Esercizio di termodinamica
Un contenitore con pareti termicamente isolanti contiene sul fondo una miscela di acqua e ghiaccio. Lo spazio restante interno al contenitore al di sopra di tale miscela è diviso in due settori $A$ e $B$. Il settore inferiore $A$ è in costante contatto termico con la suddetta miscela, ed è separato dal sovrastante settore $B$ da un setto orizzontale. Il settore $B$ è sovrastato da un pistone che chiude il contenitore stesso. Sia il setto di separazione tra i settori A e B sia il pistone sono termicamente isolanti, di massa trascurabile e liberi di muoversi lungo la verticale senza attrito.
Nello stato iniziale, entrambi i settori $A$ e $B$ contengono ciascuno la stessa quantità $n = 2.05 mol$ di gas perfetto biatomico, alla stessa temperatura $T_0 = 273.15 K$e alla stessa pressione $P_0 = 2.40 *10^5 Pa$. Premendo molto lentamente sul pistone, il sistema subisce una compressione finché si osserva nello stato finale lo scioglimento di una quantità $m = 9.0 g$ di ghiaccio (calore latente di fusione del ghiaccio: $λ= 333*10^3 \frac{J}{kg} $).
Calcolare la pressione finale $P_A$ nel settore $A$.
Il mio tentativo: il settore $A$ subisce una trasformazione adiabatica reversibile con una variazione di energia interna pari a $\Delta U_A=m* \lambda ->n*C_V*(T_{A_f}-T_{A_i})=m* \lambda$ ; da questa ricavo $T_{A_f}=T_{A_i}+ \frac{m* \lambda}{n*C_V}=343.49 K $.
Conoscendo T_{A_f} e sapendo che per una trasformazione adiabatica reversibile posso scrivere $T_{A_i}*P_{A_i}^(-2/7)=T_{A_f}*P_{A_f}^(-2/7)$ ottengo $P_{A_f}=P_{A_i}*(\frac{T_{A_f}}{T_{A_i}})^(7/2)=5.35*10^5 Pa $ , ma il testo fornisce un altro risultato.
Qualcuno sa indicarmi dove sbaglio?
Grazie.
Nello stato iniziale, entrambi i settori $A$ e $B$ contengono ciascuno la stessa quantità $n = 2.05 mol$ di gas perfetto biatomico, alla stessa temperatura $T_0 = 273.15 K$e alla stessa pressione $P_0 = 2.40 *10^5 Pa$. Premendo molto lentamente sul pistone, il sistema subisce una compressione finché si osserva nello stato finale lo scioglimento di una quantità $m = 9.0 g$ di ghiaccio (calore latente di fusione del ghiaccio: $λ= 333*10^3 \frac{J}{kg} $).
Calcolare la pressione finale $P_A$ nel settore $A$.
Il mio tentativo: il settore $A$ subisce una trasformazione adiabatica reversibile con una variazione di energia interna pari a $\Delta U_A=m* \lambda ->n*C_V*(T_{A_f}-T_{A_i})=m* \lambda$ ; da questa ricavo $T_{A_f}=T_{A_i}+ \frac{m* \lambda}{n*C_V}=343.49 K $.
Conoscendo T_{A_f} e sapendo che per una trasformazione adiabatica reversibile posso scrivere $T_{A_i}*P_{A_i}^(-2/7)=T_{A_f}*P_{A_f}^(-2/7)$ ottengo $P_{A_f}=P_{A_i}*(\frac{T_{A_f}}{T_{A_i}})^(7/2)=5.35*10^5 Pa $ , ma il testo fornisce un altro risultato.
Qualcuno sa indicarmi dove sbaglio?
Grazie.
Risposte
Non so se il ragionamento qui di seguito sia giusto, ma ci provo lo stesso.
