Esercizio di fisica I con molla e disco su piano inclinato
Mi sono un po' incasinato con questo esercizio:
Ho pensato di scrivere due equazioni:
1) $I(d^2theta)/(dt^2)=-R\mumgcosalpha$ poiché mi pare l'unico momento sia della forza di attrito avendo forza elastica e di gravita scomposta lungo x braccio nullo.
2) $m(d^2x)/(dt^2)=mgsinalpha-\mumgcosalpha-k(x-l)$ che ha per soluzione quella di un oscillatore armonico più una costante
Quindi a seguito dell'integrazione e usando nella prima $v=omegar$
1) $x(t)=-1/2R\mumgcosalphat^2$
2) $x(t)=x_0sin(\sqrt((2k)/(3m))t)+g(sinalpha-mucosalpha)+(kl)/m$ ho usato x0*sin come soluzione (e non cos) poiché in t=0 deve essere sicuramente nullal'escursione.
Però non mi ritrovo molto perché mi pare di avere troppe incognite: $mu,x_0$ e $x(t)$-->che uso per risolvere il sistema per sostituzione, non capisco bene come risolverlo non avendo altre idee
Ho pensato di scrivere due equazioni:
1) $I(d^2theta)/(dt^2)=-R\mumgcosalpha$ poiché mi pare l'unico momento sia della forza di attrito avendo forza elastica e di gravita scomposta lungo x braccio nullo.
2) $m(d^2x)/(dt^2)=mgsinalpha-\mumgcosalpha-k(x-l)$ che ha per soluzione quella di un oscillatore armonico più una costante
Quindi a seguito dell'integrazione e usando nella prima $v=omegar$
1) $x(t)=-1/2R\mumgcosalphat^2$
2) $x(t)=x_0sin(\sqrt((2k)/(3m))t)+g(sinalpha-mucosalpha)+(kl)/m$ ho usato x0*sin come soluzione (e non cos) poiché in t=0 deve essere sicuramente nullal'escursione.
Però non mi ritrovo molto perché mi pare di avere troppe incognite: $mu,x_0$ e $x(t)$-->che uso per risolvere il sistema per sostituzione, non capisco bene come risolverlo non avendo altre idee
Risposte
"massimino's":
Ho pensato di scrivere due equazioni ...
Al netto della condizione cinematica:
$ddotx=Rddot\theta$
ne basta una, la seconda equazione cardinale della dinamica, avendo cura di prendere come polo il punto di contatto:
$3/2mR^2ddot\theta=mgRsin\alpha-kR(x-l_0)$
Non ci avevo proprio pensato!
Avrei due domande da porti:
1)Ma secondo te è possibile portarla a termine con le mie due equazioni? Forse mi sfugge qualche altra condizione che mi aiuterebbe a concludere l'esercizio oppure non è proprio possibile con la mia idea?
2) Credo di sbagliare qualcosa nella soluzione dell'eq. differenziale da te suggerita, ma non dovrebbe essere la soluzione del moto armonico più la costante, ossia:
quella momogenea: $ddotx=-(2k)/(3m)x$
In definitiva: $x(t)=x_0sin(sqrt((2k)/(3m))t)+mgsinalpha+kl_0$
PS: tra l'altro mi accorgo che non hai messo il $mu$ coeff. di attrito statico, perché? Non mi è molto chiaro.
Come vedi molti dubbi lol.
Avrei due domande da porti:
1)Ma secondo te è possibile portarla a termine con le mie due equazioni? Forse mi sfugge qualche altra condizione che mi aiuterebbe a concludere l'esercizio oppure non è proprio possibile con la mia idea?
2) Credo di sbagliare qualcosa nella soluzione dell'eq. differenziale da te suggerita, ma non dovrebbe essere la soluzione del moto armonico più la costante, ossia:
quella momogenea: $ddotx=-(2k)/(3m)x$
In definitiva: $x(t)=x_0sin(sqrt((2k)/(3m))t)+mgsinalpha+kl_0$
PS: tra l'altro mi accorgo che non hai messo il $mu$ coeff. di attrito statico, perché? Non mi è molto chiaro.
Come vedi molti dubbi lol.
"massimino's":
... è possibile portarla a termine ...
Basta procedere utilizzando le tre equazioni sottostanti:
Prima equazione cardinale della dinamica
$mddotx=mgsin\alpha-k(x-l_0)+-\mu_smgcos\alpha$
Seconda equazione cardinale della dinamica (il polo coincide con il centro del disco)
$1/2mR^2ddot\theta=+-\mu_smgRcos\alpha$
Condizione cinematica
$ddotx=Rddot\theta$
"massimino's":
... mi accorgo che non hai messo ...
La forza di attrito non compare perché, scegliendo come polo il punto di contatto, il suo momento è nullo.
"massimino's":
Credo di sbagliare qualcosa nella soluzione ...
Prima dovresti ricavare l'equazione differenziale soddisfatta dall'ascissa $x$ del punto di contatto.
"anonymous_0b37e9":
Prima equazione cardinale della dinamica
$mddotx=mgsin\alpha-k(x-l_0)+-\mu_smgcos\alpha$
Seconda equazione cardinale della dinamica (il polo coincide con il centro del disco)
$1/2mR^2ddot\theta=+-\mu_smgRcos\alpha$
Condizione cinematica
$ddotx=Rddot\theta$
Ok, in effetti è quelloche ho scritto io all'inizio a parte un errore
, però dico, a me sembra di avere troppe incognite perché non conosco mu, non conosco x_0 della souzione dell'equazione differenziale e x(t) è una incognita che uso per uguagliare le due espressioni dopo aver applicato $ddotx=Rddot\theta$
ed essemrele portate entrambe a x(t), no?
