Esercizio di fisica matematica per l'esame
Ciao ragazzi, sono nuovo del forum e vorrei chiedervi aiuto per la risoluzione di questo tipo di esercizi sulla geometria delle masse:
Considerare la seguente figura piana di R=8cm, la densità superficiale del quadrato è u=2g/cm^2, la densità lineare delle sbarre è v=4g/cm^2, la massa di ciascun punto è 1g.Determinare:
1)una/la terna centrale di inerzia
2)una terna principale d'inerzia con assi paralleli alla precedente
3)i momenti centrali e principali d’inerzia corrispondenti
Ringrazio chiunque mi voglia dare una mano
Considerare la seguente figura piana di R=8cm, la densità superficiale del quadrato è u=2g/cm^2, la densità lineare delle sbarre è v=4g/cm^2, la massa di ciascun punto è 1g.Determinare:
1)una/la terna centrale di inerzia
2)una terna principale d'inerzia con assi paralleli alla precedente
3)i momenti centrali e principali d’inerzia corrispondenti
Ringrazio chiunque mi voglia dare una mano
Risposte
un tentativo di soluzione tuo?
Ho calcolato il baricentro della figura calcolandomi prima quello della 'piastra' e delle due aste, poi ho applicato la classica formula del centro di massa prendendo come sistema du riferimento il classico asse cartesiano facendo coincidere l'origine con lo spigolo in basso a sinistra,ho usato la formula per le masse puntiformi usando i singoli baricentri(spero di essermi spiegato). In tale sistema di riferimento il baricentro mi viene in coordinate cartesiane(7,4;7,4).Ho preso il baricentro e ho posto un sistema di riferimento che da quello che ho capito dalla teoria dovrebbe essere quello centrale. Per quello di inerzia concretamente non saprei procedere, so dalla teoria che dovrei diagonalizzare la matrice di inerzia che non saprei scrivere, il fatto è che sono abituato a risolvere questi esercizi dalla scienza delle costruzioni dove erano esercizi sulle geometria delle aree che erano un pelo diversi:-/
Non erano un pelo diversi, erano completamente uguali...Possibile che studiate tutto per compartimenti stagni? Scienza delle costruzioni e meccanica razionale sono la stessa cosa, la teoria della geometria delle aree è la stessa, la cinematica dei corpi rigidi è la stessa, tutto è lo stesso...ti sei chiesto perché si chiama geometria delle aree in scienza delle costruzioni e geometria delle masse qui? qual è la differenza?
Infatti l'esame di fisica matematica è preopedeutico a scienza delle costruzioni solo che il prof ci ha fatto comunque svolgere le prove in itinere per l'esonero...devo dare questo esame per verbalizzarlo. Comunque il nesso fra gli esercizi lo vedo,ma non riesco a finalizzare. Se qualcuno mi può fare la cortesia di svolgerlo mi farebbe un gran piacere visto che gli esercizi del prof sono tutti così, cambiano solo le geometrie delle forme che da, quindi fatto uno sono fatti tutti
Devi scrivere la matrice d'inerzia. Conosci la matrice d'inerzia? Quali sono i suoi componenti? Applica queste conoscenze, sforzati un po, che fatto uno son fati tutti.
Lo so che la devo scrivere, nella geometria delle aree se per esempio avevo una figura unione di due rettangoli, per scrivere ad esempio il momento di inerzia rispetto ad x, sommavo il momento di inerzia del singolo rettangolo(bh^3/12) e il prodotto fra l'area del rettangolo e il quadrato della distanza sull'asse x fra il baricentro di quel rettangolo e quello della seziine totale, il momento di inerzia totale era la somma di questa operazione per ogni rettangolo in cui ho scomposto la sezione(spero di essermi spiegato).Una volta scritta la diagonalizzavo,gli autovalori erano i momenti principali, gli autovettori le direzioni principali invece. Poi coi raggi di inerzia disegnavo anche l'elisse ma non credo servi qua. Comunque ora che ci sono le masse sto andando un po' in confusione, senza contare che la traccia vuole che la terna principale abbia assi paralleli a quella centrale e non mi è mai venuta così. Mi sono impegnato ma non ci sono riuscito perciò ho chiesto aiuto su questo forum
Metti l'origine delle coordinate nel vertice in basso a sinistra, e gli assi (x,y) orientati al solito modo : x verso destra, y verso l'alto.
