Esercizio di meccanica razionale
Salve a tutti volevo proporvi questo esercizio sul quale ho delle perplessità
Un disco bucato ruota intorno all'asse $y$ come in figura (vedi link)
http://xoomer.alice.it/ing.matematici/disco_bucato.jpg
Viene richiesto di calcolare la risultante delle reazioni vincolari e il momento risultante delle reazioni vincolari.
Allora il momento delle forze esterne è
$M^(e) (o) =\frac(d)(dt) K(o)$
dove $K(o)$ è il momento della quantità di moto pari a $\sigma (o)\omega$, $\sigma (o)$ è il tensore di inerzia. Inoltre il momento delle forze esterne è pari alla somma del momento delle forze attive (peso) più il momento delle reazioni vincolari, da questa equazione dovrei trovare il momento delle reazioni.
Il punto è: posso scegliere un sistema di riferimento mobile dove calcolare il tensore di inerzia così quando derivo $K(o)$ mi viene semplicemente $\sigma(o)\dot\omega$? solo che non riesco a capire bene in quanto $\omega$ in questo riferimento è nullo..
Per la risultante delle reazioni al momento non mi viene nulla..
Grazie a chiunque mi voglia dare un suggerimento
Un disco bucato ruota intorno all'asse $y$ come in figura (vedi link)
http://xoomer.alice.it/ing.matematici/disco_bucato.jpg
Viene richiesto di calcolare la risultante delle reazioni vincolari e il momento risultante delle reazioni vincolari.
Allora il momento delle forze esterne è
$M^(e) (o) =\frac(d)(dt) K(o)$
dove $K(o)$ è il momento della quantità di moto pari a $\sigma (o)\omega$, $\sigma (o)$ è il tensore di inerzia. Inoltre il momento delle forze esterne è pari alla somma del momento delle forze attive (peso) più il momento delle reazioni vincolari, da questa equazione dovrei trovare il momento delle reazioni.
Il punto è: posso scegliere un sistema di riferimento mobile dove calcolare il tensore di inerzia così quando derivo $K(o)$ mi viene semplicemente $\sigma(o)\dot\omega$? solo che non riesco a capire bene in quanto $\omega$ in questo riferimento è nullo..
Per la risultante delle reazioni al momento non mi viene nulla..
Grazie a chiunque mi voglia dare un suggerimento
Risposte
Ciao... non riesco a vedere l'iimagine purtroppo.
copia il link ed incollalo nella barra degli indirizzi
No! è molto più semplice!
In generale il tensore d'inerzia rispetto ad O è:
$J_o=((I_(x x),-I_(xy),-I_(xz)),(-I_(yx),I_(yy),-I_(yz)),(-I_(zx),-I_(zy),I_(zz)))$
Se poi la velocità angolare del corpo rigido può essere espressa in componenti rispetto al sistema solidale al corpo stesso, si ha:
$vecomega=((p(t)),(q(t)),(r(t)))$
Il momento angolare rispetto ad O è quindi:
$vecK_O=J_Ovecomega=((I_(x x),-I_(xy),-I_(xz)),(-I_(yx),I_(yy),-I_(yz)),(-I_(zx),-I_(zy),I_(zz)))((p(t)),(q(t)),(r(t)))$
Adesso se per esempio, come nel nostro caso, il moto è tale per cui $p(t)=r(t)=0, forallt$ ed inoltre il sistema è prinicpale d'inerzia (non centrale in questo caso), allora i momenti centrifughi sono nulli. Tutto ciò ci conduce a
$vecK_O=((I_(x x),0,0),(0,I_(yy),0),(0,0,I_(zz)))((0),(q(t)),(0))=I_(yy)q(t)vec(hat(j))=>(d(vecK_O))/(dt)=I_(yy)dot(q)(t)vec(hat(j))$
Scrivendo la seconda equazione cardinale:
$vecM_O=((M_x^v),(0),(mg|x_G|+M_z^v))I_(yy)dot(q)(t)vec(hat(j))=>0=I_(yy)dot(q)(t)=>q(t)=cost=>M_z^v=mg|x_G|,M_x^v=0$
Adesso, infine, utilizzando la prima equazione caridnale
$vecF=mveca_G=((mq(t)^2|x_G|),(0),(0))=((R_x),(R_y-mg),(0))=>R_x=mq(t)^2|x_G|,R_y=mg$
In generale il tensore d'inerzia rispetto ad O è:
$J_o=((I_(x x),-I_(xy),-I_(xz)),(-I_(yx),I_(yy),-I_(yz)),(-I_(zx),-I_(zy),I_(zz)))$
Se poi la velocità angolare del corpo rigido può essere espressa in componenti rispetto al sistema solidale al corpo stesso, si ha:
$vecomega=((p(t)),(q(t)),(r(t)))$
