Esercizio di meccanica
un aiuto per questo esercizio:
una mela si stacca dal ramo di un albero da un'altezza $h=3m$ rispetto al suolo; un bambino distante $d=5m$ dalla linea di caduta della mela, lancia una freccetta, da una altezza $l=1m$, cercando di colpire la mela.
a) determinare quale deve essere la direzione di lancio se questo viene effettuato nello stesso istante del distacco della mela.
b) determinare la minima velocità di lancio necessaria per colpire la mela prima che essa tocchi terra.
c) con una velocità di lancio di $v_0^{\prime} =9m/s$ determinare quale deve essere la direzione e l'istante di lancio, rispetto al momento del distacco della mela, per colpirla ad una quota pari ad $l$.
ecco la mia risoluzione, ditemi se è corretta:
ponendoci in un sistema con il bambino nell'origine e la mela a distanza $d$:
A) la mela cade da una altezza $h$ senza velocità iniziale: $y_M =h-1/2tg^2$, $x_M = d$
la freccia ha un moto parabolico: $x_F = v_0 cos\theta t_F$, $y_F =l+v_0 sen\theta t_F -1/2tg^2$
la freccia incontra la mela quando $x_M =x_F$, $y_M =y_F$ quindi $d=v_0 cos\theta t_F =5m$, $v_0 sen\theta t_F =h-l=2m$. Per ottenere l'angolo di lancio dividiamo la seconda equazione per la prima:
$(v_0 sen\theta t_F)/(v_0 cos\theta t_F) = tg\theta =(h-l)/d =2/5$ da cui $\theta =22^\circ$
B) la mela tocca terra quando $y_M =0$ ovvero $t_M = sqrt((2h)/g) =0.8s$ quindi la velocità minima si ottiene sostituendo il tempo in una delle due equazioni scritte per il punto a : $v_(0min) =d/(cos \theta t_M) =6.7m/s$
C) il modo della freccia sarà orizzontale: $y_F =l+v_0^{\prime} sen \theta^{\prime} t_F -1/2tg^2 =l$, $x_F =v_0^{\prime} cos \theta^{\prime} t_F =d$ da cui $v_0^{\prime} sen \theta^{\prime} t_F -1/2tg^2 =0$, $v_0^{\prime} cos \theta^{\prime} t_F =d$ e si ricava $t_F =d/v_0^{\prime} cos \theta^{\prime}$, $2v_0^{\prime}^2 sen \theta^{\prime} cos \theta^{\prime} =gd$ e poichè $2sen\alpha cos\alpha = sen2\alpha$ si ha $sen2 \theta^{\prime} =(gd)/v_0^{\prime}^2 =0.6$ quindi $\theta^{\prime} =18.5^\circ$ e $t_F^{\prime} = 0.6s$
una mela si stacca dal ramo di un albero da un'altezza $h=3m$ rispetto al suolo; un bambino distante $d=5m$ dalla linea di caduta della mela, lancia una freccetta, da una altezza $l=1m$, cercando di colpire la mela.
a) determinare quale deve essere la direzione di lancio se questo viene effettuato nello stesso istante del distacco della mela.
b) determinare la minima velocità di lancio necessaria per colpire la mela prima che essa tocchi terra.
c) con una velocità di lancio di $v_0^{\prime} =9m/s$ determinare quale deve essere la direzione e l'istante di lancio, rispetto al momento del distacco della mela, per colpirla ad una quota pari ad $l$.
