Esercizio di meccanica quantistica
ciao a tutti,
scrivo perché c'è un esercizio sul quale ho dei dubbi sull'impostazione ,probabilmente dovuto a qualche lacuna nella teoria.
L'esercizio è questo:
Consideriamo un sistema con momento angolare pari ad $1$, rappresentato dal vettore di stato :
$| psi > = {1}/{sqrt 26} ((1),(4),(-3))$.
1) Qual è la probabilità che una misura di $L_z$ dia zero?
2) Usando la rappresentazione matriciale di $L_x$ determinare il valore medio di $L_x$ .
le mie domande sono:
cosa si intende per momento angolare pari ad uno?
Ho pensato che bisogna considerare $l=1$ e quindi $L^2 f = h^2 l(l+1) f$ , $l_z f = mh f$ (in realtà avrei dovuto scrivere acca tagliato ma non so come si scriva ) con $m = 0,+-1$.Giusto?
come posso risolvere il primo punto?
scrivo perché c'è un esercizio sul quale ho dei dubbi sull'impostazione ,probabilmente dovuto a qualche lacuna nella teoria.
L'esercizio è questo:
Consideriamo un sistema con momento angolare pari ad $1$, rappresentato dal vettore di stato :
$| psi > = {1}/{sqrt 26} ((1),(4),(-3))$.
1) Qual è la probabilità che una misura di $L_z$ dia zero?
2) Usando la rappresentazione matriciale di $L_x$ determinare il valore medio di $L_x$ .
le mie domande sono:
cosa si intende per momento angolare pari ad uno?
Ho pensato che bisogna considerare $l=1$ e quindi $L^2 f = h^2 l(l+1) f$ , $l_z f = mh f$ (in realtà avrei dovuto scrivere acca tagliato ma non so come si scriva ) con $m = 0,+-1$.Giusto?
come posso risolvere il primo punto?
Risposte
Consideriamo i due osservabili $|\vec{L}|^2$ e $L_z$ (rispettivamente modulo quadro del momento angolare e sua proiezione lungo un asse, in questo caso $z$). Avrai senz'altro studiato che i due operatori commutano e pertanto ammettono autofunzioni comuni, chiamiamole $|l m\rangle$. Con tecniche puramente algebriche si ricavano gli autovalori dei due operatori:
$$L^2|l m\rangle=\hbar^2 l(l+1)|l m\rangle$$
$$L_z|l m\rangle=\hbar m|l m\rangle$$
Momento angolare pari ad $1$ significa, come dicevi giustamente, che $l=1$ ed essendo $m=-l,-l-1,..,l-1,l$ il nostro sistema potrà avere $m=-1,0,1$. Questo significa che, essendo $l$ fissato, lo spazio di Hilbert in cui ambientare il sistema avrà dimensione 3 ed una base (fra le tante) può ad esempio essere $|-1\rangle$,$|0\rangle$,$|1\rangle$ ($l$ può essere sottinteso).
La rappresentazione dei 3 vettori in tale base sarà (qui bisogna stare attenti a come il tuo testo ha ordinato i 3 vettori di base, ammettiamo che la scelta sia stata affine alla mia.. lo spero
):
$$|-1\rangle = \left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)$$
$$|0\rangle = \left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)$$
$$|1\rangle = \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)$$
Allora:
$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{26}} \left(\begin{matrix}1\\4\\-3\end{matrix}\right) = \frac{1}{\sqrt{26}} \left[\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)+4\left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)-3\left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\right] \\
= \frac{1}{\sqrt{26}}(|-1\rangle+4|0\rangle-3|1\rangle)$$
Una volta espressa la $psi$ in questo modo riesci a proseguire?
$$L^2|l m\rangle=\hbar^2 l(l+1)|l m\rangle$$
$$L_z|l m\rangle=\hbar m|l m\rangle$$
Momento angolare pari ad $1$ significa, come dicevi giustamente, che $l=1$ ed essendo $m=-l,-l-1,..,l-1,l$ il nostro sistema potrà avere $m=-1,0,1$. Questo significa che, essendo $l$ fissato, lo spazio di Hilbert in cui ambientare il sistema avrà dimensione 3 ed una base (fra le tante) può ad esempio essere $|-1\rangle$,$|0\rangle$,$|1\rangle$ ($l$ può essere sottinteso).
