Esercizio di meccanica

[lilianal]

Sono totalmente bloccata sul seguente esercizio...più che altro perchè ho provato a farlo in due modi diversi e non ottengo lo stesso risultato, quindi da ciò deduco che c'è qualcosa di sbagliato...
potete darmi una mano??

Un corpo di massa M=4Kg scivola lungo un piano inclinato di 30° con un coefficiente di attrito dinamico pari a 0,1 per un tratto d=2m partendo da fermo. Alla fine del piano urta in modo perfettamente anelastico con un secondo blocco di massa m=2Kg ed insieme viaggiano per un tratto s su una superficie piana con coefficiente di attrito di 0,2.

Calcolare il valore dello spostamento s.

[cicciobaseball]

Ho fatto l'esercizio in questo modo.. prima ho calcolato la velocità con cui il blocco di massa M arriva prima dell'impatto con l'altro blocco. Ho fatto tutto energeticamente ( prima di far questo devi trovare l'altezza h che è $ sin θ * d $ ) quindi : $ del Ek + del Ep = E dissipata $ sostituisci il tutto e dovresti arrivare a trovare che la velocità con cui arriva il blocco M all'impatto è $ V1 = sqrt(2* μk * (-mg) + mgh // m ) $ inserisci i dati numerici e avrai V1 = 4,2 m/s. Dato che l'urto è perfettamente anelastico dopo l'impatto i blocchi cammineranno "assieme" con una velocità data dalla relazione $ Vm+M = m1v1+m2v2 // m1+m2 $ e dovrebbe essere 2,8 m/s. Ora energeticamente poni che $ 1/2 m1v1^2 + 1/2 m2v2^2 - 1/2 (m1+m2) Vm+M^2 = μk ( mg+Mg) * S $ . Risolvi per S e ne trovi il valore che dovrebbe essere S = 1m. Bè io l'ho risolto cosi' ma non fidarti troppo di me aspetta conferma da gente piu' esperta

[chiaraotta1]

Io farei il problema in questo modo ...
1) Durante la discesa viene dissipata energia per effetto del lavoro negativo della forza d'attrito. L'energia cinetica alla fine della discesa è uguale a quella potenziale all'inizio meno quella persa per il lavoro fatto dalla forza d'attrito. Cioè $E_c = U_0 - L_a$. Ma $E_c = 1/2 * M * v^2$, $U_0 = M*g*h = M * g * d * sen(alpha)$ e $L_a = F_a * d = mu_d * N * d = mu_d * M * g * cos(alpha) * d$. Quindi l'equazione che si può scrivere è $1/2 * M * v^2 = M * g * d * sen(alpha) - mu_d * M * g * cos(alpha) * d$ e da questa si può ricavare la velocità di $M$ prima dell'urto: $v = sqrt(2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha)))$.
2) Nell'urto fra $M$ e $m$ non si conserva l'energia, ma solo la quantità di moto: $M * v = (M + m) * v_1$. Da questa equazione si può ricavare la velocità comune ai due blocchi: $v_1 = M/(M + m) * v = M/(M + m) * sqrt(2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha)))$.
3) Nel movimento sulla superficie piana viene dissipata tutta l'energia cinetica iniziale della coppia di blocchi per effetto del lavoro della forza d'attrito. Quindi $E_(c1) = L_(a1)$.
Ma $E_(c1) = 1/2 * (M + m) * v_1^2 = 1/2 * (M + m) * [M/(M + m) * sqrt(2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha)))]^2 = 1/2 * (M + m) * (M/(M + m))^2 * (2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha))$ e $L_(a1) = F_(a1) * s = mu_(d1) * N_1 * s = mu_(d1) * (M + m) * g * s$. Dall'equazione $ 1/2 * (M + m) * (M/(M + m))^2 * (2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha)) = mu_(d1) * (M + m) * g * s$ si può ricavare $s = (M/(M + m))^2 * (2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha)))/(2*mu_(d1)*g) = (M/(M + m))^2 * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha))/mu_(d1) = (4/(4 + 2))^2 * 2 *(sen(30°) - 0.1 * cos(30°))/0.2 = 4/9 * 2 * (1/2 - 0.1 * sqrt(3)/2)/0.2 ~= 1.84 text ( m)$.

[cicciobaseball]

Scusa ma dopo l'impatto dato che è un urto perfettamente anelastico l'energia cinetica del blocco M+m va riadattata mentre per come l'hai scritto tu M ha la stessa energia cinetica come se non avesse urtato con nulla.. no?

[chiaraotta1]

Mi sembra che, se i due blocchi viaggiano insieme, allora hanno la stessa velocità (quella dopo l'urto: $v_1$ con i simboli che ho usato io) e una massa complessiva che è la somma delle masse di ognuno, e cioè $M + m$. E che quindi la loro energia cinetica ($E_(c1)$) abbia l'espressione $E_(c1) = 1/2 * (M + m) * v_1^2$.
O forse non ho capito la tua obiezione?