ecco la mia risoluzione, ditemi se è corretta:
ponendoci in un sistema con il bambino nell'origine e la mela a distanza $d$:
A) la mela cade da una altezza $h$ senza velocità iniziale: $y_M =h-1/2tg^2$, $x_M = d$
la freccia ha un moto parabolico: $x_F = v_0 cos\theta t_F$, $y_F =l+v_0 sen\theta t_F -1/2tg^2$
la freccia incontra la mela quando $x_M =x_F$, $y_M =y_F$ quindi $d=v_0 cos\theta t_F =5m$, $v_0 sen\theta t_F =h-l=2m$. Per ottenere l'angolo di lancio dividiamo la seconda equazione per la prima:
$(v_0 sen\theta t_F)/(v_0 cos\theta t_F) = tg\theta =(h-l)/d =2/5$ da cui $\theta =22^\circ$
B) la mela tocca terra quando $y_M =0$ ovvero $t_M = sqrt((2h)/g) =0.8s$ quindi la velocità minima si ottiene sostituendo il tempo in una delle due equazioni scritte per il punto a : $v_(0min) =d/(cos \theta t_M) =6.7m/s$
C) il modo della freccia sarà orizzontale: $y_F =l+v_0^{\prime} sen \theta^{\prime} t_F -1/2tg^2 =l$, $x_F =v_0^{\prime} cos \theta^{\prime} t_F =d$ da cui $v_0^{\prime} sen \theta^{\prime} t_F -1/2tg^2 =0$, $v_0^{\prime} cos \theta^{\prime} t_F =d$ e si ricava $t_F =d/v_0^{\prime} cos \theta^{\prime}$, $2v_0^{\prime}^2 sen \theta^{\prime} cos \theta^{\prime} =gd$ e poichè $2sen\alpha cos\alpha = sen2\alpha$ si ha $sen2 \theta^{\prime} =(gd)/v_0^{\prime}^2 =0.6$ quindi $\theta^{\prime} =18.5^\circ$ e $t_F^{\prime} = 0.6s$
Risposte
"taly":
un aiuto per questo esercizio:
una mela si stacca dal ramo di un albero da un'altezza $h=3m$ rispetto al suolo; un bambino distante $d=5m$ dalla linea di caduta della mela, lancia una freccetta, da una altezza $l=1m$, cercando di colpire la mela.
a) determinare quale deve essere la direzione di lancio se questo viene effettuato nello stesso istante del distacco della mela.
Per il punto a)
Un mio caro amico mi disse:
Talvolta si trova questo esercizio in questo modo: il sasso è sostituito da un indigeno con un arco e una freccia, la bottiglia che cade è sostituita da una scimmia su un albero. La scimmia NON SA la fisica, e nel momento preciso in cui l'indigeno scocca la freccia NELLA SUA DIREZIONE ( perchè lui ha frequentato il forum....), si lascia andare giù a peso morto, convinta di scansare la freccia.
Il moto della mela che si stacca dal ramo è dettato dalle seguenti equazioni:
$ y(t) = y_0 +1/2g t^2 $
$ x(t) = x_0$
Ti faccio notare che hai sbagliato il segno dell'accelerazione in quanto la $ g $ ha la stessa direzione e verso della corpo che cade! Tu hai scritto l'opposto, insomma andrebbe bene il segno meno se il corpo venisse lanciato in aria, quindi devi scrivere così:
$ y(t) = y_0 +1/2g t^2 $
Il moto della freccetta sarà dettato dalle seguenti:
$ x(t) = v_(x0) * t $
$ y(t) = v_(y0) * t -1/2g t^2 $
Adesso mi ferma dallo spiegarti il prosequio, aspetto una tua risposta se stai comprendendo il concetto di queste due equazioni e poi step by step, ti aiuterò a risolverlo! Fammi sapere
Ti confermo che le velocità della freccia, considerando un sistema con origine degli assi coincidenti con il punto di partenza, saranno:
$ v_x = v_0 cosalpha_0 $
$ v_y = v_0 senalpha_0 -g t $
e quindi le coordinate iniziali della freccia sono:
$ x = (v_0 cosalpha_0)t $ _______(1)
$ y = (v_0 senalpha_0)t - 1/2 g t^2 $_________(2)
Adesso ricava il tempo dalla (1) e lo sostituisci nella (2), hai tutto ciò che ti serve e alla fine otterrai la $ tanalpha $ che sarà la direzione che ti interessa
Qualcuno mi corregga se sto sbagliando!
