Esercizio di fisica cinematica
Ciao a tutti, ho delle difficoltà nello svolgere questo esercizio. Potete aiutarmi? grazie innanzitutto per la disponibilità...
Un proiettile viene lanciato con velocità iniziale vo=200m/s dalla sommità di un colle che domina
una vallata pianeggiante. Si assuma h=200m l’altezza del colle rispetto alla vallata. Il lancio
prevede che il proiettile cada nella vallata. Determinare l’alzo migliore (rispetto all’orizzontale) che
garantisce la massima gittata (distanza dalla base della montagna). Determinare il raggio di
curvatura della traiettoria dopo t=1s.
Allora, per determinarmi l'alzo della traiettoria del proiettile, mi basta calcolare la max gittata e, in questa formula, porre sen(2alfa)=1? oppure devo tenere conto anche del fatto che dopo il moto del proiettile avviene anche una ricaduta di 200m? Se potete indicatemi questi passaggi. Poi non saprei come calcolarmi il raggio di curvatura...
Un proiettile viene lanciato con velocità iniziale vo=200m/s dalla sommità di un colle che domina
una vallata pianeggiante. Si assuma h=200m l’altezza del colle rispetto alla vallata. Il lancio
prevede che il proiettile cada nella vallata. Determinare l’alzo migliore (rispetto all’orizzontale) che
garantisce la massima gittata (distanza dalla base della montagna). Determinare il raggio di
curvatura della traiettoria dopo t=1s.
Allora, per determinarmi l'alzo della traiettoria del proiettile, mi basta calcolare la max gittata e, in questa formula, porre sen(2alfa)=1? oppure devo tenere conto anche del fatto che dopo il moto del proiettile avviene anche una ricaduta di 200m? Se potete indicatemi questi passaggi. Poi non saprei come calcolarmi il raggio di curvatura...
Risposte
Devi considerare anche i 200 metri di dislivello.
Con le equazioni cinematiche del moto calcola il tempo di volo in funzione dell angolo di gittata (usando la componente y del moto) e poi sostituisci il tempo nella equazione del moto lungo x. In questo modo hai x(angolo). Massimizzala studiando la derivata e hai il risultato.
La curvatura, ricorda, è la derivata seconda della traiettoria y(x)
P.[/quote]
Con le equazioni cinematiche del moto calcola il tempo di volo in funzione dell angolo di gittata (usando la componente y del moto) e poi sostituisci il tempo nella equazione del moto lungo x. In questo modo hai x(angolo). Massimizzala studiando la derivata e hai il risultato.
La curvatura, ricorda, è la derivata seconda della traiettoria y(x)
P.[/quote]
Scusa, non ho capito molto bene la 2°parte del ragionamento. Una volta trovato il tempo di volo in funzione dell'angolo alfa, questa espressione la sostituisco nell'equazione x=vot cos alfa...giusto? da qui cosa mi devo trovare? come inserisco l'altezza di 200m?
Grazie!
Grazie!
qualcuno sa darmi una mano?
"Leonardo":
Scusa, non ho capito molto bene la 2°parte del ragionamento. Una volta trovato il tempo di volo in funzione dell'angolo alfa, questa espressione la sostituisco nell'equazione x=vot cos alfa...giusto?
Giusto.
da qui cosa mi devo trovare? come inserisco l'altezza di 200m?
Grazie!
Devi derivare la funzione ottenuta rispetto all'angolo di lancio per trovarne il valore massimo.
L'altezza di lancio la devi inserire nel calcolo del tempo di volo.
Ciao Leo!:)
Il problema fisicamente non è niente di speciale , ma i calcoli sono noiosi quindi mi limito solo ad impostarli. Comunque la soluzione l'hai già avuta da Pupe, la rendo più esplicita visto che non ti sembra chiara.
