Esercizio di meccanica
Salve a tutti, ho il seguente esercizio dove non riesco a capire come calcolare le forze in gioco
Il testo dice
"Nell’apparato in figura si conoscono le masse $m$ ed $M$. L’unico attrito presente si ha proprio tra le due masse, ed il coefficiente d’attrito vale $mu$. Le masse delle carrucole e della corda sono trascurabili. Si calcoli l’accelerazione della massa $m$ rispetto al piano orizzontale."
Allora so che la forza complessiva che agisce su $m$ sarà, presa la direzione verticale positiva con lo stesso verso dell'accelerazione di gravità
$ma = mg - F$
Dove in $F$ rientra sia l'attrito $F_A$ che la tensione della fune che lo tiene sospeso $T_0$
L'attrito sappiamo che dipenderà da che accelerazione ha il corpo $M$ in orizzontale, cioè
$F_A = mu * MA_x$
Il corpo $M$ viene in qualche modo trainato dalle funi collegate alle carrucole.
Sostanzialmente, detto $theta$ l'angolo al vertice del corpo $M$ con cui si collega la fune alla carrucola, presumibilmente in orizzontale il corpo $M$ avrà una accelerazione
$MA_x = Tcos(theta)$
Che ci dice $F_A = mu * Tcos(theta)$
Dato che il sistema di carrucole è legato al muro, e dato che la fune a causa della caduta di $m$ tira il muro che avrà una risposta uguale e contraria so che $T_0$ sarà anche la forza con cui il corpo $M$ viene tirato dalla carrucola più in basso che con la considerazione precedente ci da quindi
$MA_x = Tcos(theta) + T_0$
Dal disegno mi sembra di capire inoltre che la fune collegata ad $M$ tiene sospeso la carrucole che ha collegata la massa, quindi
$Tsin(theta) = mg - T_0$
quindi $T = (mg - T_0)/(sin(theta))$
$MA_x = (mg - T_0)/(tan(theta) + T_0$
Che mi porta ad avere
$ma= g(1-mu)$
che non è il risultato corretto, dato che per $theta=pi/4$ dovrebbe essere
$sqrt(2) * g / ( 2 + mu + M/m ) $
Il testo dice
"Nell’apparato in figura si conoscono le masse $m$ ed $M$. L’unico attrito presente si ha proprio tra le due masse, ed il coefficiente d’attrito vale $mu$. Le masse delle carrucole e della corda sono trascurabili. Si calcoli l’accelerazione della massa $m$ rispetto al piano orizzontale."
Allora so che la forza complessiva che agisce su $m$ sarà, presa la direzione verticale positiva con lo stesso verso dell'accelerazione di gravità
$ma = mg - F$
Dove in $F$ rientra sia l'attrito $F_A$ che la tensione della fune che lo tiene sospeso $T_0$
L'attrito sappiamo che dipenderà da che accelerazione ha il corpo $M$ in orizzontale, cioè
$F_A = mu * MA_x$
Il corpo $M$ viene in qualche modo trainato dalle funi collegate alle carrucole.
Sostanzialmente, detto $theta$ l'angolo al vertice del corpo $M$ con cui si collega la fune alla carrucola, presumibilmente in orizzontale il corpo $M$ avrà una accelerazione
$MA_x = Tcos(theta)$
Che ci dice $F_A = mu * Tcos(theta)$
Dato che il sistema di carrucole è legato al muro, e dato che la fune a causa della caduta di $m$ tira il muro che avrà una risposta uguale e contraria so che $T_0$ sarà anche la forza con cui il corpo $M$ viene tirato dalla carrucola più in basso che con la considerazione precedente ci da quindi
$MA_x = Tcos(theta) + T_0$
Dal disegno mi sembra di capire inoltre che la fune collegata ad $M$ tiene sospeso la carrucole che ha collegata la massa, quindi
$Tsin(theta) = mg - T_0$
quindi $T = (mg - T_0)/(sin(theta))$
$MA_x = (mg - T_0)/(tan(theta) + T_0$
Che mi porta ad avere
$ma= g(1-mu)$
che non è il risultato corretto, dato che per $theta=pi/4$ dovrebbe essere
$sqrt(2) * g / ( 2 + mu + M/m ) $
Risposte
"caffeinaplus":
Il corpo $M$ viene in qualche modo trainato dalle funi collegate alle carrucole.
