Esercizio di meccanica
Buonasera, volevo chiedervi se ho svolto correttamente questo esercizio, in quanto nella dispensa non trovo il risultato per questo problema.
Una sfera metallica di massa m=50.0 g cade da un'altezza h=20.0 m sopra uno strato di sabbia, nel quale penetra per un tratto L= 30.0 cm prima di fermarsi.
Se il moto della sferetta può assumersi come uniformemente decelerato, quanto vale l'intensità della forza frenante dovuta alla sabbia?
Ho sfruttato il teorema dell'energia meccanica per calcolare la velocità della sfera quando arriva a terra.
$mgh=1/2mv^2rArrv=sqrt(2hg)$
La forza frenante presumo sia una forza NON conservativa, quindi il suo lavoro è pari alla variazione dell'energia meccanica dal "punto 2" al "punto 3". Si ottiene:
$-F_(FRENANTE)*L=DeltaE=E_(c)(2)-U(3)=1/2mv^2-mg(-L)=1/2mv^2+mgL$
Nel calcolo di U(3) ho messo -L perché sono sotto lo zero del potenziale, giusto?
Inoltre la forza frenante compie lavoro negativo, in quanto agisce in direzione opposta allo spostamento della sfera.
Sostituisco a $v$ il valore $v=sqrt(2hg)$, ottenendo:
$-F_(FRENANTE)*L=1/2m(2hg)+mgL=mhg+mgL=mg(h+L)$
In conclusione:
$F_(FRENANTE)=-(mg(h+L))/L$
E' corretto?
Una sfera metallica di massa m=50.0 g cade da un'altezza h=20.0 m sopra uno strato di sabbia, nel quale penetra per un tratto L= 30.0 cm prima di fermarsi.
Se il moto della sferetta può assumersi come uniformemente decelerato, quanto vale l'intensità della forza frenante dovuta alla sabbia?
Ho sfruttato il teorema dell'energia meccanica per calcolare la velocità della sfera quando arriva a terra.
$mgh=1/2mv^2rArrv=sqrt(2hg)$
La forza frenante presumo sia una forza NON conservativa, quindi il suo lavoro è pari alla variazione dell'energia meccanica dal "punto 2" al "punto 3". Si ottiene:
$-F_(FRENANTE)*L=DeltaE=E_(c)(2)-U(3)=1/2mv^2-mg(-L)=1/2mv^2+mgL$
Nel calcolo di U(3) ho messo -L perché sono sotto lo zero del potenziale, giusto?
Inoltre la forza frenante compie lavoro negativo, in quanto agisce in direzione opposta allo spostamento della sfera.
Sostituisco a $v$ il valore $v=sqrt(2hg)$, ottenendo:
$-F_(FRENANTE)*L=1/2m(2hg)+mgL=mhg+mgL=mg(h+L)$
In conclusione:
$F_(FRENANTE)=-(mg(h+L))/L$
E' corretto?
Risposte
Inoltre se volessi risolvere il problema senza l'utilizzo del lavoro e delle energie, sarebbe corretto procedere in questo modo?
Imposto il seguente sistema:
$ { ( y=y_0+v_0t+1/2at^2 ),( v=v_0+at ):} $
Dove $v_0=-sqrt(2hg)$ (segno negativo perché la velocità ha verso opposto rispetto all'asse y),$y_0=0$,
$y=-L$, $v=0$ (velocità finale). Quindi:
$ { ( -L=-sqrt(2hg)*t+1/2at^2 ),( 0=-sqrt(2hg)+at ):} rArr { ( -L=-sqrt(2hg)*sqrt(2hg)/a +1/2a(2hg)/a^2) ,( t=sqrt(2hg)/a ):} $
$ -L=-(2hg)/a +(hg)/a=-(hg)/arArr L=(hg)/arArr a=(hg)/L $
$ F_(FRENANTE)-mg=marArr F_(FRENANTE)=mg+ma=mg+m(hg)/L=mg(1+h/L) $
$-mg$ perché la forza peso è nel verso opposto all'asse y,$+F_(FRENANTE)$ perché è nel verso dell'asse y,$+a$ perché è nel verso dell'asse y.
$ F_(FRENANTE)=mg(1+h/L)=mg((L+h)/L) $
E' corretto?
Non riesco solo a capire il perché nel primo caso mi viene una forza negativa e qua positiva nonostante il sistema di riferimento sia lo stesso.
Imposto il seguente sistema:
$ { ( y=y_0+v_0t+1/2at^2 ),( v=v_0+at ):} $
Dove $v_0=-sqrt(2hg)$ (segno negativo perché la velocità ha verso opposto rispetto all'asse y),$y_0=0$,
$y=-L$, $v=0$ (velocità finale). Quindi:
$ { ( -L=-sqrt(2hg)*t+1/2at^2 ),( 0=-sqrt(2hg)+at ):} rArr { ( -L=-sqrt(2hg)*sqrt(2hg)/a +1/2a(2hg)/a^2) ,( t=sqrt(2hg)/a ):} $
$ -L=-(2hg)/a +(hg)/a=-(hg)/arArr L=(hg)/arArr a=(hg)/L $
$ F_(FRENANTE)-mg=marArr F_(FRENANTE)=mg+ma=mg+m(hg)/L=mg(1+h/L) $
$-mg$ perché la forza peso è nel verso opposto all'asse y,$+F_(FRENANTE)$ perché è nel verso dell'asse y,$+a$ perché è nel verso dell'asse y.
$ F_(FRENANTE)=mg(1+h/L)=mg((L+h)/L) $
E' corretto?
Non riesco solo a capire il perché nel primo caso mi viene una forza negativa e qua positiva nonostante il sistema di riferimento sia lo stesso.
Il primo va bene, ma ti complichi la vita.
Io suggerisco sempre, in presenza di forze NC, di non usare la non-conservazione dell'energia meccanica, ma il toeriema delle forze vive: il lavoro fatto da tutte le forze e' pari alla variazione di en. cinetica.
Quindi sommando il lavoro forza peso $mg(h+L)$ al lavoro della forza frenante $FL$ deve venire zero....
$mg(h+L)-FL=0$
Una equazione veloce veloce e concettualmente banale.
Per la risoluzione cinematica devo dare uno sguardo, ma sembra giusta in modulo (e' lo stesso risultato che ottieni usando l'energia).
Io suggerisco sempre, in presenza di forze NC, di non usare la non-conservazione dell'energia meccanica, ma il toeriema delle forze vive: il lavoro fatto da tutte le forze e' pari alla variazione di en. cinetica.
Quindi sommando il lavoro forza peso $mg(h+L)$ al lavoro della forza frenante $FL$ deve venire zero....
$mg(h+L)-FL=0$
Una equazione veloce veloce e concettualmente banale.
Per la risoluzione cinematica devo dare uno sguardo, ma sembra giusta in modulo (e' lo stesso risultato che ottieni usando l'energia).
La soluzione cinematica e' quella corretta.
In quella energetica hai commesso l'errore nel segno dell' energia: devi fare E3 - E2
In quella energetica hai commesso l'errore nel segno dell' energia: devi fare E3 - E2
"professorkappa":
Il primo va bene, ma ti complichi la vita.
Quindi sommando il lavoro forza peso $ mg(h+L) $ al lavoro della forza frenante $ FL $ deve venire zero....
$ mg(h+L)-FL=0 $
.
Deve venire zero perché la variazione di energia cinetica è zero, giusto? La sfera è ferma l'istante prima di cadere ed è ferma alla fine.
$ L(1->3)=E_c(3)-E_c(1)=0-0 $
Con $ L(1->3)=mg(h+L)-F_(FRENANTE)*L $
E' corretto?
"professorkappa":
In quella energetica hai commesso l'errore nel segno dell' energia: devi fare E3 - E2
Questo perché $ L_(NC)(P_1->P_2)=DeltaE=E(P_2)-E(P_1) $
In questo caso siccome la forza frenante "agisce" da 2 verso 3 si ha:
$ L_(FRENANTE)(2->3)=DeltaE=E(3)-E(2)=mg(-L)-1/2mv^2 $
Giusto?
Per la prima domanda, si e' corretto.
La seconda e' ambigua. il verso della forza ha rilevanza solo per il calcolo del lavoro, non perche e' diretta da 2 a 3 che sono indici di configurazione.
Non fare regionamenti contorti, che poi ti confondi.
1 - Se ci sono solo forze conservative, conviene usare la conservazione dell'energia meccanica. $E_[m1]=E_[m2]$
2 - Se ci sono forze conservative e non conservative, conviene usare la variazione di energia cinetica ed eguaglairla al lavoro di TUTTE le forze? $E_[k2]-E_[k1]=L_c+L_[nc]$
Ovviamente a volte ci sono eccezioni che imparerai a riconoscere con la pratica. ma nel 99% dei casi e' cosi.
Fai la foto energetica al sistema nella condizione iniziale e in quella finale e ne fai la differenza (finale - iniziale) per avere il delta energia (meccanica per il caso 1, cinetica per il caso 2)
La seconda e' ambigua. il verso della forza ha rilevanza solo per il calcolo del lavoro, non perche e' diretta da 2 a 3 che sono indici di configurazione.
Non fare regionamenti contorti, che poi ti confondi.
1 - Se ci sono solo forze conservative, conviene usare la conservazione dell'energia meccanica. $E_[m1]=E_[m2]$
2 - Se ci sono forze conservative e non conservative, conviene usare la variazione di energia cinetica ed eguaglairla al lavoro di TUTTE le forze? $E_[k2]-E_[k1]=L_c+L_[nc]$
Ovviamente a volte ci sono eccezioni che imparerai a riconoscere con la pratica. ma nel 99% dei casi e' cosi.
Fai la foto energetica al sistema nella condizione iniziale e in quella finale e ne fai la differenza (finale - iniziale) per avere il delta energia (meccanica per il caso 1, cinetica per il caso 2)
"professorkappa":
La seconda e' ambigua. il verso della forza ha rilevanza solo per il calcolo del lavoro, non perche e' diretta da 2 a 3 che sono indici di configurazione.
Si giusto, quello che ho detto non è corretto. Quello che volevo sapere è se è corretta come l'ho applicata.
Per questo esercizio studio prima il "tratto" 1-->2, poi il "tratto" 2-->3. Studio il sistema "dal punto 1 per scendere al punto 3".
Quindi per il primo tratto si ha $E(1)=E(2)$.
Per il secondo tratto $L_(NC)(2->3)=E(3)-E(2)$.
Sicuramente è più facile utilizzando il teorema delle forze vive ma volevo capire lo stesso se sto applicando le formule del teorema della conservazione dell'energia meccanica nel modo corretto.
Guarda, se chiami tutto "E", francamente non si capisce nulla.
Poi perche complicarsi la vita su 2 tratti? boh.
Poi perche complicarsi la vita su 2 tratti? boh.
"professorkappa":
Guarda, se chiami tutto "E", francamente non si capisce nulla.
Poi perche complicarsi la vita su 2 tratti? boh.
$E$ è l'energia meccanica, quindi è la somma di energia cinetica e potenziale.
$L_(NC)(2->3)=E(3)-E(2)=E_c(3)+U(3)-(E_c(2)+U(2))=U(3)-E_c(2)$
Dove in questo esercizio $E_c(3)=0$ e $U(2)=0$
Non è che voglio complicarmi la vita. Semplicemente voglio verificare di aver capito bene le formule. Nella pratica farò come mi hai consigliato ovviamente, utilizzando il teorema delle forze vive.
"nico97it":
$E$ è l'energia meccanica, quindi è la somma di energia cinetica e potenziale.
$L_(NC)(2->3)=E(3)-E(2)=E_c(3)+U(3)-(E_c(2)+U(2))=U(3)-E_c(2)$
Dove in questo esercizio $E_c(3)=0$ e $U(2)=0$
Cosi va bene
"professorkappa":
[quote="nico97it"]
$E$ è l'energia meccanica, quindi è la somma di energia cinetica e potenziale.
$L_(NC)(2->3)=E(3)-E(2)=E_c(3)+U(3)-(E_c(2)+U(2))=U(3)-E_c(2)$
Dove in questo esercizio $E_c(3)=0$ e $U(2)=0$
Cosi va bene[/quote]
Perfetto allora. Ti ringrazio come sempre per la disponibilità e per avermi aiutato
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