[lilianal]

"chiaraotta":Io farei il problema in questo modo ...
1) Durante la discesa viene dissipata energia per effetto del lavoro negativo della forza d'attrito. L'energia cinetica alla fine della discesa è uguale a quella potenziale all'inizio meno quella persa per il lavoro fatto dalla forza d'attrito. Cioè $E_c = U_0 - L_a$. Ma $E_c = 1/2 * M * v^2$, $U_0 = M*g*h = M * g * d * sen(alpha)$ e $L_a = F_a * d = mu_d * N * d = mu_d * M * g * cos(alpha) * d$. Quindi l'equazione che si può scrivere è $1/2 * M * v^2 = M * g * d * sen(alpha) - mu_d * M * g * cos(alpha) * d$ e da questa si può ricavare la velocità di $M$ prima dell'urto: $v = sqrt(2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha)))$.
2) Nell'urto fra $M$ e $m$ non si conserva l'energia, ma solo la quantità di moto: $M * v = (M + m) * v_1$. Da questa equazione si può ricavare la velocità comune ai due blocchi: $v_1 = M/(M + m) * v = M/(M + m) * sqrt(2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha)))$.
3) Nel movimento sulla superficie piana viene dissipata tutta l'energia cinetica iniziale della coppia di blocchi per effetto del lavoro della forza d'attrito. Quindi $E_(c1) = L_(a1)$.
Ma $E_(c1) = 1/2 * (M + m) * v_1^2 = 1/2 * (M + m) * [M/(M + m) * sqrt(2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha)))]^2 = 1/2 * (M + m) * (M/(M + m))^2 * (2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha))$ e $L_(a1) = F_(a1) * s = mu_(d1) * N_1 * s = mu_(d1) * (M + m) * g * s$. Dall'equazione $ 1/2 * (M + m) * (M/(M + m))^2 * (2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha)) = mu_(d1) * (M + m) * g * s$ si può ricavare $s = (M/(M + m))^2 * (2 * g * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha)))/(2*mu_(d1)*g) = (M/(M + m))^2 * d *(sen(alpha) - mu_d * cos(alpha))/mu_(d1) = (4/(4 + 2))^2 * 2 *(sen(30°) - 0.1 * cos(30°))/0.2 = 4/9 * 2 * (1/2 - 0.1 * sqrt(3)/2)/0.2 ~= 1.84 text ( m)$.

Penso proprio che sia corretto.... anche perchè provando a risolvere in maniera diversa, ho ottenuto gli stessi risultati... grazieee a tutti e due....molto gentili...

[cyd1]

conservazione dell'energia
$1/2 M V_M^2 + u_d d Mg cos theta = M g d sin theta$

"chiaraotta":Mi sembra che, se i due blocchi viaggiano insieme, allora hanno la stessa velocità (quella dopo l'urto: v1 con i simboli che ho usato io) e una massa complessiva che è la somma delle masse di ognuno, e cioè M+m. E che quindi la loro energia cinetica (Ec1) abbia l'espressione Ec1=12⋅(M+m)⋅v12.
O forse non ho capito la tua obiezione?

l'urto è anaelastico, per definizione viene dissipata dell'energia.
infatti per la conservazione della quantità di moto $M V_M = (m + M) V_f$ => $V_f = M/(M+m) V_M$

se $L_d$ è il l'energia dissipata nell'urto si ha
$1/2 M V_M ^2 = 1/2 (M + m) V_f ^2 + L_d$ sostituendo V_f:
$L_d = 1/2 M((m-2 M)/(m+M)) V_M^2$

poi M+m va avanti fino ad esaurire l'energia: $Delta T = L$ => $1/2 (M+m) V_f ^2 = u_(d_2) x (M+m) g$ ricavi x da qui

[lilianal]

"cyd":conservazione dell'energia
$1/2 M V_M^2 + u_d d Mg cos theta = M g d sin theta$
[quote="chiaraotta"]Mi sembra che, se i due blocchi viaggiano insieme, allora hanno la stessa velocità (quella dopo l'urto: v1 con i simboli che ho usato io) e una massa complessiva che è la somma delle masse di ognuno, e cioè M+m. E che quindi la loro energia cinetica (Ec1) abbia l'espressione Ec1=12⋅(M+m)⋅v12.
O forse non ho capito la tua obiezione?

l'urto è anaelastico, per definizione viene dissipata dell'energia.
infatti per la conservazione della quantità di moto $M V_M = (m + M) V_f$ => $V_f = M/(M+m) V_M$
se $L_d$ è il l'energia dissipata nell'urto si ha
$1/2 M V_M ^2 = 1/2 (M + m) V_f ^2 + L_d$ sostituendo V_f:
$L_d = 1/2 M((m-2 M)/(m+M)) V_M^2$

poi M+m va avanti fino ad esaurire l'energia: $Delta T = L$ => $1/2 (M+m) V_f ^2 = u_(d_2) x (M+m) g$ ricavi x da qui[/quote]


scusa ma tu per v_f intendi velocità finale? credo comunque che siete arrivati allo stesso risultato...^__^ grazie!!

[cyd1]

si
comunque ricorda che negli urti , tranne che in quelli completamente elastici, si dissipa sempre energia

[chiaraotta1]

"cyd":
.....
l'urto è anaelastico, per definizione viene dissipata dell'energia.
......

E infatti viene dissipata energia nell'urto, che è anelastico. L'energia prima dell'urto era solo quella cinetica del corpo di massa $M$ e cioè $E_c = 1/2 * M * v^2$; quella dopo l'urto è $E_(c1) = 1/2 * (M + m) * v_1^2$, dove $v_1 = M/(M + m) * v$. Perciò il rapporto fra energia finale e iniziale è $E_(c1)/E_c = (1/2 * (M + m) * v_1^2)/(1/2 * M * v^2)= (M + m)/M * v_1^2 /v^2 = (M + m)/M * (M/(M + m))^2 = M/(M + m) < 1$. Cioè appunto $E_(c1)

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