Adesso continua tu
"Bad90":
Ti faccio notare che hai sbagliato il segno dell'accelerazione
grazie mille, non ci avevo fatto caso
per quanto riguarda il moto della freccetta invece non sono convinta: la freccia viene lanciata da una altezza $l$ e con una certa inclinazione, non si dovrebbero scrivere le formule del moto parabolico e considerare una altezza iniziale $y_0 =l$ da aggiungere?
"taly":
[quote="Bad90"]Ti faccio notare che hai sbagliato il segno dell'accelerazione
grazie mille, non ci avevo fatto caso
per quanto riguarda il moto della freccetta invece non sono convinta: la freccia viene lanciata da una altezza $l$ e con una certa inclinazione, non si dovrebbero scrivere le formule del moto parabolico e considerare una altezza iniziale $y_0 =l$ da aggiungere?[/quote]
Pensa a due corpi che cadono e che vengono fatti cadere contemporaneamente, il primo corpo viene lasciato cadere in caduta libera lungo l'asse y, all' altro corpo si da una leggera spinta lungo l'asse delle x, ma inizialmente partono dallo stesso punto in altezza! Entrambi i corpi, avranno la stessa coordinata y in un tempo t! Quindi, qualsiasi sia la differenza di altezza tra i due corpi che si incontreranno, tu dovrai mirare e lanciare la freccia sul corpo che vuoi colpire! Continua a risolvere con le equazioni che ti ho dat e poi ti spiego meglio i concetti che non ti sono chiari!
ma questi non sono due corpi che vengono fatti cadere contemporaneamente, sono un corpo che cade e uno che viene sparato "in diagonale", quindi la sua traiettoria è una parabola, non posso usare le formule del moto verticale! Scusami ma il tuo ragionamento non mi pare giusto... inoltre nel frattempo ho anche ricontrollato l'impostazione dell'esercizio per via del segno dell'accelerazione e mi sa che non è come dici tu: l'asse è orientato verso l'alto e l'accelerazione è verso il basso, quindi è negativa, no?
"taly":
ma questi non sono due corpi che vengono fatti cadere contemporaneamente, sono un corpo che cade e uno che viene sparato "in diagonale", quindi la sua traiettoria è una parabola, non posso usare le formule del moto verticale! Scusami ma il tuo ragionamento non mi pare giusto... inoltre nel frattempo ho anche ricontrollato l'impostazione dell'esercizio per via del segno dell'accelerazione e mi sa che non è come dici tu: l'asse è orientato verso l'alto e l'accelerazione è verso il basso, quindi è negativa, no?
Vedi questo esercizio:
Questa è la soluzione:
Adesso meitaci un pò su e poi vediamo di capire meglio il concetto che non ti è chiaro!
lo so che l'immagine è questa, e proprio per questo insisto sul fatto che il moto della freccia è parabolico quindi sbagli quando scrivi
dal momento che le equazioni del moto parabolico sono
$x(t)=v_0cos\thetat$
$y(t)=v_0sen\thetat-1/2tg^2$
dove sono spariti sen e cos nelle tue formule?
"Bad90":
Il moto della freccetta sarà dettato dalle seguenti:
$x(t)=v_(x0)⋅t$
$y(t)=v_(y0)⋅t−1/2tg^2$
dal momento che le equazioni del moto parabolico sono
$x(t)=v_0cos\thetat$
$y(t)=v_0sen\thetat-1/2tg^2$
dove sono spariti sen e cos nelle tue formule?
Certo, hai compreso il concetto, ma io ho semplicemente scritto le formule generali, che nel caso di un moto parabolico diventano come hai detto tu!
Quindi come continueresti con il ragionamento?
Quindi come continueresti con il ragionamento?