Il momento angolare rispetto ad O è quindi:
$vecK_O=J_Ovecomega=((I_(x x),-I_(xy),-I_(xz)),(-I_(yx),I_(yy),-I_(yz)),(-I_(zx),-I_(zy),I_(zz)))((p(t)),(q(t)),(r(t)))$
Adesso se per esempio, come nel nostro caso, il moto è tale per cui $p(t)=r(t)=0, forallt$ ed inoltre il sistema è prinicpale d'inerzia (non centrale in questo caso), allora i momenti centrifughi sono nulli. Tutto ciò ci conduce a
$vecK_O=((I_(x x),0,0),(0,I_(yy),0),(0,0,I_(zz)))((0),(q(t)),(0))=I_(yy)q(t)vec(hat(j))=>(d(vecK_O))/(dt)=I_(yy)dot(q)(t)vec(hat(j))$
Scrivendo la seconda equazione cardinale:
$vecM_O=((M_x^v),(0),(mg|x_G|+M_z^v))I_(yy)dot(q)(t)vec(hat(j))=>0=I_(yy)dot(q)(t)=>q(t)=cost=>M_z^v=mg|x_G|,M_x^v=0$
Adesso, infine, utilizzando la prima equazione caridnale
$vecF=mveca_G=((mq(t)^2|x_G|),(0),(0))=((R_x),(R_y-mg),(0))=>R_x=mq(t)^2|x_G|,R_y=mg$
Grazie tanto!
Solo due cose non mi tornano tanto
1) $p,q,r$ sono le componenti della velocità angolare espresse nel sistema di riferimento solidale? e se è così (pietà sto per dire una super scemenza lo so
) come mai non sono tutte e tre nulle dato che il disco è fermo nel sistema solidale?
2) Quando scrivi la seconda equazione cardinale mi sembra di capire che escludi a priori che vi possa essere il momento delle reazioni vincolari lungo $j$, $M_(y)^(v)$, da cosa lo deduci?
Solo due cose non mi tornano tanto
1) $p,q,r$ sono le componenti della velocità angolare espresse nel sistema di riferimento solidale? e se è così (pietà sto per dire una super scemenza lo so
) come mai non sono tutte e tre nulle dato che il disco è fermo nel sistema solidale?2) Quando scrivi la seconda equazione cardinale mi sembra di capire che escludi a priori che vi possa essere il momento delle reazioni vincolari lungo $j$, $M_(y)^(v)$, da cosa lo deduci?
Ok... intanto la seconda che è facile, direi che se il vincolo è ideale, il corpo gira liberamente attorno all'asse y (è la definizione di questo tipo di vincolo ideale). Se ci fosse attrito allora vi sarebbe un momento frenante, da calcolarsi eventualemente attraverso altre teorie...
Per quanto riguarda la prima domanda... lì è più difficile da spiegare...
La velocità angolare è un vettore CARATTERISTICO del corpo rigido, ed in effetti rappresenta la rotazione degli assi del sistema di versori cartesiani destrogiri solidali al corpo rigido in questione (vedi formule di Poisson).
Più semplicemente la puoi vedere come un semplice vettore nello spazio. In questo caso rimane costante. Puoi sempre decidere di rappresentarlo su due tipi di sistemi diversi, in particolare uno solidale ed uno fisso. In quello fisso per ipotesi rimane fisso, e facendo due rapidi conti vedi che, anche se scegli un sistema di assi solidali paralleli a quelli fissi, allora tale vettore rimane costante e pari ad $omega$.
Per quanto riguarda la prima domanda... lì è più difficile da spiegare...
La velocità angolare è un vettore CARATTERISTICO del corpo rigido, ed in effetti rappresenta la rotazione degli assi del sistema di versori cartesiani destrogiri solidali al corpo rigido in questione (vedi formule di Poisson).
Più semplicemente la puoi vedere come un semplice vettore nello spazio. In questo caso rimane costante. Puoi sempre decidere di rappresentarlo su due tipi di sistemi diversi, in particolare uno solidale ed uno fisso. In quello fisso per ipotesi rimane fisso, e facendo due rapidi conti vedi che, anche se scegli un sistema di assi solidali paralleli a quelli fissi, allora tale vettore rimane costante e pari ad $omega$.
Ok, dopo aver letto e riletto una decina di volte 
, penso di avere afferrato, grazie di tutto ciccio
, penso di avere afferrato, grazie di tutto ciccio
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