Esercizio di termodinamica - meccanica
Salve a tutti, desideravo sottoporvi un problema che mi è sembrato un po problematico:
"Un disco omogeneo di rame, girevole intorno al suo asse, è contenuto in un recipiente rigido termicamente isolante riempito con \(\displaystyle V_{0}=3l \) di azoto alla pressione di 1 atm e alla temperatura \(\displaystyle T_{0}=300K \). Il raggio del disco è R=20 cme la sua massa è M=1Kg, ed esso ruota inizialmente alla frequenza di 9000giri/minuto. A causa del frenamento operato dal gas, il disco si porta a riposo".
1) Quanto valgono Q, L, \(\displaystyle \triangle U \) riferiti al sistema complessivo (disco più gas) ?
Allora, visto che il sistema è isolato, Q=0, il sistema è anche rigido, non viene quindi compiuto lavoro su di esso, L=0 e quind anche \(\displaystyle \triangle U \) = 0.
2) Quanto valgono Q, L, \(\displaystyle \triangle U \) riferiti al solo gas ?
Questa è la parte che non mi piace molto: il testo dice:
"Quanto al gas, per esso Q=0, in quanto non interagisce con corpi a diversa temperatura". Come mai questa cosa??
Si vede quindi che il lavoro subito dal gas è pari alla variazione, cambiata di segno, di energia interna.
Per calcolare il lavoro ho operato nel seguente modo:
\(\displaystyle \nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega}}=\frac{\omega}{2\pi} \)
\(\displaystyle \omega=\nu2\pi \)
Da cui mi ricavo la velocità finale, dopo aver trasformato la frequenza in giri/secondo:
\(\displaystyle \omega_{i}=\frac{9000}{60}\frac{giri}{secondo}2\pi=150(2\pi)=942\frac{rad}{s} \)
Da cui, usando il teorema dell'energia cinetica mi trovo il lavoro:
\(\displaystyle L=\triangle K=-\frac{1}{2}I\omega_{i}^{2}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}MR^{2}\right)\omega_{i}^{2}=-8883J \)
Questo non è però il risultato del libro.... non so se questo procedimento è corretto, ma mi sembra logico che il lavoro eseguito dalle forze di attrito sul disco è uguale a quello subito dal gas.
3) A che temperatura finale si porta il sistema?
Questo passaggio è semplice, basta eguagliare le energie interne come si è fatto inizialmente.
\(\displaystyle nC_{v}(T-T_{0})=\triangle U_{gas}=-\triangle U_{disco}=-Mc(T-T_{0})-(K-K_{0}) \)
Da cui ci si ricava la temperatura finale, e quindi lo stato finale del gas stesso.
Mi piacerebbe soprattutto sapere se è corretta la parte del lavoro, visto che non è svolta sul libro.
Grazie a tutti. Distinti saluti
Enrico Catanzani
"Un disco omogeneo di rame, girevole intorno al suo asse, è contenuto in un recipiente rigido termicamente isolante riempito con \(\displaystyle V_{0}=3l \) di azoto alla pressione di 1 atm e alla temperatura \(\displaystyle T_{0}=300K \). Il raggio del disco è R=20 cme la sua massa è M=1Kg, ed esso ruota inizialmente alla frequenza di 9000giri/minuto. A causa del frenamento operato dal gas, il disco si porta a riposo".
1) Quanto valgono Q, L, \(\displaystyle \triangle U \) riferiti al sistema complessivo (disco più gas) ?
Allora, visto che il sistema è isolato, Q=0, il sistema è anche rigido, non viene quindi compiuto lavoro su di esso, L=0 e quind anche \(\displaystyle \triangle U \) = 0.
2) Quanto valgono Q, L, \(\displaystyle \triangle U \) riferiti al solo gas ?
Questa è la parte che non mi piace molto: il testo dice:
"Quanto al gas, per esso Q=0, in quanto non interagisce con corpi a diversa temperatura". Come mai questa cosa??
Si vede quindi che il lavoro subito dal gas è pari alla variazione, cambiata di segno, di energia interna.
Per calcolare il lavoro ho operato nel seguente modo:
\(\displaystyle \nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega}}=\frac{\omega}{2\pi} \)
\(\displaystyle \omega=\nu2\pi \)
Da cui mi ricavo la velocità finale, dopo aver trasformato la frequenza in giri/secondo:
\(\displaystyle \omega_{i}=\frac{9000}{60}\frac{giri}{secondo}2\pi=150(2\pi)=942\frac{rad}{s} \)
Da cui, usando il teorema dell'energia cinetica mi trovo il lavoro:
\(\displaystyle L=\triangle K=-\frac{1}{2}I\omega_{i}^{2}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}MR^{2}\right)\omega_{i}^{2}=-8883J \)
Questo non è però il risultato del libro.... non so se questo procedimento è corretto, ma mi sembra logico che il lavoro eseguito dalle forze di attrito sul disco è uguale a quello subito dal gas.
3) A che temperatura finale si porta il sistema?
Questo passaggio è semplice, basta eguagliare le energie interne come si è fatto inizialmente.
\(\displaystyle nC_{v}(T-T_{0})=\triangle U_{gas}=-\triangle U_{disco}=-Mc(T-T_{0})-(K-K_{0}) \)
Da cui ci si ricava la temperatura finale, e quindi lo stato finale del gas stesso.
Mi piacerebbe soprattutto sapere se è corretta la parte del lavoro, visto che non è svolta sul libro.
Grazie a tutti. Distinti saluti
Enrico Catanzani
Risposte
"Catanzani":
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2) Quanto valgono Q, L, \(\displaystyle \triangle U \) riferiti al solo gas ?
Questa è la parte che non mi piace molto: il testo dice:
"Quanto al gas, per esso Q=0, in quanto non interagisce con corpi a diversa temperatura". Come mai questa cosa??
Si vede quindi che il lavoro subito dal gas è pari alla variazione, cambiata di segno, di energia interna.
Probabilmente il tuo libro intende dire che non c'è scambio di calore con una sorgente a temperatura diversa da quella del gas. E' chiaro invece che il lavoro eseguito dalle forze di attrito va ad aumentare l'energia interna del gas.
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Da cui, usando il teorema dell'energia cinetica mi trovo il lavoro:
\(\displaystyle L=\triangle K=-\frac{1}{2}I\omega_{i}^{2}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}MR^{2}\right)\omega_{i}^{2}=-8883J \)
Questo non è però il risultato del libro.... non so se questo procedimento è corretto, ma mi sembra logico che il lavoro eseguito dalle forze di attrito sul disco è uguale a quello subito dal gas.
Il calcolo è giusto, ma si intende che si tratta di "lavoro di forze di attrito". Forse il tuo libro dice che anche il "lavoro subito " è uguale a zero? Di solito in Termodinamica si parla di "lavoro subito dal gas" se si tratta di un lavoro meccanico fatto sul gas, ad esempio una compressione. Quello delle forze di attrito è un lavoro perduto. Penso sia questa la ragione.
3) A che temperatura finale si porta il sistema?
Questo passaggio è semplice, basta eguagliare le energie interne come si è fatto inizialmente.
\(\displaystyle nC_{v}(T-T_{0})=\triangle U_{gas}=-\triangle U_{disco}=-Mc(T-T_{0})-(K-K_{0}) \)
Da cui ci si ricava la temperatura finale, e quindi lo stato finale del gas stesso.
Mi piacerebbe soprattutto sapere se è corretta la parte del lavoro, visto che non è svolta sul libro.
Grazie a tutti. Distinti saluti
Enrico Catanzani
Non ho capito l'ultimo termine $-(K-K_{0}) $
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