-.-"
quelle non sono formule generali, sono le formule di un'altra cosa che non c'entra niente con il mio esercizio. Se scrivi le formule del moto verticale come "generalizzazione" di un moto che nello specifico diventa parabolico vuol dire che non hai capito di cosa stai parlando (e scusami la franchezza), se poi me le spacci come equazioni della freccetta rimangiandoti tutto appena ti faccio notare l'errore scusa ma io mi fermo qua e aspetto che l'esercizio me lo corregga qualcuno più preparato.
quelle non sono formule generali, sono le formule di un'altra cosa che non c'entra niente con il mio esercizio. Se scrivi le formule del moto verticale come "generalizzazione" di un moto che nello specifico diventa parabolico vuol dire che non hai capito di cosa stai parlando (e scusami la franchezza), se poi me le spacci come equazioni della freccetta rimangiandoti tutto appena ti faccio notare l'errore scusa ma io mi fermo qua e aspetto che l'esercizio me lo corregga qualcuno più preparato.
Calma Calma...
@taly: devi sapere che Bad ha iniziato da poco a studiare questi argomenti, quindi è "normale" che possa fare un pò di confusione. Perdonalo, ok 
?
@Bad90: forse su questi argomenti devi fare ancora pratica; lasciamo quindi che sia qualcun altro a continuare questa discussione (anche perché mi sembra che hai già un bel po da fare ), ok?
taly, purtroppo questo è un periodo di poca frequentazione del forum (come potrai immaginare), ma attendi e vedrai che riceverai aiuto.
Ciao a tutti e due .
@taly: devi sapere che Bad ha iniziato da poco a studiare questi argomenti, quindi è "normale" che possa fare un pò di confusione. Perdonalo, ok
?@Bad90: forse su questi argomenti devi fare ancora pratica; lasciamo quindi che sia qualcun altro a continuare questa discussione (anche perché mi sembra che hai già un bel po da fare
), ok?taly, purtroppo questo è un periodo di poca frequentazione del forum (come potrai immaginare), ma attendi e vedrai che riceverai aiuto.
Ciao a tutti e due
.
scusatemi se sono stata un po' aggressiva, non era mia intenzione... non avevo capito di avere a che fare con uno studente come me e dopo un pomeriggio in cui mi ripeteva che non avevo capito i concetti e che vedevo e rivedevo l'esercizio per capire se potesse avere ragione (convincendomi sempre più che non era così) mi sono innervosita un po'...
I'm sorry
I'm sorry
Taly, qui è il navigatore che ti scrive. Ho invitato io il buon Bad a risponderti, sono io il suo "caro amico" che lo ha guidato a suo tempo a svolgere l'esercizio uguale al tuo. Siamo tra amici del forum, no? E allora seguiamo il consiglio di JoJo, non ci arrabbiamo, ma cerchiamo di capire la Fisica, giusto? Siamo qui per questo. Sai perché ho incoraggiato Bad a risponderti? Perché lui quest'esercizio lo aveva in un primo tempo sbagliato, poi lo ha corretto e imparato.
L'esempio della scimmia che si lascia cadere dall'albero nello stesso momento in cui l' indio scocca la freccia è perfettamente calzante. La freccia descrive la sua traiettoria parabolica, la scimmia descrive la sua traiettoria rettilinea in caduta libera.
Le due traiettorie si incontrano in un punto, se l'indio scocca la freccia puntandola verso la scimmia.
LA figura che ha messo Bad è chiara al riguardo. Guardala con attenzione, è tutto lí.
La cosa divertente è che le due traiettorie si incontrano comunque, se è soddifatta la condizione che, dato l'angolo di lancio ( freccia puntata verso la scimmia) il valore della velocità iniziale sia sufficiente a coprire almeno la distanza in orizzontale tra la scimmia e l'indio. Quindi c'è naturalmente un valore minimo di velocità iniziale, al di sotto della quale la freccia non potrà colpire la scimmia perché arriva al suolo ad una distanza inferiore. MA con valori di velocità uguali o maggiori della minima, la freccia colpisce comunque la scimmia.
