamento elettrico è pari alla carica libera interna alla superfice.

"niccoset":Nelle soluzioni il professore scrive $ D_(1n)=D_(2n)+sigma $, questo risultato lo ottiene applicando il teorema di Guass per il vettore induzione elettrica?

Se con le Dni indichiamo i moduli delle componenti normali con D1 entrante nella superficie e D2 uscente, direi $D_(2n) = D_(1n) +sigma $

"niccoset":Infine scrive la seguente equazione $ -epsi_0epsi_(r1)vecE_1(1/2)=-epsi_0epsi_(r2)vecE_1 cosphi+sigma $ , perchè scrive quel meno davanti alle componenti normali alla superficie di separazione ?

perché le sposta ma quello a destra dovrebbe essere E2 e i campi non possono essere vettoriali se somma uno scalare.

[niccoset]

"RenzoDF":
Se con le Dni indichiamo i moduli delle componenti normali con D1 entrante nella superficie e D2 uscente, direi $D_(2n) = D_(1n) +sigma $

Questo lo dici per il teorema di Gauss ?

"RenzoDF":
perché le sposta ma quello a destra dovrebbe essere E2 e i campi non possono essere vettoriali se somma uno scalare

In che senso le sposta? si ho sbagliato a scrivere non sono equazioni vettoriali ma sono tutti scalari.

[RenzoDF]

"niccoset":Questo lo dici per il teorema di Gauss ?

Si, come dicevo, se prendiamo un cilindro di piccolo spessore e superficie infinitesima dS a cavallo della superficie di separazione, e consideriamo le componenti Din in modulo, a sinistra D1n entra e quindi flusso uscente negativo a destra esce (flusso uscente positivo) avremo che

$-D_{1n}dS+D_{2n}dS=\sigmadS$

"niccoset": In che senso le sposta?

Le sposta in quanto da

$D_{2n} =D_{1n} +\sigma $

passa a

$-D_{1n} =-D_{2n} +\sigma $

[niccoset]

ahh che bischerata. Grazie mille RenzoDF per la disponibilità.