$3/2mR^2ddot\theta=mgRsin\alpha-kR(x-l_0)$
Prima dovresti ricavare l'equazione differenziale soddisfatta dall'ascissa x del punto di contatto.
Mi sa che non ho ben capito come fare, scusami, ammetto che le eq. differenziali fatico un po' a capirle.Posso chiederti qualche spiegazione in più? Scusami ancora, ma vorrei proprio capire per poterlo applicare in futuro
Pensavo infatti che la soluzione fosse: soluzione dell'omogenea+soluzione particolare che in questo caso è una costante, quindi in definitiva: soluzione omogenea+la costante (termine noto) dell'equazione differenziale originaria.
[EDIT]
Ho svolto una soluzione molto naif cercando di giungere alla soluzione indicata, tuttavia vorrei poter vedere i tuoi passaggi, se avrai voglia di mostrarmeli, perché non mi piace molto come ho fatto... proviamo:
Avendosi $ddotx+(2k)/(3m)x=2/3gsinalpha+2/3k/ml_0$ ho pensato che per avere una soluzione particolare poiché il termine noto è costante, posso cercarla in una costante appunto. In particolare essendo costante $ddotx=0$ Quindi quando:
$(2k)/(3m)x=2/3gsinalpha+2/3k/ml_0=0 <=> x=m/kgsinalpha+l_0$
La soluzione della omogenea è del tipo: $x(t)=x_0sin(sqrt((2k)/(3m))t)$ opure $x(t)=x_0cos(sqrt((2k)/(3m))t)$
La soluzione generale è quindi: $x(t)=x_0cos(sqrt((2k)/(3m))t)+m/kgsinalpha+l_0$ (uso il cos perché mi è utile in seguito nella soluzione per trovare $x_0$)
Ora devo determinare $x_0$ e lo faccio ponendo t=0, a questo istante so che la molla è $x=l_0$, quindi essendo il coseno 1: $x_0=-m/kgsinalpha+l_0$
Concludiamo: $x(t)=-(m/kgsinalpha+l_0)cos(sqrt((2k)/(3m))t)+m/kgsinalpha+l_0$ (non ho voglia di raccogliere ma ci siamo
)
Riepilogando, se si procede utilizzando solo la seconda equazione cardinale della dinamica:
Se, invece, si procede utilizzando entrambe:
\begin{align*}
\frac{1}{2}mR^2\ddot{\theta}=\mp\mu_smgRcos\alpha
\end{align*}
A questo punto, sommando membro a membro:
e utilizzando la relazione cinematica:
del tutto equivalente all'equazione ricavata nel modo più sintetico.
Seconda equazione cardinale della dinamica (il polo coincide con il punto di contatto del disco)
$3/2mR^2ddot\theta=mgRsin\alpha-kR(x-l_0)$
Condizione cinematica
$ddotx=Rddot\theta$
Se, invece, si procede utilizzando entrambe:
Prima equazione cardinale della dinamica
$mddotx=mgsin\alpha-k(x-l_0)+-\mu_smgcos\alpha$
Seconda equazione cardinale della dinamica (il polo coincide con il centro del disco)
\begin{align*}
\frac{1}{2}mR^2\ddot{\theta}=\mp\mu_smgRcos\alpha
\end{align*}
(Nel mio messaggio precedente avevo sbagliato il segno del secondo membro)
Condizione cinematica
$ddotx=Rddot\theta$
A questo punto, sommando membro a membro:
$mddotx+1/2mRddot\theta=mgsin\alpha-k(x-l_0)$
e utilizzando la relazione cinematica:
$3/2mRddot\theta=mgsin\alpha-k(x-l_0)$
del tutto equivalente all'equazione ricavata nel modo più sintetico.
Chiarissimo, invece per questo cosa ne pensi dell' edit?
Riduco quote.
Riduco quote.
Si tratta di risolvere l'equazione differenziale sottostante:
il cui integrale generale è:
Non resta che determinare le due costanti $A$ e $\varphi$ imponendo le condizioni iniziali:
Insomma, non dovrebbe essere un problema:
$ddotx+(2k)/(3m)x=2/3(gsin\alpha+(kl_0)/m)$
il cui integrale generale è:
$x=Acos(sqrt((2k)/(3m))t+\varphi)+l_0+(mgsin\alpha)/k$
Non resta che determinare le due costanti $A$ e $\varphi$ imponendo le condizioni iniziali:
$[x(0)=l_0] ^^ [dotx(0)=0]$
Insomma, non dovrebbe essere un problema:
$[A=-(mgsin\alpha)/k] ^^ [\varphi=0]$
"anonymous_0b37e9":
$ddotx+(2k)/(3m)x=2/3(gsin\alpha+(kl_0)/m)$
il cui integrale generale è:
$x=Acos(sqrt((2k)/(3m))t+\varphi)+l_0+(mgsin\alpha)/k$
Il mio dubbio è: come hai trovato la soluzione particolare cui sommare l'omogenea associata per trovare l'integrale generale?
"massimino's":
... ho pensato che per avere una soluzione particolare, poiché il termine noto è costante, posso cercarla in una costante appunto.
Appunto.
"anonymous_0b37e9":
Appunto.
Perfetto, volevo capire se era una buona idea o ce ne fossero di migliori
.Grazie per tutto
E se fosse stata una disomogenea in funzione del tempo, sarebbero stati problemi più seri, ma non capita mai (wronksiano)
"Capitan Harlock":
E se fosse stata una disomogenea in funzione del tempo, sarebbero stati problemi più seri, ma non capita mai (wronksiano)
Esatto, devo ancora prenderci la mano con questi aggeggi.
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