Purtroppo ho poco tempo anch'io, come dice JoJo, in questo periodo, ma se ragioni con calma sulle equazioni del moto della scimmia in caduta libera e della freccia in moto parabolico, vedrai che ci arrivi.
L'esempio della scimmia che si lascia cadere dall'albero nello stesso momento in cui l' indio scocca la freccia è perfettamente calzante. La freccia descrive la sua traiettoria parabolica, la scimmia descrive la sua traiettoria rettilinea in caduta libera.
Le due traiettorie si incontrano in un punto, se l'indio scocca la freccia puntandola verso la scimmia.
LA figura che ha messo Bad è chiara al riguardo. Guardala con attenzione, è tutto lí.
La cosa divertente è che le due traiettorie si incontrano comunque, se è soddifatta la condizione che, dato l'angolo di lancio ( freccia puntata verso la scimmia) il valore della velocità iniziale sia sufficiente a coprire almeno la distanza in orizzontale tra la scimmia e l'indio. Quindi c'è naturalmente un valore minimo di velocità iniziale, al di sotto della quale la freccia non potrà colpire la scimmia perché arriva al suolo ad una distanza inferiore. MA con valori di velocità uguali o maggiori della minima, la freccia colpisce comunque la scimmia.
Purtroppo ho poco tempo anch'io, come dice JoJo, in questo periodo, ma se ragioni con calma sulle equazioni del moto della scimmia in caduta libera e della freccia in moto parabolico, vedrai che ci arrivi.
"navigatore":
Purtroppo ho poco tempo anch'io, come dice JoJo, in questo periodo, ma se ragioni con calma sulle equazioni del moto della scimmia in caduta libera e della freccia in moto parabolico, vedrai che ci arrivi. LA figura che ha messo Bad è chiara al riguardo. Guardala con attenzione, è tutto lí.
Le parole saggie del mio amico non sbagliano mai
Taly, mi devi scusare se ti ho creato confusione, non era mio intento farti arrabbiare
! 
Taly, magari riprova a postare tutti i passaggi che hai fatto spiegando, così si capisce tutto e meglio
Cara Taly, con tutto questo gran discutere, alla fine nessuno ha risposto alla tua semplice domanda: ho fatto bene l'esercizio?
Il tuo esercizio è perfetto, sia come risultati che come metodo risolutivo (a parte qualche errore di digitazione delle formule, ma è evidente che sono, appunto, solo errori di digitazione). Vorrei solo fare due osservazioni:
Premesso che le formule di Bad90 erano sbagliate per il tuo esercizio, tuttavia l'errore non stava nel fatto che "ha fatto sparire" seno e coseno. Lui ha semplicemente scritto le due componenti x ed y della velocità chiamandole appunto \(\displaystyle v_{xo} \) e \(\displaystyle v_{y0} \) mentre tu hai usato come parametri il modulo \(\displaystyle v_0 \) e l'angolo \(\displaystyle \theta \), ma in realtà i due modi di scrivere sono equivalenti poiché, come sai, si ha
\(\displaystyle v_{x0}=v_0\cos \theta \)
\(\displaystyle v_{y0}=v_0\sin \theta \)
L'errore di Bad90 era nel fatto che aveva sbagliato il segno dell'accelerazione e che non aveva tenuto conto della quota iniziale \(\displaystyle l \) della freccia.
Altra osservazione, riguardo alla direzione di lancio della freccia. Non so se lo avevi già notato (ma te lo dico lo stesso
visto che i discorsi dei post precedenti hanno un po' divagato) ma dalla tua soluzione \(\displaystyle \tan \theta = \frac{h-l}{d} \) si deduce proprio quello che dicono bad e navigatore, e cioè che la direzione è quella che punta verso la mela (considera il triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il segmento congiungente il lanciatore con la mela ed applica un po' di trigonometria).