Perchè dici che la trasformazione compiuta dal gas in A è adiabatica? Non dovrebbe scambiare calore con la massa di acqua e ghiaccio? Questa massa secondo si può considerare come un termostato, poichè durante il cambiamento di stato la temperature rimane sempre a $ 273.15 K $, quindi il gas in A, essendo costantemente in contatto termico con il termostato, compierà una trasformazione isoterma, cioè si avrà $ Q = L $. Il calore scambiato lo si può ricavare dalla massa di ghiaccio fusa, e questo calore sarà uguale al lavoro di compressione compiuto sul gas dal setto, lavoro che, essendo la trasformazione isoterma, sarà dato da:
$ L = n*R*T_0*ln (P_0/P_A) $
Dunque si avrà:
$ lambda *m = n*R*T_0*ln (P_0/P_A) $
Secondo me è adiabatica, invece, la trasformazione compiuta dal gas in B, e la pressione in questo settore, all'equilibrio, sarà uguale alla pressione $ P_A $ appena calcolata; a partire da ciò, sfruttando le relazioni valide per le trasformazioni adiabatiche reversibili, si possono calcolare anche il volume e la temperatura finali del gas in B (per quello in A dovrebbe bastare l'equazione di stato).
Perchè dici che la trasformazione compiuta dal gas in A è adiabatica? Non dovrebbe scambiare calore con la massa di acqua e ghiaccio? Questa massa secondo si può considerare come un termostato, poichè durante il cambiamento di stato la temperature rimane sempre a $ 273.15 K $, quindi il gas in A, essendo costantemente in contatto termico con il termostato, compierà una trasformazione isoterma, cioè si avrà $ Q = L $. Il calore scambiato lo si può ricavare dalla massa di ghiaccio fusa, e questo calore sarà uguale al lavoro di compressione compiuto sul gas dal setto, lavoro che, essendo la trasformazione isoterma, sarà dato da:
$ L = n*R*T_0*ln (P_0/P_A) $
Dunque si avrà:
$ lambda *m = n*R*T_0*ln (P_0/P_A) $
Secondo me è adiabatica, invece, la trasformazione compiuta dal gas in B, e la pressione in questo settore, all'equilibrio, sarà uguale alla pressione $ P_A $ appena calcolata; a partire da ciò, sfruttando le relazioni valide per le trasformazioni adiabatiche reversibili, si possono calcolare anche il volume e la temperatura finali del gas in B (per quello in A dovrebbe bastare l'equazione di stato).
Grazie per la risposta; ho testato la tua ipotesi e ho trovato che poiché il lavoro svolto durante una trasformazione isoterma è $ L=n*R*T_0*log(V_A/V_0) $, usando questa formula e ponendola uguale ad $m* \lambda$ , trovo $V_A=0.037 m^3 $. Poiché la trasformazione è isoterma ho $P_0 * V_0=P_A * V_A $; da questa ricavo $P_A=1.26*10^5 Pa $, ma il testo fornisce come risultato $P_A=4.57*10^5 Pa$.
Sì è vero ho sbagliato il segno del calore: il gas cede calore alla miscela di acqua e ghiaccio, quindi l'equazione corretta è:
$ -λ⋅m=n⋅R⋅T_0⋅ln(P_0/P_A) $
che dà esattamente il valore riportato dal libro.
$ -λ⋅m=n⋅R⋅T_0⋅ln(P_0/P_A) $
che dà esattamente il valore riportato dal libro.
Mi riesci a dire da quale eserciziario l’hai trovato questo problema? Grazie mille!
"step98":
Non so se il ragionamento qui di seguito sia giusto, ma ci provo lo stesso.
Perchè dici che la trasformazione compiuta dal gas in A è adiabatica? Non dovrebbe scambiare calore con la massa di acqua e ghiaccio? Questa massa secondo si può considerare come un termostato, poichè durante il cambiamento di stato la temperature rimane sempre a $ 273.15 K $, quindi il gas in A, essendo costantemente in contatto termico con il termostato, compierà una trasformazione isoterma, cioè si avrà $ Q = L $. Il calore scambiato lo si può ricavare dalla massa di ghiaccio fusa, e questo calore sarà uguale al lavoro di compressione compiuto sul gas dal setto, lavoro che, essendo la trasformazione isoterma, sarà dato da:
$ L = n*R*T_0*ln (P_0/P_A) $
Dunque si avrà:
$ lambda *m = n*R*T_0*ln (P_0/P_A) $
Secondo me è adiabatica, invece, la trasformazione compiuta dal gas in B, e la pressione in questo settore, all'equilibrio, sarà uguale alla pressione $ P_A $ appena calcolata; a partire da ciò, sfruttando le relazioni valide per le trasformazioni adiabatiche reversibili, si possono calcolare anche il volume e la temperatura finali del gas in B (per quello in A dovrebbe bastare l'equazione di stato).
Perché affermi che la pressione finale in B sia uguale a quella finale in A? Per quale motivo?
Grazie
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