Esercizio di Termodinamica

[MicheleDV1]

Buongiorno a tutti, comincio riportando il testo dell'esercizio:

Un recipiente cilindrico di raggio r poggia su un piano ed e' chiuso da un pistone di massa trascurabile legato alla base da un filo flessibile ed inestensibile di lunghezza $ L = 80 $ cm. La pressione esterna e' quella atmosferica. Inizialmente il pistone e' ad un'altezza $ L / 2$ dalla base e il recipiente contiene $n = 0.2$ moli di gas perfetto a $T = 300$ K. Si fa passare corrente lungo il filo e al gas viene ceduto calore molto lentamente. La tensione massima che il filo puo' sopportare e' $F = 200$ N. A un certo punto il filo si spezza ed il gas evolve verso uno stato di equilibrio con il pistone ad un'altezza $h = 88$ cm. Recipiente e pistone sono adiabatici. Trascurando la capacita' termica del recipiente e del pistone il lavoro di rottura del filo, calcolare la temperatura del gas all'istante di rottura del filo e all'istante finale.

Io avrei pensato di risolvere il problema come segue:
Inizialmente il gas sta subendo una trasformazione adiabatica che lo fa espandere fino al volume massimo a lui disponibile
$V = L * \pi r^2$
Posso utilizzare la relazione delle adiabatiche per conoscere le variabili termodinamiche del gas in questo nuovo stato
$T_0 V_0^(\gamma - 1) = T_1 V_1^(\gamma - 1)$
A questo punto il volume viene mantenuto costante dal filo ed il gas subisce una trasformazione isocora che fa aumentare pressione (e temperatura) fino a raggiungere la forza massima esercitata pari a $F = 200$ N.
Trovo quindi, conoscendo la pressione $P_2$ al momento della rottura, la temperatura richiesta $T_2$.
A questo punto il gas si espande in una trasformazione adiabatica fino a raggiungere l'equilibrio con la pressione atmosferica esterna. Numericamente purtroppo l'esercizio non ha senso infatti:

$T_1 = T_0 [\frac{V_0 }{ V_1}] ^(\gamma - 1) = 0.62 T_0$

E quindi:
$F_1 = \frac{nR0.62T_0}{L} = 386N$ che di per se gia' sarebbe sufficiente a rompere il filo.
Credo che l'errore stia nel non considerare da subito la pressione esterna. Considerando, quindi, la pressione atmosferica eguale ad $100 kPa = 10^5 N / m^2$ potrei imporre che, a filo teso, la pressione interna debba eguagliare la pressione atmosferica e che la rottura del filo avvenga quando il gas esercita una pressione ancora maggiore (altri $200 /( \pi r^2) N / m^2$).
Se quindi impongo che:
$T_1 = \frac{P_{atm} L}{nR}$ mi trovo l'incredibile risultato di una temperatura necessaria di $4.81 \times 10^4K$ che mi sembra troppo alta
Consigli da darmi?
Ringrazio anticipatamente tutti per l'aiuto
Saluti,
Michele

[mgrau]

"MicheleDV":

Un recipiente cilindrico di raggio r----
La tensione massima che il filo puo' sopportare e' $F = 200$ N. ....
la rottura del filo avvenga quando il gas esercita una pressione ancora maggiore (altri $200N / m^2$).

Stai confondendo forza ($200N$) e pressione $200/N/m^2$)

[MicheleDV1]

Mi sono espresso male nel passaggio, quello che intendevo e' che il filo si rompe quando la pressione esercitata dal gas e' tale da indurre una forza sul filo di 200 N, cioe'
$200N = (P_(equilibrio) + P) * \pi r^2$

[MicheleDV1]

Esercizio RISOLTO dopo una notte di incubi
L'errore stava nella prima trasformazione che è un isobara e nel non considerare che inizialmente il gas dovesse essere in equilibrio con l'ambiente esterno e quindi che la pressione iniziale dovesse essere eguale a $P_{atm}$.

1) TRASFORMAZIONE ISOBARA che porta il pistone da $V_0$ a $V_1$ da cui troviamo:

$T_1 = T_0 \frac{h_1}{h_0}$

$r = \sqrt{\frac{nRT_0}{P_{atm} \pi h_0}$

2) TRASFORMAZIONE ISOCORA che porta dallo stato 1 alla rottura del filo:

$ T_0 \frac{h_1}{h_0 P_{atm}} = \frac{T_{rot}}{P_{atm} + \frac{F_{rot}}{\pi r^2}}$

da cui troviamo

$T_{rot} = T_0 \frac{h_1}{h_0} + \frac{F_{rot} h_1}{nR}$

3) TRASFORMAZIONE ADIABATICA:

$T_3 = T_{rot} [\frac{P_{atm} + \frac{F_{rot}}{\pi r^2}}{P_{atm}}] ^ {1 - \gamma}$

per cui

$T_3 = T_2[ 1 + \frac{F_{rot} h_0}{nrT_0}]^{-2/3}$

I risultati numerici sono $T_2 = 325K$ e $T_3 = 267K$

Fatemi sapere se vi trovate,
grazie a tutti per l'aiuto.

[Faussone]

Non ho verificato i conti che hai fatto, ma sicuramente all'inizio il gas non compie una adiabatica, visto che gli si somministra calore; non ho capito se hai usato all'inizio una adiabatica se lo hai fatto non è corretto.

Detto ciò sì all'equilibrio devi considerare che il pistone è mantenuto in equilibrio dal filo (fino al limite della rottura) e dalla pressione esterna ambiente.
Facci sapere se ancora non ti torna neanche la prima parte.

EDIT
Quando ho scritto questo messaggio non ho visto il tuo ultimo messaggio di oggi, strano..
Comunque adesso mi pare ok, non leggo bene le formule ora dal telefono ma il ragionamento mi psre ok.