Esercizio di meccanica
un aiuto per questo esercizio:
una mela si stacca dal ramo di un albero da un'altezza $h=3m$ rispetto al suolo; un bambino distante $d=5m$ dalla linea di caduta della mela, lancia una freccetta, da una altezza $l=1m$, cercando di colpire la mela.
a) determinare quale deve essere la direzione di lancio se questo viene effettuato nello stesso istante del distacco della mela.
b) determinare la minima velocità di lancio necessaria per colpire la mela prima che essa tocchi terra.
c) con una velocità di lancio di $v_0^{\prime} =9m/s$ determinare quale deve essere la direzione e l'istante di lancio, rispetto al momento del distacco della mela, per colpirla ad una quota pari ad $l$.
ecco la mia risoluzione, ditemi se è corretta:
ponendoci in un sistema con il bambino nell'origine e la mela a distanza $d$:
A) la mela cade da una altezza $h$ senza velocità iniziale: $y_M =h-1/2tg^2$, $x_M = d$
la freccia ha un moto parabolico: $x_F = v_0 cos\theta t_F$, $y_F =l+v_0 sen\theta t_F -1/2tg^2$
la freccia incontra la mela quando $x_M =x_F$, $y_M =y_F$ quindi $d=v_0 cos\theta t_F =5m$, $v_0 sen\theta t_F =h-l=2m$. Per ottenere l'angolo di lancio dividiamo la seconda equazione per la prima:
$(v_0 sen\theta t_F)/(v_0 cos\theta t_F) = tg\theta =(h-l)/d =2/5$ da cui $\theta =22^\circ$
B) la mela tocca terra quando $y_M =0$ ovvero $t_M = sqrt((2h)/g) =0.8s$ quindi la velocità minima si ottiene sostituendo il tempo in una delle due equazioni scritte per il punto a : $v_(0min) =d/(cos \theta t_M) =6.7m/s$
C) il modo della freccia sarà orizzontale: $y_F =l+v_0^{\prime} sen \theta^{\prime} t_F -1/2tg^2 =l$, $x_F =v_0^{\prime} cos \theta^{\prime} t_F =d$ da cui $v_0^{\prime} sen \theta^{\prime} t_F -1/2tg^2 =0$, $v_0^{\prime} cos \theta^{\prime} t_F =d$ e si ricava $t_F =d/v_0^{\prime} cos \theta^{\prime}$, $2v_0^{\prime}^2 sen \theta^{\prime} cos \theta^{\prime} =gd$ e poichè $2sen\alpha cos\alpha = sen2\alpha$ si ha $sen2 \theta^{\prime} =(gd)/v_0^{\prime}^2 =0.6$ quindi $\theta^{\prime} =18.5^\circ$ e $t_F^{\prime} = 0.6s$
una mela si stacca dal ramo di un albero da un'altezza $h=3m$ rispetto al suolo; un bambino distante $d=5m$ dalla linea di caduta della mela, lancia una freccetta, da una altezza $l=1m$, cercando di colpire la mela.
a) determinare quale deve essere la direzione di lancio se questo viene effettuato nello stesso istante del distacco della mela.
b) determinare la minima velocità di lancio necessaria per colpire la mela prima che essa tocchi terra.
c) con una velocità di lancio di $v_0^{\prime} =9m/s$ determinare quale deve essere la direzione e l'istante di lancio, rispetto al momento del distacco della mela, per colpirla ad una quota pari ad $l$.
ecco la mia risoluzione, ditemi se è corretta:
ponendoci in un sistema con il bambino nell'origine e la mela a distanza $d$:
A) la mela cade da una altezza $h$ senza velocità iniziale: $y_M =h-1/2tg^2$, $x_M = d$
la freccia ha un moto parabolico: $x_F = v_0 cos\theta t_F$, $y_F =l+v_0 sen\theta t_F -1/2tg^2$
la freccia incontra la mela quando $x_M =x_F$, $y_M =y_F$ quindi $d=v_0 cos\theta t_F =5m$, $v_0 sen\theta t_F =h-l=2m$. Per ottenere l'angolo di lancio dividiamo la seconda equazione per la prima:
$(v_0 sen\theta t_F)/(v_0 cos\theta t_F) = tg\theta =(h-l)/d =2/5$ da cui $\theta =22^\circ$
B) la mela tocca terra quando $y_M =0$ ovvero $t_M = sqrt((2h)/g) =0.8s$ quindi la velocità minima si ottiene sostituendo il tempo in una delle due equazioni scritte per il punto a : $v_(0min) =d/(cos \theta t_M) =6.7m/s$
C) il modo della freccia sarà orizzontale: $y_F =l+v_0^{\prime} sen \theta^{\prime} t_F -1/2tg^2 =l$, $x_F =v_0^{\prime} cos \theta^{\prime} t_F =d$ da cui $v_0^{\prime} sen \theta^{\prime} t_F -1/2tg^2 =0$, $v_0^{\prime} cos \theta^{\prime} t_F =d$ e si ricava $t_F =d/v_0^{\prime} cos \theta^{\prime}$, $2v_0^{\prime}^2 sen \theta^{\prime} cos \theta^{\prime} =gd$ e poichè $2sen\alpha cos\alpha = sen2\alpha$ si ha $sen2 \theta^{\prime} =(gd)/v_0^{\prime}^2 =0.6$ quindi $\theta^{\prime} =18.5^\circ$ e $t_F^{\prime} = 0.6s$
Risposte
"Riccardo Desimini":
[quote="Ariz93"]La prima osservazione è giusta poiché i prodotti scalari ,le differenze, le somme..tra vettori son indipendenti dal sistema di riferimento giusto? (Una volta vorrei farlo con coordinate polari..sono pazzo lo so xD)
Sì.
"Ariz93":
per la 2 possiamo mettere il bonus: v min affinché la Freccia colpisca la mela prima che cada?
Consideriamo la relazione
\[ \mathbf{v}_{0F}\, t = \mathbf{r}_{0M} - \mathbf{r}_{0F} \]
Se \( t \) è il tempo impiegato dalla mela per toccare terra, direi che siamo a posto.[/quote]
Riccardo non avevo visto ben l'ultima formula..mi hai fregato!.ed ora parabola e retta in coordinate polari! xD (no ci provate è contronatura no rispetare le simetrie di traslazione in questo problema esce fuori una marmaglia di theta seni..etc
Taly, scusami se non ti ho aiutato molto e forse ti ho creato qualche problema...sono fuori casa e sto rubando un pc a un ragazzo, il tuo problema si risolve in tre o quattro passaggi di una semplicità unica, ma ora proprio non posso...Sara per un'altra volta.Ciao
tranquillo navigatore, pare che lo abbia svolto nel modo giusto, comunque se c'è un altro modo più semplice appena hai tempo postalo, mi servirà comunque 
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