Sostanzialmente, detto $theta$ l'angolo al vertice del corpo $M$ con cui si collega la fune alla carrucola, presumibilmente in orizzontale il corpo $M$ avrà una accelerazione
$MA_x = Tcos(theta)$
La situazione è complicata, e non ho capito bene i tuoi conti, però:
- la forza che produce l'accelerazione orizzontale mi pare che sia la tensione della fune che collega la carrucola bassa al muro, cioè semplicemente $T$
- questa forza accelera non solo $M$, ma anche $m$
Ciao e grazie della risposta!
Allora, inizialmente anche io pensavo così.
La carrucola in basso accellera sia $M$ che $m$ ma, se guardi bene, da $M$ parte un ulteriore fune tesa fino alla carrucola più in alto.
Quindi presubilmente quella fune avrà una tensione con componente sia orizzontale che verticale, che va ad accelerare ulteriormente il corpo grande aumentando poi la forza normale che può essere sfruttata dall'attrito
Allora, inizialmente anche io pensavo così.
La carrucola in basso accellera sia $M$ che $m$ ma, se guardi bene, da $M$ parte un ulteriore fune tesa fino alla carrucola più in alto.
Quindi presubilmente quella fune avrà una tensione con componente sia orizzontale che verticale, che va ad accelerare ulteriormente il corpo grande aumentando poi la forza normale che può essere sfruttata dall'attrito
"caffeinaplus":
se guardi bene, da $M$ parte un ulteriore fune tesa fino alla carrucola più in alto.
Quindi presubilmente quella fune avrà una tensione con componente sia orizzontale che verticale, che va ad accelerare ulteriormente il corpo grande aumentando poi la forza normale che può essere sfruttata dall'attrito
La carrucola in alto è tirata in giù dalla fune che pende ai due lati, quella che tu chiami fune tesa è il supporto della carrucola che la collega ad M, e più che reagire a questa forza in giù non mi pare che possa fare, quindi non vedo proprio nessuna forza orizzontale da parte sua... IMHO
Il segmento orizzontale che collega M col centro della puleggia in basso deve intendersi come un tirante , che può essere rigido oppure costituito da un pezzo di cavo, non fa differenza alcuna.
LA fune mobile è solo quella che , partendo da m , sale in verticale e passa nella gola della puleggia in alto , torna giù verticale e , dopo una deviazione di 90 º da parte della puleggia in basso, si attacca al muro .
LA fune mobile è solo quella che , partendo da m , sale in verticale e passa nella gola della puleggia in alto , torna giù verticale e , dopo una deviazione di 90 º da parte della puleggia in basso, si attacca al muro .
Sulla massa M l'unica forza ad agire è la tensione orizzontale, la carrucola in alto è collegata tramite un supporto rigido, quindi non ha effetti
Grazie a tutti dei consigli, ma ancora non sono arrivato a una soluzione
Se consideriamo come unica forza agente su $M$ quella della fune collegata alla carrucola che poi tira il muro abbiamo che
\begin{cases} {ma = mg - T_0 - F_A}\\{MA = T_1} \end{cases}
Ma $F_A = mu * MA$
Quindi
$ma = mg -T_0 -muT_1$
Indico con due nomi diversi le tensioni perchè nell'immagine la fune collegata ad $M$ non è la stessa collegata ad $m$.
Inoltre, anche supponendo che siano uguali, la situazione sarebbe
$ma = mg - T(1+mu)$ lasciandomi senza una equazione per determinare $T$
Mi rendo conto così a naso che sto sbagliando e di molto la visione delle cose.
Inoltre non sto considerando la "sbarretta" che sostiene la carrucola
(Se esercita solo una forza verticale, che forza è?Le masse delle funi e delle carrucole sono trascurabili, quindi la forza che serve per mantenerle dovrebbe essere "irrilevante". Non riesco a capire bene la situazione, anche perchè penso che se non fosse servito questo dato ai fini del problema, il testo avrebbe liquidato il tutto dicendo che quella carrucola è tenuta sospesa con qualche altro artificio
)
E anche a questo punto mi trovo completamente senza idee
Se consideriamo come unica forza agente su $M$ quella della fune collegata alla carrucola che poi tira il muro abbiamo che
\begin{cases} {ma = mg - T_0 - F_A}\\{MA = T_1} \end{cases}
Ma $F_A = mu * MA$
Quindi
$ma = mg -T_0 -muT_1$
Indico con due nomi diversi le tensioni perchè nell'immagine la fune collegata ad $M$ non è la stessa collegata ad $m$.
Inoltre, anche supponendo che siano uguali, la situazione sarebbe
$ma = mg - T(1+mu)$ lasciandomi senza una equazione per determinare $T$
Mi rendo conto così a naso che sto sbagliando e di molto la visione delle cose.