Eq di moto :
x(t)=v(0)cos&t
y(t)=200+v(0)sin&t-(1/2)gt^2
da cui imponendo y=0 ti ricavi il tempo di caduta del proiettile (ovvio prendi la radice positiva)
avrai quindi il tempo di caduta in funzione di sin&, cioè di &
sostituendo questo t(&) in x(t) ti ricavi la gettata in funzione di &
Devi trovare il massimo di questa funzione x(&)
e lo fai imponendo la derivata (prima ,rispetto &) uguale a zero
Dopo noiosi calcoli dovresti ottenere la relazione
(cosec&)^2 =2( 1+200g/v(0)^2 ) da cui &
Per il raggio di curvatura se conosci un po' di geom. differenziale ti consiglio di lasciare la curva (piana!) in forma parametrica ( t parametro) usando la formula
R= ( (x')^2+(y')^2 )^3/2 / | x'y''-y'x''|
Il problema fisicamente non è niente di speciale , ma i calcoli sono noiosi quindi mi limito solo ad impostarli. Comunque la soluzione l'hai già avuta da Pupe, la rendo più esplicita visto che non ti sembra chiara.
Eq di moto :
x(t)=v(0)cos&t
y(t)=200+v(0)sin&t-(1/2)gt^2
da cui imponendo y=0 ti ricavi il tempo di caduta del proiettile (ovvio prendi la radice positiva)
avrai quindi il tempo di caduta in funzione di sin&, cioè di &
sostituendo questo t(&) in x(t) ti ricavi la gettata in funzione di &
Devi trovare il massimo di questa funzione x(&)
e lo fai imponendo la derivata (prima ,rispetto &) uguale a zero
Dopo noiosi calcoli dovresti ottenere la relazione
(cosec&)^2 =2( 1+200g/v(0)^2 ) da cui &
Per il raggio di curvatura se conosci un po' di geom. differenziale ti consiglio di lasciare la curva (piana!) in forma parametrica ( t parametro) usando la formula
R= ( (x')^2+(y')^2 )^3/2 / | x'y''-y'x''|
scusate se m intrometto, ma anche io ho bisogno di fare questi esercizi....posso chiedere una mano per l esercizio proposto da leonardo?
ma $y(t)=200+v(0)sinalphat-1/2gt^2$ imponendo y=0 e risolvendo a me diventa: $t_(1,2)=(-v_0sinalpha+-sqrt(v_0^2sin^2alpha+400g))/(-g)$ e corretto??
se si come procedo?devo sostituire tutta quella cosa nell altra equazione?
ma $y(t)=200+v(0)sinalphat-1/2gt^2$ imponendo y=0 e risolvendo a me diventa: $t_(1,2)=(-v_0sinalpha+-sqrt(v_0^2sin^2alpha+400g))/(-g)$ e corretto??
se si come procedo?devo sostituire tutta quella cosa nell altra equazione?
vi ringrazio per le indicazioni...ora provo subito a farlo!
"richard84":
...
ma $y(t)=200+v(0)sinalphat-1/2gt^2$ imponendo y=0 e risolvendo a me diventa: $t_(1,2)=(-v_0sinalpha+-sqrt(v_0^2sin^2alpha+400g))/(-g)$ e corretto??
E' corretto. Togli però tutti quei segni negativi.
se si come procedo?devo sostituire tutta quella cosa nell altra equazione?
Inserisci questo risultato nell'equazione:
$x=v_0cosalpha*t$
e poi fai la derivata.
fra un po ci provo...prima finisco l altro es...ma togliendo i segni negativi intendi $t_(1,2)=(v_0sinalpha-sqrt(v_0^2sin^2alpha+400g))/(g)$ cosi?
No. Priima del radicale il segno diventa positivo altrimenti il tempo di volo risulterebbe negativo!
quindi tutto positivo?...
"richard84":
$t_(1,2)=(v_0sinalpha-sqrt(v_0^2sin^2alpha+400g))/(g)$ cosi?
$x=v_0cosalpha(v_0sinalpha+sqrt(v_0^2sin^2alpha+400g))/(g)$ derivo rispetto ad alfa...viene una mega derivata pero!!o sbaglio?
a me viene fuori questa roba qua...che nn so se e giusta:
$x'=(-v_0^2sin^2alpha+v_0^2cos^2alpha-v_0sinalphasqrt(v_0^2sin^2alpha+400g)+1/(2sqrt(v_0^2sin^2alpha+400g))(2v_0^2cosalphasinalpha)v_0cosalpha)/g$
Mi sembra sia giusta. Ora è da semplificare togliendo le costanti ed eliminando i denominatori.
E' sicuramente un lavoraccio!
E' sicuramente un lavoraccio!
e come posso fare?
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