Non è un caso che le coordinate del baricentro siano uguali. La bisettrice del primo quadrante , di equazione :
$y=x$
è un asse di simmetria del sistema piano dato, ti sembra? Quindi $G$ deve giacere su questa retta. Ti ricordo ora un paio di cose, che dovresti sapere dalla teoria :
1) data una distribuzione piana di masse (o aree) , una qualunque retta perpendicolare al piano su cui giacciono le masse è un asse principale di inerzia, relativamente al punto di intersezione col piano .
2) dato un asse principale di inerzia relativo a un certo punto P , se questo asse passa per il centro di massa esso è asse principale di inerzia per tutti i suoi punti ( Anzi si dimostra che la condizione è necessaria e sufficiente : se una retta è asse principale per tutti suoi punti, essa deve contenere G ) .
Queste due nozioni, unitamente al fatto che l'asse di simmetria coincidente con la diagonale prima detta è asse principale di inerzia per G , quindi è asse centrale di inerzia , ti permettono di concludere che :
a) trovato G , l'asse di simmetria , la normale al piano in G , e la normale all'asse di simmetria , che è parallela alla diagonale , che chiamo secondaria, di equazione :
$y=-x$
costruiscono la terna centrale di inerzia richiesta. Ce n'è una sola .
Prendi ora un qualunque punto dell'asse di simmetria , e conduci per questo punto una parallela alla diagonale secondaria ora detta . La terna formata da queste due rette, più il terzo asse perpendicolare al piano nel punto preso, è una delle infinite terne principali che si possono costruire.
I momenti centrali e principali richiesti , li dovresti calcolare facilmente, anche se i calcoli sono un po' laboriosi.
non è mica vero .
Non è un caso che le coordinate del baricentro siano uguali. La bisettrice del primo quadrante , di equazione :
$y=x$
è un asse di simmetria del sistema piano dato, ti sembra? Quindi $G$ deve giacere su questa retta. Ti ricordo ora un paio di cose, che dovresti sapere dalla teoria :
1) data una distribuzione piana di masse (o aree) , una qualunque retta perpendicolare al piano su cui giacciono le masse è un asse principale di inerzia, relativamente al punto di intersezione col piano .
2) dato un asse principale di inerzia relativo a un certo punto P , se questo asse passa per il centro di massa esso è asse principale di inerzia per tutti i suoi punti ( Anzi si dimostra che la condizione è necessaria e sufficiente : se una retta è asse principale per tutti suoi punti, essa deve contenere G ) .
Queste due nozioni, unitamente al fatto che l'asse di simmetria coincidente con la diagonale prima detta è asse principale di inerzia per G , quindi è asse centrale di inerzia , ti permettono di concludere che :
a) trovato G , l'asse di simmetria , la normale al piano in G , e la normale all'asse di simmetria , che è parallela alla diagonale , che chiamo secondaria, di equazione :
$y=-x$
costruiscono la terna centrale di inerzia richiesta. Ce n'è una sola .
Prendi ora un qualunque punto dell'asse di simmetria , e conduci per questo punto una parallela alla diagonale secondaria ora detta . La terna formata da queste due rette, più il terzo asse perpendicolare al piano nel punto preso, è una delle infinite terne principali che si possono costruire.
I momenti centrali e principali richiesti , li dovresti calcolare facilmente, anche se i calcoli sono un po' laboriosi.
Scienza delle costruzioni e meccanica razionale sono la stessa cosa
non è mica vero .
Grazie per la risposta, mentre l'asse che ho centrato nel centro di massa trovata ho fatto bene a presupporlo centrale di inerzia giusto?
non è mica vero
Invece si, meccanica dei continui, meccanica dei solidi/scienza delle costruzioni, fluidodinamica sono tutte niente'altro che "meccanica razionale", le equazioni generali e il metodo è lo stesso in tutte, le equazioni di bilancio della fluidodinamica sono le stesse di quelle della meccancia dei solidi, i "momenti di inerzia" della scienza delle cotruzioni sono gli stessi di quelli dell'esame di "meccanica razionale", la teoria analitica dei vincoli fatta a "meccanica razionale" dice analiticamente quello che a scienza delle costruzioni si fa per via grafica, gli spostamenti rigidi delle travi della scienza delle costruzioni sono gli stessi dei corpi rigidi generici della meccanica razionale...poi, equazioni di eulero, naver-stokes, beltrami-donati-mitchell, le generiche equazioni di bilancio di forze e momenti sono la stessa cosa scritta in salse diverse...se uno lo capisse farebbe metà della fatica a ristudiarsi sempre la stessa roba.
"Benson":
Grazie per la risposta, mentre l'asse che ho centrato nel centro di massa trovata ho fatto bene a presupporlo centrale di inerzia giusto?
Quale asse ? Per un punto passa una stella di rette .
