Esercizio di moto rototraslatorio: calcolo della potenza

[daniele912]

Ciao a tutti.
Stavo cercando di risolvere questo problema

ma il mio risultato differisce per un coefficiente rispetto alla soluzione proposta dal libro ($ w = 27/16 (m l^2)/\tau^3$ ).
Io ho proceduto in questo modo. Ho calcolato il momento risultante delle forze esterne:

$ M = 2Fr $

Ho calcolato il momento della quantità di moto $L$:

$L = I \omega = 3/2 m r^2 \omega$

Dove l'inerzia $I$ è calcolata con il teorema di HuygensSteiner:

$I = I_G + m r^2 = 3/2 m r^2$.

Quindi, mediante l'equazione di Newton riguardo ai momenti $M = (dL)/(dt) $ ottengo:

$M = (3/2 m l^2 d\omega)/ dt $

Da cui ricavo:

$\omega= (4F)/(3mr) \tau $

Quindi, dalle relazioni del moto uniformemente accelerato ottengo l'accelerazione:

$ a= (2l)/(\tau^2)$

Dunque: $ F= ma = 2ml/\tau^2$

Quindi ricavo la potenza $w$:

$w = M \omega = 32/3 (m l^2)/(\tau^3)$

che differisce dal risultato proposto dal libro per mezzo del coefficiente.
Dove ho sbagliato? Grazie in anticipo.

[daniele912]

Nessuno può aiutarmi?

[Faussone]

Sarebbe meglio che il testo del problema appaia qui invece di mettere il link ad un'immagine.. Il testo poi è di poche righe bastava anche solo copiarlo.

Fai qualche passaggio inutile, che ti porta in errore, io semplicemente risolvere il problema così:

$M=I dot omega$

Con $I$ momento di inerzia rispetto al punto di contatto col piano ($3/2 m r^2$).
Inoltre $W=M omega$ per cui:

$W/omega = I dot omega$

che è un'equazione differenziale a variabili separabili. Imponendo la condizione iniziale dà


$omega(t)=sqrt(2W/I t)$

basta a questo punto scrivere

$ int_0^tau omega(t) dt * r = l$

$sqrt(2W/I) 2/3 t ^(3/2)*r=l$

A questo punto sostituendo $I$ e ricavando $W$ trovi il risultato fornito.

[daniele912]

Scusami per l'immagine: la prossima volta la posterò direttamente con Tinypinic. Comunque, per quale motivo la potenza è
$W = I d\omega$?

La potenza non dovrebbe essere uguale a $M \omega$? Inoltre, cosa intendi per $P$? Grazie

[Faussone]

Avevo fatto confusione mentre scrivevo i primi passaggi (prima poi avevo chiamato la potenza $P$ ). Ho corretto. I passaggi successivi invece erano a posto.

[daniele912]

Bene! Adesso tutto torna. Grazie mille per l'aiuto