Esercizio di termodinamica
Un cilindro perfettamente isolante, con le basi fisse, è separato in due parti da un pistone conduttore che può scorrere senza attrito. Inizialmente il pistone è tenuto fermo in modo da dividere il cilindro in due parti uguali, ciascuna del volume di 1 L. Da una parte c'è ossigeno a 300 K e 1 atm, dall'altra elio a 300 K e 2 atm. Lasciando libero il pistone, questo si porta verso una configurazione di equilibrio: considerando i due gas come perfetti, determinare la temperatura, la pressione e i due volumi nello stato finale.
Io ho ragionato così:
Le pareti sono isolanti quindi adiabatiche.
L'ossigeno nella sua condizione standard è un gas biatomico $O_2$ o sbaglio?
quindi $gamma_1 =frac{c_p} {c_v}= 7/5$
Mentre l'elio è monoatomico quindi $gamma_2 =frac{c_p}{c_v}= 5/3 $
$V$(complessivo)$ = 2litri$
Per l'ossigeno:
$P_1*(V_1)^(gamma_1) = P_2*(V_2)^(gamma_1)$
Per l'elio:
$P_3 *(V_1)^(gamma_2) = P_4*(2-V_2)^(gamma_2)$
Ma sono 2 equazioni in 3 incognite.
E' esatto pensare che per la legge di avogadro, i volumi sono proporzionali al numero di moli, e quindi banalmente mi calcolo i volumi finali?
Grazie per la cortesia e per l'attenzione
Anche se sto riflettendo solo adesso che il pistone è conduttore
Io ho ragionato così:
Le pareti sono isolanti quindi adiabatiche.
L'ossigeno nella sua condizione standard è un gas biatomico $O_2$ o sbaglio?
quindi $gamma_1 =frac{c_p} {c_v}= 7/5$
Mentre l'elio è monoatomico quindi $gamma_2 =frac{c_p}{c_v}= 5/3 $
$V$(complessivo)$ = 2litri$
Per l'ossigeno:
$P_1*(V_1)^(gamma_1) = P_2*(V_2)^(gamma_1)$
Per l'elio:
$P_3 *(V_1)^(gamma_2) = P_4*(2-V_2)^(gamma_2)$
Ma sono 2 equazioni in 3 incognite.
E' esatto pensare che per la legge di avogadro, i volumi sono proporzionali al numero di moli, e quindi banalmente mi calcolo i volumi finali?
Grazie per la cortesia e per l'attenzione
Anche se sto riflettendo solo adesso che il pistone è conduttore
Risposte
Ciao qwerty,
ho due dubbi principalmente. Le trasformazioni che i gas subiscono comportano scambi di calore tra di loro, quindi non credo siano adiabatiche. Se pure lo fossero, non viene specificato se si tratta di trasformazioni reversibili (non credo lo siano), e le formule che proponi non possono essere applicate.
Possiamo solo dire che gli stati finali sono di equilibrio. Io avevo pensato ad un altro metodo di risoluzione, molto approssimativo però. Magari prima di parlarne potresti dirmi se ti torna il seguente risultato per il volume dell'elio:
$\V=2/(1+n_o/n_e)$
ho due dubbi principalmente. Le trasformazioni che i gas subiscono comportano scambi di calore tra di loro, quindi non credo siano adiabatiche. Se pure lo fossero, non viene specificato se si tratta di trasformazioni reversibili (non credo lo siano), e le formule che proponi non possono essere applicate.
Possiamo solo dire che gli stati finali sono di equilibrio. Io avevo pensato ad un altro metodo di risoluzione, molto approssimativo però. Magari prima di parlarne potresti dirmi se ti torna il seguente risultato per il volume dell'elio:
$\V=2/(1+n_o/n_e)$
"spacetime":
Ciao qwerty,
ho due dubbi principalmente. Le trasformazioni che i gas subiscono comportano scambi di calore tra di loro, quindi non credo siano adiabatiche. Se pure lo fossero, non viene specificato se si tratta di trasformazioni reversibili (non credo lo siano), e le formule che proponi non possono essere applicate.
