Esercizio di fisica : Il ciclo di Carnot

[Polis2]

Buon giorno .
Mi aiutate cortesemente a risolvere questo esercizio .

Ad una certa quantità di acqua mo contenuta in un recipiente termicamente isolato dall’esterno, e
che inizialmente si trova ad una temperatura To=300°, viene fornita una quantità di calore pari ad
una caloria al secondo. Contemporaneamente,mediante una piccola pompa, viene prelevata dal
recipiente una quantità di acqua pari a P=2 g/s.
Si chiede quale frazione della quantità di acqua iniziale sarà rimasta nel recipiente quando la
temperatura dell’acqua uscita è pari a 2 To.

La quantita' di calore si calcola con la formula

$ Q = c · m · ΔT $

Da questa formula posso dire che :

$ 4.186 J = c · m · ΔT $

rivavarmi $ m = 4.186 J / c · ΔT $

Il calore specifico dell'acqua è :

$ c = 4186 J / (kg · K). $


Pero' a questo punto non sono sicuro di procedere nel modo corretto , c'e' forse ancora qualche nodo da sciogliere .

[gio73]

Direi proprio di sì, abbiamo a che fare con un sistema a massa variabile. La quantità di calore che all'inizio era necessaria per scaldare tutta l'acqua fino a 600 K è evidente maggiore di quella che poi effettivamente si fornirà giacchè la massa dell'acqua diminuisce di 2 grammi al secondo.

[Polis2]

Grazie per aver risposto .

Il valore della massa risulta nel primo caso

m=0.573 kg/K

Pero' poi la devo mettere in relazione alla massa m0 diminuita di 2 g/s ad una temperatura e' 2 To.

E' a questo punto che ho difficolta' a procedere .

[Quinzio]

Il Ciclo di Carnot cosa c'entra ?

Chiamiamo $F_Q$ la quantità di calore in Joules fornita alla massa (1 cal/s) e $F_m$ il flusso di massa che esce dal sistema (2 g/s) e $m_0$ la massa iniziale.

Quindi possiamo scrivere che

$dT=(F_Q)/(c*(m_0-F_m t))dt$

integriamo le due parti

$T = \int (F_Q)/(c*(m_0-F_m t))dt = -(F_Q)/(c F_m) log(m_0-F_m t)+c$

all'istante $t=0$ abbiamo $T_0=-(F_Q)/(c F_m) log(m_0)+c$

quindi

$c=T_0 +(F_Q)/(c F_m) log(m_0)$

Alla fine la temperatura in funzione del tempo diventa

$T=-(F_Q)/(c F_m) log(m_0-F_m t)+T_0 +(F_Q)/(c F_m) log(m_0)$

ovvero

$T=T_0+(F_Q)/(c F_m) log((m_0)/(m_0-F_m t))$

Se ci chiedono quale frazione della quantità di acqua iniziale sarà rimasta nel recipiente quando la
temperatura dell’acqua uscita è pari a 2 To, allora poniamo $T=2T_0$

La frazione di acqua che rimane è espressa da $f_m=(m_0-F_m t)/(m_0)$

$2T_0=T_0+(F_Q)/(c F_m) log(1/(f_m))$

quindi

$log(1/(f_m))= (T_0\ c\ F_m)/(F_Q)$

che si riscrive come

$f_m = exp(-(T_0\ c\ F_m)/(F_Q))$