Inoltre non sto considerando la "sbarretta" che sostiene la carrucola
(Se esercita solo una forza verticale, che forza è?Le masse delle funi e delle carrucole sono trascurabili, quindi la forza che serve per mantenerle dovrebbe essere "irrilevante". Non riesco a capire bene la situazione, anche perchè penso che se non fosse servito questo dato ai fini del problema, il testo avrebbe liquidato il tutto dicendo che quella carrucola è tenuta sospesa con qualche altro artificio
)E anche a questo punto mi trovo completamente senza idee
Premessa: sto rispondendo abbastanza al volo, quindi quanto segue va preso con beneficio di inventario, ultimamente per rispondere in modo un po' "sportivo" ho preso un grosso granchio, quindi metto le mani avanti, il fatto è che sono sicuro che non avrò il tempo di rivedere il tutto con calma, quindi preferisco una risposta di questo genere che comunque spero in qualche modo utile o almeno stimolante.
Io direi così.
Poiché le carrucole e il filo sono privi di massa, le carrucole hanno solo l'effetto di far ruotare la tensione.
Quindi per la massa $m$ avremmo.
1) $mg-T-N mu_d=ma_y$
2) $ma_x=N$
con $N$ forza normale tra la massa $m$ e la massa $M$, $a_x$ e $a_y$ accelerazione orizzontale e verticale della massa $m$.
Per la massa $M$ invece:
3) $T-N=Ma_x$
ovviamente l'accelerazione orizzontale dalla massa $m$ e $M$ è la stessa perché le due masse restano a contatto.
Inoltre visto che il filo è inestensibile
4) $a_x=a_y$
A questo punto si hanno 4 equazioni in 4 incognite.
Io direi così.
Poiché le carrucole e il filo sono privi di massa, le carrucole hanno solo l'effetto di far ruotare la tensione.
Quindi per la massa $m$ avremmo.
1) $mg-T-N mu_d=ma_y$
2) $ma_x=N$
con $N$ forza normale tra la massa $m$ e la massa $M$, $a_x$ e $a_y$ accelerazione orizzontale e verticale della massa $m$.
Per la massa $M$ invece:
3) $T-N=Ma_x$
ovviamente l'accelerazione orizzontale dalla massa $m$ e $M$ è la stessa perché le due masse restano a contatto.
Inoltre visto che il filo è inestensibile
4) $a_x=a_y$
A questo punto si hanno 4 equazioni in 4 incognite.
Grazie mille @Faussone,
ho provato a seguire il tuo metodo e ho ottenuto
$a_y = g/(2+mu+M/m)$ che è molto vicino al risultato, probabilmente devo capire come in qualche modo l'angolo al vertice del corpo $M$ che si collega alla carrucola influenzi il moto.
Però il tuo metodo, risolto questo errore, mi pare proprio quello giusto
ho provato a seguire il tuo metodo e ho ottenuto
$a_y = g/(2+mu+M/m)$ che è molto vicino al risultato, probabilmente devo capire come in qualche modo l'angolo al vertice del corpo $M$ che si collega alla carrucola influenzi il moto.
Però il tuo metodo, risolto questo errore, mi pare proprio quello giusto
Quell'angolo non influenza il risultato.
Guarda che il rusultato che ottieni è giusto! ...infatti il testo chiede l'accelerazione di $m$ non solo quella verticale o quella orizzontale, ma quella totale.
Guarda che il rusultato che ottieni è giusto! ...infatti il testo chiede l'accelerazione di $m$ non solo quella verticale o quella orizzontale, ma quella totale.
Ciao Faussone,
effettivamente non sono stato molto chiaro.
Sono così "fissato" con questa storia dell'angolo perchè la soluzione dice:
effettivamente non sono stato molto chiaro.
Sono così "fissato" con questa storia dell'angolo perchè la soluzione dice:
$a = (sqrt(2)g)/(2+mu+M/m)$ inclinato a 45°
A me pare che:
$a=sqrt(a_x^2+a_y^2)=sqrt(2)a_x$
visto che $a_x=a_y$
quindi viene fuori quel $sqrt(2)$, ma l'angolo non entra direttamente, secondo me.
$a=sqrt(a_x^2+a_y^2)=sqrt(2)a_x$
visto che $a_x=a_y$
quindi viene fuori quel $sqrt(2)$, ma l'angolo non entra direttamente, secondo me.
E direi che avevi ragione e non avevo considerato questa cosa
Grazie mille!
Grazie mille!
Bene, prego!
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