Possiamo solo dire che gli stati finali sono di equilibrio. Io avevo pensato ad un altro metodo di risoluzione, molto approssimativo però. Magari prima di parlarne potresti dirmi se ti torna il seguente risultato per il volume dell'elio:
$\V=2/(1+n_o/n_e)$
Ciao spacetime. Non ho la soluzione dell'esercizio perchè è un quesito d'esame di anni passati.
Puoi dirmi cosa hai fatto, per favore? Grazie
Certamente. Come dicevo è molto approssimativo e incompleto soprattutto perché mi permette di arrivare solo ai volumi dei due gas. Allora, considera la configurazione di equilibrio finale. sappiamo che il pistone è fermo, e questo dovrebbe significare che i due gas esercitano la stessa pressione sul pistone; inoltre la temperatura dovrebbe essere la stessa per entrambi per il principio zero della termodinamica; la relazione tra i volumi l'avevi gia trovata (volume complessivo meno quello di uno dei due gas); a quel punto devi scrivere in un sistema le due equazioni di stato dei gas e dovresti trovare il volume che ti postato prima.
"spacetime":
Certamente. Come dicevo è molto approssimativo e incompleto soprattutto perché mi permette di arrivare solo ai volumi dei due gas. Allora, considera la configurazione di equilibrio finale. sappiamo che il pistone è fermo, e questo dovrebbe significare che i due gas esercitano la stessa pressione sul pistone; inoltre la temperatura dovrebbe essere la stessa per entrambi per il principio zero della termodinamica; la relazione tra i volumi l'avevi gia trovata (volume complessivo meno quello di uno dei due gas); a quel punto devi scrivere in un sistema le due equazioni di stato dei gas e dovresti trovare il volume che ti postato prima.
Si ci siamo, il tuo calcolo è corretto
ma $n_(He)$ e $n_(O_2)$ me li calcolo con le condizioni iniziali, no?
Si, per ottenere quei valori basta applicare l'equazione di stato del gas ideale con incognita $\n$, conoscendo i dati iniziali di ciascun gas. Per ottenere temperatura e pressione hai pensato a qualcosa?
"spacetime":
Si, per ottenere quei valori basta applicare l'equazione di stato del gas ideale con incognita $\n$, conoscendo i dati iniziali di ciascun gas. Per ottenere temperatura e pressione hai pensato a qualcosa?
Per calcolare la pressione e la temperatura, credo sia fondamentale capire di che tipo di trasformazione si tratta.
In effetti mi sta venendo un dubbio sul tuo procedimento di calcolo per i volumi finali.
Per calcolare i volumi finali, il pistone è libero quindi le pressioni non sono uguali come hai imposto tu.
Seconda cosa, se hai detto che per il principio zero della termodinamica le temperature sono uguali, allora si tratta di una trasformazione isotermica. O no?
Quando si raggiunge finalmente l'equilibrio finale, in quanto equilibrio termodinamico il pistone anche se libero non dovrebbe più muoversi (altrimenti non avremmo ancora raggiunto l'equilibrio meccanico del sistema) e questa condizione è soddisfatta se la pressione esercitata su entrambe le facce del pistone è la stessa. Per quanto riguarda il principio zero della termodinamica, io l'ho utilizzato solo per fare delle ipotesi sugli stati di equilibrio che caratterizzano i gas in questione: in realtà non posso sapere se i gas negli stati intermedi di non equilibrio sono alla stessa temperatura. Per il calcolo di temperatura e pressione mi veniva in mente che possiamo fare anche delle ipotesi sui calori scambiati; faccio qualche calcolo e ti faccio sapere dove mi porta questa strada.
"spacetime":
Quando si raggiunge finalmente l'equilibrio finale, in quanto equilibrio termodinamico il pistone anche se libero non dovrebbe più muoversi (altrimenti non avremmo ancora raggiunto l'equilibrio meccanico del sistema) e questa condizione è soddisfatta se la pressione esercitata su entrambe le facce del pistone è la stessa. Per quanto riguarda il principio zero della termodinamica, io l'ho utilizzato solo per fare delle ipotesi sugli stati di equilibrio che caratterizzano i gas in questione: in realtà non posso sapere se i gas negli stati intermedi di non equilibrio sono alla stessa temperatura. Per il calcolo di temperatura e pressione mi veniva in mente che possiamo fare anche delle ipotesi sui calori scambiati; faccio qualche calcolo e ti faccio sapere dove mi porta questa strada.
