Esercizio di termodinamica (conduzione attraverso superficie sferica)

Pasqualino961
Salve avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio di termodinamica:
un contenitore sferico rigido di diametro interno $ d_{i} =10cm $ e spessore $ s=2mm $ è interamente riempito con azoto liquido alla temperatura di evaporazione $ T_{ev}=77 K $. Il contenitore ha una conducibilità termica $ k=1 \frac{W}{m K} $ ed è immerso in un ambiente a temperatura $ T_{amb}=120K $ con cui effettua scambi di calore mediante la sola conduzione termica. Sapendo che il calore latente di evaporazione dell'azoto è di $ 200 \frac{kJ}{kg} $ mentre la sua densità è pari a $ \rho=0,807 \frac{g}{ml} $ , si chiede di
1) determinare il calore necessario per far evaporare tutto l'azoto;
2) determinare la temperatura all'interno dello spessore della sfera in funzione della distanza dal centro;
3) determinare il tempo necessario per far evaporare tutto l'azoto;
4) determinare la variazione di entropia dell'universo dopo un secondo.

1) il primo punto penso che vada risolto nel seguente modo: il calore necessario per far evaporare tutto l'azoto $ Q_{ev}=m \lambda_{ev}=\rho V \lambda_{ev}= \frac{4}{3} \rho \pi ( \frac{d_i}{2} )^{3} \lambda_{ev} =84,5J $ .
2) Il secondo punto già mi crea problemi: è evidente che si deve utilizzare la legge di Fourier $ \frac{\delta Q}{dt}= -kS \frac{dT}{dr} $ dove $ S=4\pi r^{2} $ e il problema è che non so come procedere con l'integrazione perché non conosco l'espressione esplicita del calore al primo membro. Qualcuno può darmi un suggerimento, ve ne sarei grato :D

Risposte
ruggeridany
Forse avrò sbagliato ma il calore $Q_{ev} $ mi viene come te ma kj
Di seguito ci sono le soluzioni pensate da me ma non ti posso dare la sicurezza che sono giuste.
Per la domanda numero 2 ho considerato una sfera di raggio $ r_{x}+s-ds $ e ho uguagliato i calori di conduzione nella parte della sfera interna interna e in quella esterna di area $A_{x} $. Quindi se $ T_{x} $ è la temperatura ad una distanza dal centro $r_{i}+s-ds $, allora
$
\frac{kA_{x}(T_{amb} - T_{x})}{s -ds}=\frac{kA_{x}(T_{ev} - T_{x})}{ds}$
$
T_{x}=\frac{(s - ds)T_{amb}+dsT_{ev}}{s}

$


3. il calore che passa nell’unità di tempo attraverso la sfera A vale:
$ W=\frac{kA(T_{amb} - T_{ev})}{s} = 730,558 W $

Tempo = $\frac{Q_{ev}}{W}=115,68 sec $


4. Il calore che passa nell’unità di tempo attraverso la sfera vale: W

La variazione di entropia $ΔS_{1} $ dell'ambiente è negativa in quanto esso perde calore:
$ ΔS_{1} = -\frac{W}{T_{amb}}=-6.1 J/K
$

La variazione di entropia $ΔS_{2} $ dell'azoto è positiva in quanto essa acquista calore (stessa quantità):
$ ΔS_{2} = \frac{W}{T_{ev}}=9.49 J/K
$

La variazione di entropia dell'universo è data dalla somma algebrica delle 2 variazioni di entropia:
$ ΔS_{U} = ΔS_{1}+ΔS_{2}=3.39 J/K
$

Spero di non aver sbagliato
Daniela

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