Vulpalsir , la "Meccanica" in una concezione molto vasta è unica.
Non sono mica tanto stupido da non sapere che i momenti di inerzia sono gli stessi, in MR e in SdC . Infatti io li ho studiati una sola volta.
Ma non venirmi a dire che la meccanica razionale, come la intendiamo noi , include la teoria dell'elasticità e della plasticità. Non venirmi a dire che in SdC tratti solo di spostamenti rigidi , perchè dovresti sapere che la teoria dell'elasticità prende in esame deformazioni elastiche, con metodi del tutto particolari. Non venirmi a dire che, data una struttura iperstatica, la risolvi con le sole equazioni di equilibrio della statica : ci voglio anche le equazioni di congruenza.
Eccetera eccetera, eccetera : non voglio entrare in polemica con te.
Certo , tutto è "meccanica" in senso ampio. Ma non siamo qui per discutere di questo, ora .
Io so che la terna principale è quella avente come origine il baricentro, per cui trovato quello ho tracciato i due assi cartesiani paralleli a quelli scelti come riferimento.Poi capisco il discorso che hai fatto dal punto di vista grafico, però analiticamente vorrei capire come fare perché l'avere delle masse di mezzo con aste e 'palle' è un po' straniante visto che a scienza con le aree era il semplice studio di profili a L o T
[ot]
Non dubito che tu lo sappia. ma per l'esempio l'OP non ha ancora capito che diavolo è un momento di inerzia e come si calcola, né quale sia la differenza tra momento d'inerzia di massa e momento di inerzia d'area/geometrico, in pratica vuole risolvere un esercizio senza sapere l'argomento di cui parla, e ovviamente la discussione può continuare all'infinito, a meno che qualcuno si metta a scrivere e risolvere esplicitamente gli integrali per calcolare quei momenti di inerzia in figura, ma la vedo dura...[/ot]
Non sono mica tanto stupido da non sapere che i momenti di inerzia sono gli stessi, in MR e in SdC . Infatti io li ho studiati una sola volta.
Non dubito che tu lo sappia. ma per l'esempio l'OP non ha ancora capito che diavolo è un momento di inerzia e come si calcola, né quale sia la differenza tra momento d'inerzia di massa e momento di inerzia d'area/geometrico, in pratica vuole risolvere un esercizio senza sapere l'argomento di cui parla, e ovviamente la discussione può continuare all'infinito, a meno che qualcuno si metta a scrivere e risolvere esplicitamente gli integrali per calcolare quei momenti di inerzia in figura, ma la vedo dura...[/ot]
@ Benson
se hai un corpo omogeneo, di densità costante , per esempio il quadrato della tua figura meno il quadratino, tratta la figura come una "area" , e solo dopo aver trovato il momento di inerzia di area lo moltiplichi per la densità e hai il momento di inerzia di massa . Analogamente per le aste; per le masse puntiformi , qual è il problema ? Stabilisci prima bene quali sono gli assi centrali di inerzia : in sostanza te l'ho già detto io . E poi procedi con i vari pezzi : quadrato , aste, masse puntiformi.
I due assi per G paralleli agli assi cartesiani del riferimento non sono centrali di inerzia . LE considerazioni sull'asse di simmetria ecc. ecc. valgono anche se ci sono delle masse di mezzo , a condizione che si tratti di corpi omogenei . E qui ci sono tutte le condizioni . I momenti di inerzia sono additivi .
@Vulplasir
[ot]Non mi metto a calcolare i momenti di inerzia . Dico a Benson come deve fare. Mi pare di averlo aiutato, in questo.[/ot]
se hai un corpo omogeneo, di densità costante , per esempio il quadrato della tua figura meno il quadratino, tratta la figura come una "area" , e solo dopo aver trovato il momento di inerzia di area lo moltiplichi per la densità e hai il momento di inerzia di massa . Analogamente per le aste; per le masse puntiformi , qual è il problema ? Stabilisci prima bene quali sono gli assi centrali di inerzia : in sostanza te l'ho già detto io . E poi procedi con i vari pezzi : quadrato , aste, masse puntiformi.
I due assi per G paralleli agli assi cartesiani del riferimento non sono centrali di inerzia . LE considerazioni sull'asse di simmetria ecc. ecc. valgono anche se ci sono delle masse di mezzo , a condizione che si tratti di corpi omogenei . E qui ci sono tutte le condizioni . I momenti di inerzia sono additivi .
@Vulplasir
[ot]Non mi metto a calcolare i momenti di inerzia . Dico a Benson come deve fare. Mi pare di averlo aiutato, in questo.[/ot]
Grazie, gentilissimo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo