Esercizio di fisica sul giro della morte
Buongiorno a tutti.
Sono alle prese con un esercizio di fisica che esamina un ciclista compiere un giro della morte. Vi presento il testo e la soluzione, perla quale nutro diversi dubbi che vi scriverò alla fine (chiedo scusa se alcune formule non sono scritte bene, ma non le ho chiare e ho evitato pasticci perché non capisco come siano scritte).
*Testo*
Un ciclista un po' spericolato decide di percorrere una pista che presenta il giro della morte, per poi
terminare con un salto in una piscina piena d’acqua, che si trova ad un livello inferiore rispetto alla
pista, di una altezza H=5 m.
Si supponga che non ci sia alcun attrito lungo tutta la pista.
a) Si calcoli la velocita’ con cui deve partire, assumendo un massa totale (ciclista+bici) m=70 kg
affinche’ faccia tutto il giro . Il raggio del giro della morte e’ R=3 m.
Si supponga ora che il ciclista parta con velocita’ doppia rispetto al valore minimo sopra ricavato, il
ciclista fa tutto il giro e va ad urtare uno spettatore di massa m2=70 kg ferma alla fine della pista,
sul bordo del salto in piscina: i due restano incastrati (compresa la bici) e cadono nell’acqua
b) Calcolare la variazione di energia durante l’urto
c) Calcolare a che distanza d dall’ inizio del salto cadono i due uomini incastrati.
*Soluzione*
a) siccome non c’e’ attrito v=vA
Applicando la conservazione della Emec tra i punti A e B, e usando la prima legge della dinamica
per il punto B trovo il sistema di due equazioni:
½ m vA^2 = mg 2R + 1/m vB^2
m vB^2 /R = mg+N
dove N=reazione della guida nel punto B e deve essere N>= 0
ricavo dal sistema: N= mv_B^2-mg= mv_A^2-mg -2mg 2R/R =mv_A^2/R-5mg
$ N>=0 => v_A>= radq(5gR) $. Quindi
$ v_min= radq(5gR ) = 12.12 m/s $
b) ho un urto totalmente anelastico dove la velocita’ di m prima dell’urto e’ v_i= 2v_A e la
velocita’ dopo l’urto sara’
$ v_f= m 2 (vA)/ (2m)= vA =12.12 m/s $ la variazione di energia (solo cinetica perche’ la Epot non
cambia) e’ quindi
$ Delta $ Ecin $ = ½ (2m )v_f^2 – ½ m v_i^2 = -1/4 m v_i^2 = -m v_A^2 = - 1.03 10^4 J $
c) moto parabolico con velocita’ iniziale v_f solo componente orizzontale :
la traiettoria e’ la parabola $ y= H- ½ g x^2/v_f^2 $, la gittata corrisponde a y=0
=> $ x= + v_f radq(2H/g)=12 m $
Il primo dubbio verte sulle due equazioni iniziali: non mi è chiaro come sono scritte e non capisco come si possano ricavare tutte quelle formule dal teorema di conservazione dell'Emec e dalla prima legge della dinamica. A tal proposito chiedo se c'è una scrittura più "generale"?
Il secondo dubbio riguarda il passaggio in cui si ricava N. Non capisco perché il /R non venga riportato. E' oggetto di semplificazione?
Il terzo e ultimo dubbio verte proprio sul risultato del quesito a).. riuscireste a farmi tutti i passaggi?
So di aver chiesto molto (forse troppo), ma non riesco a venirne fuori e vi domanda aiuto con estrema cortesia. I grazie non saranno mai abbastanza, perciò già un grazie in anticipo!
Sono alle prese con un esercizio di fisica che esamina un ciclista compiere un giro della morte. Vi presento il testo e la soluzione, perla quale nutro diversi dubbi che vi scriverò alla fine (chiedo scusa se alcune formule non sono scritte bene, ma non le ho chiare e ho evitato pasticci perché non capisco come siano scritte).
*Testo*
Un ciclista un po' spericolato decide di percorrere una pista che presenta il giro della morte, per poi
terminare con un salto in una piscina piena d’acqua, che si trova ad un livello inferiore rispetto alla
pista, di una altezza H=5 m.
Si supponga che non ci sia alcun attrito lungo tutta la pista.
a) Si calcoli la velocita’ con cui deve partire, assumendo un massa totale (ciclista+bici) m=70 kg
affinche’ faccia tutto il giro . Il raggio del giro della morte e’ R=3 m.
Si supponga ora che il ciclista parta con velocita’ doppia rispetto al valore minimo sopra ricavato, il
ciclista fa tutto il giro e va ad urtare uno spettatore di massa m2=70 kg ferma alla fine della pista,
sul bordo del salto in piscina: i due restano incastrati (compresa la bici) e cadono nell’acqua
b) Calcolare la variazione di energia durante l’urto
c) Calcolare a che distanza d dall’ inizio del salto cadono i due uomini incastrati.
*Soluzione*
a) siccome non c’e’ attrito v=vA
Applicando la conservazione della Emec tra i punti A e B, e usando la prima legge della dinamica
per il punto B trovo il sistema di due equazioni:
½ m vA^2 = mg 2R + 1/m vB^2
m vB^2 /R = mg+N
dove N=reazione della guida nel punto B e deve essere N>= 0
ricavo dal sistema: N= mv_B^2-mg= mv_A^2-mg -2mg 2R/R =mv_A^2/R-5mg
$ N>=0 => v_A>= radq(5gR) $. Quindi
$ v_min= radq(5gR ) = 12.12 m/s $
b) ho un urto totalmente anelastico dove la velocita’ di m prima dell’urto e’ v_i= 2v_A e la
velocita’ dopo l’urto sara’
$ v_f= m 2 (vA)/ (2m)= vA =12.12 m/s $ la variazione di energia (solo cinetica perche’ la Epot non
cambia) e’ quindi
$ Delta $ Ecin $ = ½ (2m )v_f^2 – ½ m v_i^2 = -1/4 m v_i^2 = -m v_A^2 = - 1.03 10^4 J $
c) moto parabolico con velocita’ iniziale v_f solo componente orizzontale :
la traiettoria e’ la parabola $ y= H- ½ g x^2/v_f^2 $, la gittata corrisponde a y=0
=> $ x= + v_f radq(2H/g)=12 m $
Il primo dubbio verte sulle due equazioni iniziali: non mi è chiaro come sono scritte e non capisco come si possano ricavare tutte quelle formule dal teorema di conservazione dell'Emec e dalla prima legge della dinamica. A tal proposito chiedo se c'è una scrittura più "generale"?
Il secondo dubbio riguarda il passaggio in cui si ricava N. Non capisco perché il /R non venga riportato. E' oggetto di semplificazione?
Il terzo e ultimo dubbio verte proprio sul risultato del quesito a).. riuscireste a farmi tutti i passaggi?
So di aver chiesto molto (forse troppo), ma non riesco a venirne fuori e vi domanda aiuto con estrema cortesia. I grazie non saranno mai abbastanza, perciò già un grazie in anticipo!
Risposte
Ciao. Suppongo che A sia il punto di partenza al suolo e B il punto critico del giro della morte. Sai che l'energia meccanica (somma di energia cinetica e di energia potenziale) si conserva, poiché non c'è attrito, dunque $E_A=E_B$.
Nel punto A il ciclista si trova al suolo (dunque niente energia potenziale gravitazionale) ma si sta accingendo a percorrere il loop con una certa velocità (e quindi ha energia cinetica pari a $1/2mv_A^2=E_A$).
Nel punto B, invece, il ciclista avrà una nuova velocità $v_B$ (ovviamente sarà minore di $v_A$ dato che la forza di gravità ha imposto una decelerazione) nonché energia potenziale gravitazionale $mgh$ dove ovviamente deve essere $h=2R$, con R raggio del cerchio a cui posso approssimare il giro della morte. Dunque $E_B=1/2mv_B^2+mg2R$.
La seconda equazione è semplicemente la legge della dinamica scritta per la componente radiale nel punto B, dove agiscono la normale al piano $N$, la forza di gravità (verticale) $mg$. Ricorda inoltre che la forza centripeta è data da $F_N=ma_N=mv_B^2/R$. La normale deve ovviamente essere maggiore o uguale a zero altrimenti il povero ciclista si spappola.
Nel punto A il ciclista si trova al suolo (dunque niente energia potenziale gravitazionale) ma si sta accingendo a percorrere il loop con una certa velocità (e quindi ha energia cinetica pari a $1/2mv_A^2=E_A$).
Nel punto B, invece, il ciclista avrà una nuova velocità $v_B$ (ovviamente sarà minore di $v_A$ dato che la forza di gravità ha imposto una decelerazione) nonché energia potenziale gravitazionale $mgh$ dove ovviamente deve essere $h=2R$, con R raggio del cerchio a cui posso approssimare il giro della morte. Dunque $E_B=1/2mv_B^2+mg2R$.
La seconda equazione è semplicemente la legge della dinamica scritta per la componente radiale nel punto B, dove agiscono la normale al piano $N$, la forza di gravità (verticale) $mg$. Ricorda inoltre che la forza centripeta è data da $F_N=ma_N=mv_B^2/R$. La normale deve ovviamente essere maggiore o uguale a zero altrimenti il povero ciclista si spappola.
Grazie mille per la risposta! Ora le formule hanno assunto un senso e anzi, a questo punto posso dire che c'è un errore nella scrittura della soluzione: nella prima equaz infatti non è 1/m vb^2 che non riuscivo a spiegarmi ma 1/2 m vb^2!
Rimangono comunque il secondo e il terzo dubbio..forse il terzo è risolto ora che la formula ha assunto la scrittura giusta, ma rimane il problema del /R nel momento in cui ricava N
Rimangono comunque il secondo e il terzo dubbio..forse il terzo è risolto ora che la formula ha assunto la scrittura giusta, ma rimane il problema del /R nel momento in cui ricava N
$N=mv_B^2/R-mg=mv_A^2/R-5mg$ sostituendo $mv_B^2=mv_A^2-4mgR$
Chiarissimo! Ultima domanda (promesso 
) per ricavare la distanza x del quesito c) sfrutta il moto parabolico scrivendo
$ t = v_f / x = v_a / x $ e lo va a sostituire alla seconda equazione $ y = h + v_f t - 1/2 g t^2 $ , dico bene?
) per ricavare la distanza x del quesito c) sfrutta il moto parabolico scrivendo$ t = v_f / x = v_a / x $ e lo va a sostituire alla seconda equazione $ y = h + v_f t - 1/2 g t^2 $ , dico bene?
$t=v/x$? 
Ho confuso, è $ t = x / v $ , chiedo perdono 
Ancora grazie mille!
Ancora grazie mille!
Prego 
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