Esercizio di meccanica

[bitorsolo]

Una sottile sbarra di lunghezza H è tenuta in posizione verticale con il suo estremo inferiore fermo su una superficie piana priva di attrito.L'estremo superiore della sbarra viene lasciato libero e inizia a cadere mentre l'estremo inferiore scivola sulla superficie.Determinare la velocità lineare dell'estremo superiore quando colpisce la superficie.
Io ho fatto così:ho scritto le equazioni cardinali per la sbarra lungo x,y e quella dei momenti rispetto al punto di contatto della sbarra con il piano e ottengo :
m$ddot x$=mgsin($\theta$)cos($\theta$)
mg-N=m$ddot y$ dove N è la reazione normale del piano
$I_0$$\alpha$=mg$H/2$sin($\theta$) dove $I_0$ è il momento d'inerzia della sbarra rispetto al unto di contatto
Tutte le equazioni sono riferite al centro di massa.Da qui si ottengono le accelerazioni :
$ddot x$=gsin($\theta$)cos($\theta$)
se scompongo la forza di gravità ottengo che la N vale mg(1-(cos($\theta$))^2) per cui
$ddot y$=g(sin($\theta$))^2
Il momento d'inerzia della sbarra rispetto al punto di contatto vale $I_0$=$1/3$m$H^2$ allora:
$\alpha$=$3/2$$g/H$sin($\theta$)
Poi posso impostare la conservazione dell'energia meccanica perchè non ci sono né forze esterne né forse on conservative per cui :
mg$H/2$(1-cos($\theta$))=$1/2$m$$V$^2$+$1/2$$I_0$$\omega^2$
da qui in poi però non so come andare avanti
Grazie per l'aiuto

[indovina]

Se il disegno è questo:
http://j.gs/KIi

mi trovo con la proezione lungo $y$ cioè
$- M g + N = m a_y$

ma non capisco lungo $x$ io avrei scomposto come

$m a_x = m g sin theta$

ma theta iniziale è $90$ quindi $a_x = g$ [può essere sbagliatissimo, aspetta gli esperti ]

la cosa che io mi chiederei, è perchè ha chiesto la velocità dell'estremo superiore e NON quella del c.d.m, quindi con la conservazione dell'energia meccanica, con quel $V$ intendi proprio la velocità dell'estremo superiore?

se consideri il moto del c.d.m il momento di inerzia è proprio quello?

inoltre io penserei un attimo anche al moto che la sbarreta fa, cioè rotatorio..

[bitorsolo]

Sì il disegno è quello.Se proietti la forza di gravità in una direzione normale e una parallela alla sbarra ottieni le solite due componenti mgsin($\theta$) e mgcos($\theta$) se poi riporti la componente lungo la sbarra nel punto di contatto con il piano e la scomponi di nuovo ioottengo quelle scritte sopra.Il fatto è che no ruota rispetto a un asse fisso perchè l'estremo inferiore scivola e avrà una certa velocità.La V nella consevazione dell'energia è quella del cdm.Il fatto che sia n moto di rotazione attorno ad un centro di rotazione istantaneo mi fa pensare che trovata la $\omega$ si ottiene almeno per la velocità tangenziale una cosa del tipo $\omega$H che per essere lineare andrà poi scomposta l'unica cosa è che anche l'accelerazione angolare dipende da sin$\theta$ e a parer mio non posso approssimare a $\theta$ per angoli piccoli perchè la sbarra ruota di $\pi/2$ ,poi non lo so magari ho detto uno uno sfondone.