Esercizio di meccanica
Salve sto avendo difficoltà a impostare questo problema di meccanica:
A un’asta verticale di momento d’inerzia trascurabile sono sospese due masse identiche
m=0.25 kg attraverso due sbarrette rigide di lunghezza L=20 cm e massa trascurabile.
Quando il sistema ruota intorno all’asse verticale con velocità angolare costante $\omega$, esiste
una configurazione in cui l’angolo $\theta$ che le due sbarrette formano rispetto alla verticale è
costante nel tempo e funzione di $\omega$.
1. Assumendo che $\theta$ sia costante durante la rotazione, si determini la relazione tra la
velocità angolare $\omega$ e l’angolo $\theta$, trascurando tutte le forze di attrito.
2. Si determini la minima velocità angolare $\omega$0 per cui $\theta$ > 0.
Si supponga ora che le due masse m siano soggette ad una forza di attrito viscoso
proporzionale alla loro velocità, F = −$\beta$v, con $\beta$=3.0 kg/s, e che il sistema venga mantenuto
in rotazione da un motore con velocità angolare $\omega$1 = 14 rad/s. In queste condizioni,
assumendo sempre che l’angolo θ sia costante durante la rotazione, si calcoli:
3. il lavoro per ogni giro compiuto dal
motore per vincere l’attrito viscoso;
4. la componente assiale Lz del momento
angolare del sistema rispetto al punto
di sospensione delle sbarrette.
Improvvisamente il motore si spegne ed il
sistema comincia a rallentare a causa
dell’attrito.
5. (Difficile) Si calcoli dopo quanto tempo
Lz si è ridotto del 90% rispetto al valore
calcolato al punto precedente.
A un’asta verticale di momento d’inerzia trascurabile sono sospese due masse identiche
m=0.25 kg attraverso due sbarrette rigide di lunghezza L=20 cm e massa trascurabile.
Quando il sistema ruota intorno all’asse verticale con velocità angolare costante $\omega$, esiste
una configurazione in cui l’angolo $\theta$ che le due sbarrette formano rispetto alla verticale è
costante nel tempo e funzione di $\omega$.
1. Assumendo che $\theta$ sia costante durante la rotazione, si determini la relazione tra la
velocità angolare $\omega$ e l’angolo $\theta$, trascurando tutte le forze di attrito.
2. Si determini la minima velocità angolare $\omega$0 per cui $\theta$ > 0.
Si supponga ora che le due masse m siano soggette ad una forza di attrito viscoso
proporzionale alla loro velocità, F = −$\beta$v, con $\beta$=3.0 kg/s, e che il sistema venga mantenuto
in rotazione da un motore con velocità angolare $\omega$1 = 14 rad/s. In queste condizioni,
assumendo sempre che l’angolo θ sia costante durante la rotazione, si calcoli:
3. il lavoro per ogni giro compiuto dal
motore per vincere l’attrito viscoso;
4. la componente assiale Lz del momento
angolare del sistema rispetto al punto
di sospensione delle sbarrette.
Improvvisamente il motore si spegne ed il
sistema comincia a rallentare a causa
dell’attrito.
5. (Difficile) Si calcoli dopo quanto tempo
Lz si è ridotto del 90% rispetto al valore
calcolato al punto precedente.
Risposte
Tuoi tentativi?
"ingres":
Tuoi tentativi?
per i primi due punti sono riuscito scomponendo la tensione nelle componenti x e y: lungo x sarà uguale alla forza centripeta Tx=$omega$^2*L*sin$theta$ e lungo l'asse y alla forza peso Ty=mg. Facendo così ho risolto i primi due punti, sono bloccato al terzo. Ho ipotizzato che il lavoro dell'attrito viscoso fosse la forza d'attrito, il cui modulo lo trovo con la velocità tangenziale della palla, per lo spostamento lungo la circonferenza ovvero 2$pi$Lsin$theta$ per le due palle (quindi moltiplicato per due) ma non viene. il risultato dovrebbe venire W=19.8J al punto 3 e al punto 5 t=0.2s.
Nella Tx manca la massa. Mi aspetto comunque che, al punto 1, tu abbia trovato una relazione del tipo:
$omega^2 * cos(theta)= g/L$
Per quanto riguarda i punti 4 e 5, l'impostazione sembra corretta. Prova a postare i conti che hai fatto.