Ok ho capito tutto. Grazie.
Io ci ragiono un pò. Fammi sapere. Grazie ancora
Vediamo un po'. Riguarda tutto con attenzione. Quello che seguirà non mi convince dappertutto, e dimmi se trovi qualcosa di scandalosamente errato.
Dal primo principio della termodinamica i gas scambiano tra di loro nella trasformazione da stato iniziale a stato finale i seguenti calori:
$\Q_e=U_e+L_e$ (elio)
$\Q_O=U_O+L_O$ (ossigeno)
Tuttavia, essendo le pareti del recipiente adiabatiche non deve essere scambiato calore con l'esterno:
$\Q_e+Q_O=0$
inoltre il lavoro compiuto da un gas che si espande corrisponde al lavoro subito dall'altro gas che si comprime (e dunque subisce lavoro):
$\L_e=-L_O$
Se tutto è corretto, sommando membro a membro le prime due equazioni sui calori abbiamo:
$\U_e+U_O=0$, che si può scrivere anche (considerando ossigeno biatomico ed elio monoatomico):
$\n_e3R/2(T_f - 300k)= n_O5R/2(300k-T_f)$
Adesso discutiamo l'ultima equazione:
se $\T_f!=300K$ otteniamo (salto qualche passaggio per risparmiare tempo):
$\3n_e=5n_O$, cioè $\(n_O)/n_e=3/5$
Questo rapporto non è accettabile, in quanto dai dati iniziali è possibile verificare che $\(n_O)/n_e=1/2$
Necessariamente allora deve essere $\T_f=300k$.
Nota la temperatura, i volumi e il numero di moli ti trovi la pressione dall'espressione inversa dall'equazione di stato dei gas ideali.
Se tutto è corretto, complimenti alla mente contorta che si inventa questi esercizi ; l'ho trovato complesso e appassionante risolverlo. Se è tutto sbagliato vuol dire che ho trovato una risoluzione articolata e soprattutto inutile per un problema che magari richiede due calcoli. 
Dal primo principio della termodinamica i gas scambiano tra di loro nella trasformazione da stato iniziale a stato finale i seguenti calori:
$\Q_e=U_e+L_e$ (elio)
$\Q_O=U_O+L_O$ (ossigeno)
Tuttavia, essendo le pareti del recipiente adiabatiche non deve essere scambiato calore con l'esterno:
$\Q_e+Q_O=0$
inoltre il lavoro compiuto da un gas che si espande corrisponde al lavoro subito dall'altro gas che si comprime (e dunque subisce lavoro):
$\L_e=-L_O$
Se tutto è corretto, sommando membro a membro le prime due equazioni sui calori abbiamo:
$\U_e+U_O=0$, che si può scrivere anche (considerando ossigeno biatomico ed elio monoatomico):
$\n_e3R/2(T_f - 300k)= n_O5R/2(300k-T_f)$
Adesso discutiamo l'ultima equazione:
se $\T_f!=300K$ otteniamo (salto qualche passaggio per risparmiare tempo):
$\3n_e=5n_O$, cioè $\(n_O)/n_e=3/5$
Questo rapporto non è accettabile, in quanto dai dati iniziali è possibile verificare che $\(n_O)/n_e=1/2$
Necessariamente allora deve essere $\T_f=300k$.
Nota la temperatura, i volumi e il numero di moli ti trovi la pressione dall'espressione inversa dall'equazione di stato dei gas ideali.
Se tutto è corretto, complimenti alla mente contorta che si inventa questi esercizi
; l'ho trovato complesso e appassionante risolverlo. Se è tutto sbagliato vuol dire che ho trovato una risoluzione articolata e soprattutto inutile per un problema che magari richiede due calcoli.
"spacetime":
Vediamo un po'. Riguarda tutto con attenzione. Quello che seguirà non mi convince dappertutto, e dimmi se trovi qualcosa di scandalosamente errato.
Dal primo principio della termodinamica i gas scambiano tra di loro nella trasformazione da stato iniziale a stato finale i seguenti calori:
$\Q_e=U_e+L_e$ (elio)
$\Q_O=U_O+L_O$ (ossigeno)
Tuttavia, essendo le pareti del recipiente adiabatiche non deve essere scambiato calore con l'esterno:
$\Q_e+Q_O=0$
inoltre il lavoro compiuto da un gas che si espande corrisponde al lavoro subito dall'altro gas che si comprime (e dunque subisce lavoro):
$\L_e=-L_O$
Se tutto è corretto, sommando membro a membro le prime due equazioni sui calori abbiamo:
$\U_e+U_O=0$, che si può scrivere anche (considerando ossigeno biatomico ed elio monoatomico):
$\n_e3R/2(T_f - 300k)= n_O5R/2(300k-T_f)$
Adesso discutiamo l'ultima equazione:
se $\T_f!=300K$ otteniamo (salto qualche passaggio per risparmiare tempo):
$\3n_e=5n_O$, cioè $\(n_O)/n_e=3/5$
Questo rapporto non è accettabile, in quanto dai dati iniziali è possibile verificare che $\(n_O)/n_e=1/2$
Necessariamente allora deve essere $\T_f=300k$.
Nota la temperatura, i volumi e il numero di moli ti trovi la pressione dall'espressione inversa dall'equazione di stato dei gas ideali.
Se tutto è corretto, complimenti alla mente contorta che si inventa questi esercizi
Che la mente sia contorta, non ti sbagli
A me appassiona di più la tua soluzione. Comunque non ho capito solo un passaggio:
$\n_e3R/2(T_f - 300k)= n_O5R/2(300k-T_f)$
Le variazioni di temperatura. Come fai a dire che sono così?
allora, per l'elio $\c_v=3R/2$ mentre per l'ossigeno $\c_v=5R/2.
L'energia interna ha espressione generale: $\U=nc_v(T_finale-T_iniziale). In quell'equazione al primo membro c'è l'energia interna dell'elio, al secondo quella dell'ossigeno col segno meno davanti. Tutto qui.
L'energia interna ha espressione generale: $\U=nc_v(T_finale-T_iniziale). In quell'equazione al primo membro c'è l'energia interna dell'elio, al secondo quella dell'ossigeno col segno meno davanti. Tutto qui.
"spacetime":
allora, per l'elio $\c_v=3R/2$ mentre per l'ossigeno $\c_v=5R/2.
L'energia interna ha espressione generale: $\U=nc_v(T_finale-T_iniziale). In quell'equazione al primo membro c'è l'energia interna dell'elio, al secondo quella dell'ossigeno col segno meno davanti. Tutto qui.
Non mi hai capito perchè mi sono espresso male io.
perchè per l'elio si ha
$ (T_("fin") - 300 )$ e per l'ossigeno il contrario?
Per il segno meno ?
cioè
$U_e = - U_o$
Vero?
Esatto. Quell'espressione è il risultato della somma membro a membro che abbiamo fatto dei calori.
"spacetime":
Esatto. Quell'espressione è il risultato della somma membro a membro che abbiamo fatto dei calori.
Per me il tuo ragionamento è esatto. ma servirebbe qualche mente più esperta di me (non è difficile trovarne una).
La prendo unicamente come una battuta. Anche perché siamo più o meno sugli stessi livelli. Anzi non scommetterei nel dire la stessa cosa per quanto riguarda la meccanica e la dinamica. Ho qualche difficoltà in più là. Poi è vero che c'è sempre chi è meglio di chi, ma possiamo migliorare e fare quello che facciamo qui è un modo per migliorarsi.
Saluti
Saluti
"spacetime":
La prendo unicamente come una battuta. Anche perché siamo più o meno sugli stessi livelli. Anzi non scommetterei nel dire la stessa cosa per quanto riguarda la meccanica e la dinamica. Ho qualche difficoltà in più là. Poi è vero che c'è sempre chi è meglio di chi, ma possiamo migliorare e fare quello che facciamo qui è un modo per migliorarsi.
Saluti
Io ho esame lunedì. C'è poco tempo per migliorare
Ti auguro un "in bocca al lupo" per i tuoi esami.
saluti
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