La rappresentazione dei 3 vettori in tale base sarà (qui bisogna stare attenti a come il tuo testo ha ordinato i 3 vettori di base, ammettiamo che la scelta sia stata affine alla mia.. lo spero
):$$|-1\rangle = \left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)$$
$$|0\rangle = \left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)$$
$$|1\rangle = \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)$$
Allora:
$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{26}} \left(\begin{matrix}1\\4\\-3\end{matrix}\right) = \frac{1}{\sqrt{26}} \left[\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)+4\left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)-3\left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)\right] \\
= \frac{1}{\sqrt{26}}(|-1\rangle+4|0\rangle-3|1\rangle)$$
Una volta espressa la $psi$ in questo modo riesci a proseguire?
ciao e grazie per la risposta,
quindi,se non ho capito male, bisogna esprimere lo stato nella base delle armoniche sferiche (che sono un sistema completo) in base al dato che ci viene fornito(momento pari ad uno).
Allora avremo che i possibili risultati di una misura di $L_z$ sono $1h,0,-1h$ con probabilità:
$P(l_z = 1) = {9}/{26}$,
$P(l_z = 0) = {16}/{26}$,
$P(l_z = -1) = {1}/{26}$.
La somma da uno. Giusto?
Inoltre, siccome $l=1$, allora l'unico possibile risultato di una misura di $L^2$ è $2h^2$ con probabilità pari ad uno.(sempre tenendo presente che si tratta di un acca tagliato).
Per quanto riguarda il secondo punto ,la rappresentazione di $L_x$, si parte dal fatto che vale:$L_x |lm\rangle = mh|lm\rangle$,quindi: $l_(ab) = \langle lm|L_x|lm\rangle = mh \langle lm|lm\rangle$
$L_x = h ((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))$,
e il valor medio : $\langle psi|L_x |psi\rangle = h\langle psi| ((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))|psi\rangle $
che ne dici?
quindi,se non ho capito male, bisogna esprimere lo stato nella base delle armoniche sferiche (che sono un sistema completo) in base al dato che ci viene fornito(momento pari ad uno).
Allora avremo che i possibili risultati di una misura di $L_z$ sono $1h,0,-1h$ con probabilità:
$P(l_z = 1) = {9}/{26}$,
$P(l_z = 0) = {16}/{26}$,
$P(l_z = -1) = {1}/{26}$.
La somma da uno. Giusto?
Inoltre, siccome $l=1$, allora l'unico possibile risultato di una misura di $L^2$ è $2h^2$ con probabilità pari ad uno.(sempre tenendo presente che si tratta di un acca tagliato).
Per quanto riguarda il secondo punto ,la rappresentazione di $L_x$, si parte dal fatto che vale:$L_x |lm\rangle = mh|lm\rangle$,quindi: $l_(ab) = \langle lm|L_x|lm\rangle = mh \langle lm|lm\rangle$
$L_x = h ((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))$,
e il valor medio : $\langle psi|L_x |psi\rangle = h\langle psi| ((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,1))|psi\rangle $
che ne dici?
Per il punto 1: perfetto.
Per quanto riguarda $L_x$, le cose non sono così semplici purtroppo. Il punto è questo: $L_x$ ed $L_z$ non commutano, pertanto se abbiamo scelto una base in cui $L_z$ è diagonale, $L_x$ non potrà esserlo. Questo vuol dire che non esistono autofunzioni comuni a $L_x$ ed $L_z$ (ti ricordo infatti che una condizione necessaria perché due operatori siano simultaneamente diagonalizzabili è che il loro commutatore sia nullo).
Possiamo tuttavia esprimere $L_x$ in funzione degli operatori gradino $L_+$ e $L_-$: $L_x = (L_+ +L_-)/2$ e quindi calcolare
$$\langle L_x\rangle=\langle\psi|L_x|\psi\rangle$$
Per quanto riguarda $L_x$, le cose non sono così semplici purtroppo. Il punto è questo: $L_x$ ed $L_z$ non commutano, pertanto se abbiamo scelto una base in cui $L_z$ è diagonale, $L_x$ non potrà esserlo. Questo vuol dire che non esistono autofunzioni comuni a $L_x$ ed $L_z$ (ti ricordo infatti che una condizione necessaria perché due operatori siano simultaneamente diagonalizzabili è che il loro commutatore sia nullo).
Possiamo tuttavia esprimere $L_x$ in funzione degli operatori gradino $L_+$ e $L_-$: $L_x = (L_+ +L_-)/2$ e quindi calcolare
$$\langle L_x\rangle=\langle\psi|L_x|\psi\rangle$$
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