$omega^2 * cos(theta)= g/L$
Per quanto riguarda i punti 4 e 5, l'impostazione sembra corretta. Prova a postare i conti che hai fatto.
"ingres":
Nella Tx manca la massa. Mi aspetto comunque che, al punto 1, tu abbia trovato una relazione del tipo:
$omega^2 * cos(theta)= g/L$
Per quanto riguarda i punti 4 e 5, l'impostazione sembra corretta. Prova a postare i conti che hai fatto.
Ho prima calcolato la velocità tangenziale a partire da quella angolare: v=$omega$1L=2.8m/s e di conseguenza la Fa=-$beta$v=-8.4rad/s. A questo punto so che la forza agisce su tutta la circonferenza perciò il lavoro sarà Wa=2*(2$pi$FaLsin$theta$)=20.44J (moltiplicato per due perchè ho due sferette) che è diverso da 19.8J del risultato. Grazie per la disponibilità comunque, non ti avevo ancora ringraziato.
Cominciamo con il Punto 3
Devi prima calcolare l'angolo che vale:
$cos(theta_1) = g/(L omega_1^2) = 9.81/(0.2*14^2) = 0.25$ da cui $theta_1 = 75.5°$ e quindi $sin(theta_1)=0.97$
Il raggio del moto è quindi: $r=sin(theta)*L = 0.97*0.2 = 0.194 m$
Seguendo il tuo stesso procedimento la velocità è quindi
$v=r*omega_1= 2.716 m/s$ e pertanto $F_a=3*2.716= 8.15 N$
$W= 2*(2*pi*r*F_a) = 2*(2*pi*0.194*8.15)=19.8 J$
Alla fine il problema era solo aver dimenticato un $sin(theta)$ qui
Per esercizio puoi anche risolvere vedendo il moto come rotatorio in cui l'attrito provoca un momento frenante.
Devi prima calcolare l'angolo che vale:
$cos(theta_1) = g/(L omega_1^2) = 9.81/(0.2*14^2) = 0.25$ da cui $theta_1 = 75.5°$ e quindi $sin(theta_1)=0.97$
Il raggio del moto è quindi: $r=sin(theta)*L = 0.97*0.2 = 0.194 m$
Seguendo il tuo stesso procedimento la velocità è quindi
$v=r*omega_1= 2.716 m/s$ e pertanto $F_a=3*2.716= 8.15 N$
$W= 2*(2*pi*r*F_a) = 2*(2*pi*0.194*8.15)=19.8 J$
Alla fine il problema era solo aver dimenticato un $sin(theta)$ qui
"fresin":
Ho prima calcolato la velocità tangenziale a partire da quella angolare: v=ω1L=2.8m/s
Per esercizio puoi anche risolvere vedendo il moto come rotatorio in cui l'attrito provoca un momento frenante.
Punto 4
Non dovrebbero esserci problemi. La formula è quella classica
$L= I*omega_1 = 2*m*r^2*omega_1=2*0.25*0.194^2*14=0.263 (kg*m^2)/s$
Nel caso non torni fammi sapere.
Punto 5
Risulta
$(dL_z)/dt = tau = -2*beta*r^2*omega=-beta/m L_z$
Si tratta di una equazione differenziale del I ordine che fornisce
$L_z(t)=L_z(0) *e^(-beta/mt)$
Imponendo che $L_z(t') = 0.1*L_z(0)$, si ha
$e^(-beta/m*t')=0.1$ applicando il logaritmo risulta $beta/m*t'=ln(10)$ e quindi
$t' = ln(10)*m/beta = 2.3*0.25/3=0.2 s$
Non dovrebbero esserci problemi. La formula è quella classica
$L= I*omega_1 = 2*m*r^2*omega_1=2*0.25*0.194^2*14=0.263 (kg*m^2)/s$
Nel caso non torni fammi sapere.
Punto 5
Risulta
$(dL_z)/dt = tau = -2*beta*r^2*omega=-beta/m L_z$
Si tratta di una equazione differenziale del I ordine che fornisce
$L_z(t)=L_z(0) *e^(-beta/mt)$
Imponendo che $L_z(t') = 0.1*L_z(0)$, si ha
$e^(-beta/m*t')=0.1$ applicando il logaritmo risulta $beta/m*t'=ln(10)$ e quindi
$t' = ln(10)*m/beta = 2.3*0.25/3=0.2 s$
torna tutto, grazie mille!!
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