Comunque, ripeto, il tuo esercizio è fatto bene.
Il tuo esercizio è perfetto, sia come risultati che come metodo risolutivo (a parte qualche errore di digitazione delle formule, ma è evidente che sono, appunto, solo errori di digitazione). Vorrei solo fare due osservazioni:
"taly":
lo so che l'immagine è questa, e proprio per questo insisto sul fatto che il moto della freccia è parabolico quindi sbagli quando scrivi
Bad90 ha scritto:Il moto della freccetta sarà dettato dalle seguenti:
\(\displaystyle x(t)=v_{x0}t \)
\(\displaystyle y(t)=v_{y0}t−\frac{1}{2}gt^2 \)
dal momento che le equazioni del moto parabolico sono
\(\displaystyle x(t)=v_{0}\cos \theta t \)
\(\displaystyle y(t)=v_{0}\sin \theta t−\frac{1}{2}gt^2 \)
dove sono spariti sen e cos nelle tue formule?
Premesso che le formule di Bad90 erano sbagliate per il tuo esercizio, tuttavia l'errore non stava nel fatto che "ha fatto sparire" seno e coseno. Lui ha semplicemente scritto le due componenti x ed y della velocità chiamandole appunto \(\displaystyle v_{xo} \) e \(\displaystyle v_{y0} \) mentre tu hai usato come parametri il modulo \(\displaystyle v_0 \) e l'angolo \(\displaystyle \theta \), ma in realtà i due modi di scrivere sono equivalenti poiché, come sai, si ha
\(\displaystyle v_{x0}=v_0\cos \theta \)
\(\displaystyle v_{y0}=v_0\sin \theta \)
L'errore di Bad90 era nel fatto che aveva sbagliato il segno dell'accelerazione e che non aveva tenuto conto della quota iniziale \(\displaystyle l \) della freccia.
Altra osservazione, riguardo alla direzione di lancio della freccia. Non so se lo avevi già notato (ma te lo dico lo stesso
visto che i discorsi dei post precedenti hanno un po' divagato) ma dalla tua soluzione \(\displaystyle \tan \theta = \frac{h-l}{d} \) si deduce proprio quello che dicono bad e navigatore, e cioè che la direzione è quella che punta verso la mela (considera il triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il segmento congiungente il lanciatore con la mela ed applica un po' di trigonometria).Comunque, ripeto, il tuo esercizio è fatto bene.
Ehi mathbells , ti ringrazio per avergli chiarito le idee 
Sinceramente il mio testo spiega proprio in quel modo che hai compreso anche tu, cominciando dalle velocità ...., poi utilizzando i seni e coseni......, ma non mi sono preso la briga di spiegare a Taly il concetto perchè è bastato esprimermi un po diversamente da quello che avrebbe voluto ascoltare lei per farla arrabbiare
!
Io e il mio Carissimo amico navigatore, abbiamo discusso tantissimo di questo esercizio e penso solo che sia stata una confusione creata dal modo di ragionare ma sostanzialmente si arriva allo stesso risultato! Ho constatato personalmente che con i consigli dati dal mio Carissimo amico navigatore, che mi ha tramandato la passione per La musica classica, e i risultati che il mo testo mette in fondo a tutte le pagine, che ciò che ho calcolato io è corretto
Adesso a te Taly, vorrei chiederti......
Ma ti piace la musica classica
Matbhells, non mi resta che ringraziarti per il contributo dato a fare chiarezza!
Sinceramente il mio testo spiega proprio in quel modo che hai compreso anche tu, cominciando dalle velocità ...., poi utilizzando i seni e coseni......, ma non mi sono preso la briga di spiegare a Taly il concetto perchè è bastato esprimermi un po diversamente da quello che avrebbe voluto ascoltare lei per farla arrabbiare
! Io e il mio Carissimo amico navigatore, abbiamo discusso tantissimo di questo esercizio e penso solo che sia stata una confusione creata dal modo di ragionare ma sostanzialmente si arriva allo stesso risultato! Ho constatato personalmente che con i consigli dati dal mio Carissimo amico navigatore, che mi ha tramandato la passione per La musica classica, e i risultati che il mo testo mette in fondo a tutte le pagine, che ciò che ho calcolato io è corretto
Adesso a te Taly, vorrei chiederti......
Ma ti piace la musica classica
Matbhells, non mi resta che ringraziarti per il contributo dato a fare chiarezza!
"taly":
ponendoci in un sistema con il bambino nell'origine e la mela a distanza $d$:
A) la mela cade da una altezza $h$ senza velocità iniziale: $y_M =h-1/2tg^2$, $x_M = d$
la freccia ha un moto parabolico: $x_F = v_0 cos\theta t_F$, $y_F =l+v_0 sen\theta t_F -1/2tg^2$
la freccia incontra la mela quando $x_M =x_F$, $y_M =y_F$ quindi $d=v_0 cos\theta t_F =5m$, $v_0 sen\theta t_F =h-l=2m$. Per ottenere l'angolo di lancio dividiamo la seconda equazione per la prima:
$(v_0 sen\theta t_F)/(v_0 cos\theta t_F) = tg\theta =(h-l)/d =2/5$ da cui $\theta =22^\circ$
Se \( t_F = t_M = t \), allora son d'accordo.
"taly":
B) la mela tocca terra quando $y_M =0$ ovvero $t_M = sqrt((2h)/g) =0.8s$ quindi la velocità minima si ottiene sostituendo il tempo in una delle due equazioni scritte per il punto a : $v_(0min) =d/(cos \theta t_M) =6.7m/s$
Giusto.
"taly":
C) il modo della freccia sarà orizzontale: $y_F =l+v_0^{\prime} sen \theta^{\prime} t_F -1/2tg^2 =l$, $x_F =v_0^{\prime} cos \theta^{\prime} t_F =d$ da cui $v_0^{\prime} sen \theta^{\prime} t_F -1/2tg^2 =0$, $v_0^{\prime} cos \theta^{\prime} t_F =d$ e si ricava $t_F =d/v_0^{\prime} cos \theta^{\prime}$, $2v_0^{\prime}^2 sen \theta^{\prime} cos \theta^{\prime} =gd$ e poichè $2sen\alpha cos\alpha = sen2\alpha$ si ha $sen2 \theta^{\prime} =(gd)/v_0^{\prime}^2 =0.6$ quindi $\theta^{\prime} =18.5^\circ$ e $t_F^{\prime} = 0.6s$
Le relazioni corrette sono \( t = \frac{d}{v_0'\, \cos \theta'} \) e \( \sin 2 \theta' = \frac{gd}{v_0'^2} \), comunque i risultati son corretti.
Propongo di seguito una soluzione alternativa del punto (A).
(A) Sia \( t_0 = 0 \) l'istante di lancio della freccia (uguale a quello di distacco della mela); il vettore posizione della punta della freccia è allora descritto dall'equazione
\[ \mathbf{r}_F = \mathbf{r}_{0F} + \mathbf{v}_{0F}\, t + \frac{1}{2} \mathbf{g}\, t^2 \]
mentre il vettore posizione della mela è invece dato da
\[ \mathbf{r}_M = \mathbf{r}_{0M} + \frac{1}{2} \mathbf{g}\, t^2 \]
Il punto di incontro della freccia con la mela è allora individuato dalla condizione \( \mathbf{r}_F = \mathbf{r}_M \), cioè
\[ \mathbf{r}_{0M} - \mathbf{r}_{0F} = \mathbf{v}_{0F}\, t \]
Ecco dunque la risposta alla domanda: affinché ci sia collisione, il vettore velocità di lancio deve avere la stessa direzione della differenza tra il vettore posizione iniziale della mela e il vettore posizione di lancio.
Osservazioni
(1) I risultati ottenuti non dipendono in alcun modo dal riferimento scelto.
(2) Nella realtà la possibilità di collisione è dovuta anche all'intensità del vettore velocità di lancio: ciò è dovuto alla limitatezza dell'altezza di caduta della mela.
Taly, spero che adesso sia chiaro il concetto! Come vedi Riccardo e' stato abbastanza chiaro!
Grazie Riccardo
Grazie Riccardo
"Riccardo Desimini":
Osservazioni
(1) I risultati ottenuti non dipendono in alcun modo dal riferimento scelto.
(2) Nella realtà la possibilità di collisione è dovuta anche all'intensità del vettore velocità di lancio: ciò è dovuto alla limitatezza dell'altezza di caduta della mela.
La prima osservazione è giusta poiché i prodotti scalari ,le differenze, le somme..tra vettori son indipendenti dal sistema di riferimento giusto? (Una volta vorrei farlo con coordinate polari..sono pazzo lo so xD)
per la 2 possiamo mettere il bonus:
"Ariz93":
La prima osservazione è giusta poiché i prodotti scalari ,le differenze, le somme..tra vettori son indipendenti dal sistema di riferimento giusto? (Una volta vorrei farlo con coordinate polari..sono pazzo lo so xD)
Sì.
"Ariz93":
per la 2 possiamo mettere il bonus: v min affinché la Freccia colpisca la mela prima che cada?
Consideriamo la relazione
\[ \mathbf{v}_{0F}\, t = \mathbf{r}_{0M} - \mathbf{r}_{0F} \]
Se \( t \) è il tempo impiegato dalla mela per toccare terra, direi che siamo a posto.
"Bad90":
è bastato esprimermi un po diversamente da quello che avrebbe voluto ascoltare lei per farla arrabbiare
non voglio essere polemica, ma ci tengo a sottolineare che quello che mi ha fatto innervosire non è che non dicevi quello che volevo io (non sono così presuntuosa da voler decidere le parole altrui) ma il fatto che ad ogni mia domanda rispondevi che non avevo chiari i concetti e poi, senza che io abbia cambiato minimamente la mia posizione, di colpo mi hai detto che avevo capito tutto. Questo senza contare che, quando ti ho fatto notare che per l'accelerazione avevi sbagliato tu, non hai detto niente in proposito, dando l'impressione di glissare per non ammettere di essere in torto... al posto mio non ti saresti sentito un po' preso in giro?
Comunque ormai spero sia tutto risolto, ho capito che non avevi "cattive intenzioni" e mi scuso di nuovo per la mia reazione, ringrazio tutti quelli che hanno scritto qui, e soprattutto mathbells che ha messo la parola definitiva
"mathbells":
Premesso che le formule di Bad90 erano sbagliate per il tuo esercizio, tuttavia l'errore non stava nel fatto che "ha fatto sparire" seno e coseno. Lui ha semplicemente scritto le due componenti x ed y della velocità chiamandole appunto vxo e vy0
non avevo notato i pedici x e y... leggevo semplicemente $v_0$ quindi pensavo che sen e cos non ci fossero, scusa Bad90 (e però questo non me lo hai fatto notare...
)"mathbells":
Non so se lo avevi già notato (ma te lo dico lo stesso
si, questo mi era chiaro, erano i passaggi successivi quelli in cui non ero sicura, la possibilità di ricavare l'angolo dividendo una equazione per l'altra, il modo di ricavare la velocità minima... questi passaggi a cui ero arrivata solo per logica e non per avere visto esercizi del genere prima.
Riccardo grazie mille per la soluzione alternativa al punto a
"Bad90":
Adesso a te Taly, vorrei chiederti......
Ma ti piace la musica classica
si, grazie mille per il concerto
Ok! L'importante e' comprendere i concetti!
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