Esercizio di esame: Termodinamica
Buongiorno a tutti,
mi trovo ad affrontare un esercizio di esame di fisica I che mi sta creando dei problemi.
Il problema vede un cilindro adiabatico diviso da una parete diatermica con un ugual numero di moli di Argon nella parte di sinistra e di Ossigeno in quella destra. La parete che contiene ossigeno può essere modificata nel volume attraverso l'azione di un pistone anch'esso adiabatico. Le condizioni iniziali dei due gas sono le stesse ovvero p = 1 bar e T = 300 K. Agendo poi reversibilmente sul pistone viene dimezzato il volume della camera dove è contenuto l'Ossigeno e raddoppia la temperatura dell'Argon. Devo calcolare la differenza di pressione tra le due camere.
Svolgimento:
Immagino che la trasformazione subita dall'Ossigeno sia una trasformazione isobara mentre quella subita dall'Argon sia una trasformazione isocora reversibile.
In questa maniera posso calcolare i valori di pressione nelle due camere.
Se volessi però calcolare la pressione nella camera dell'Ossigeno sfruttando la legge dei gas perfetti troverei $p_{0o_2}V_{0o_2}=nR_{0o_2} $
$ p_{1o_2}V_{1o_2}=nRT_{1o_2} $
immaginando che lo stato $0$ sia ad inizio compressione e lo stato $1$ a fine compressione.
Facendo il rapporto tra le due quantità troverei:
$ \frac{p_{0o_2}}{p_{1o_2}}=\frac{T_{0o_2}}{T_{1o_2}}*\frac{V_{1o_2}}{V_{0o_2}} $
A questo punto poiché il volume dimezza e la temperatura dell'Ossigeno raddoppia (c'è una parete diatermica) il risultato che ottengo è pari a $4$.
Ho fatto anche un'altra considerazione: ho provato a collegare lo stato termodinamico finale dell'Ossigeno attraverso delle trasformazioni reversibili che conosco: Prima ho immaginato una compressione adiabatica $0-1$ fino ad avere un dimezzamento del volume, poi ho effettuato un riscaldamento isocoro della sola camera dell'Ossigeno $1-2$ e poi ho messo in comunicazione termica le due camere ipotizzando un raffreddamento isocoro $2-3$.
Prima compressione:
$ p_{0o_2}V_{0o_2}^{\gamma }= V_{1o_2}^{\gamma } $
$ p_{1o_2}=p_{0o_2}*2^{\gamma}=2.639 Bar $
A questo punto ho calcolato la temperatura di fine compressione sempre sfruttando le relazioni di una adiabatica reversibile ed ottengo
$T_2=395K$
La temperatura è più bassa di quella di equilibrio e quindi mi sono calcolato la temperatura che dovrebbe avere l'Ossigeno attraverso il bilancio del calore scambiato in una trasformazione isocora:
$ nc_{vArg}(T_{1Arg}-T_{0Arg})=nc_{vO_2}(T_{2O_2}-T_{3O_2}) $ dove ovviamente $T_{3O_2}$ e $T_{1Arg}$ sono uguali.
La temperatura che ho trovato è $T_{2O_2} = 782 K$.
Dovrò quindi fornire calore per portare l'Ossigeno a $782K$. La pressione si innalza e si porta a $5.211Bar$ ottenuta attraverso le relazioni proprie dell'isocora reversibile $ \frac{p_{1O_2}}{p_{2O_2}}=\frac{T_{1O_2}}{T_{2O_2}} $.
A questo punto attraverso le stesse relazioni ma per la trasformazione $2-3$ trovo la pressione dell'Ossigeno.
Il risultato è di nuovo $4$.
C'è un errore concettuale che non riesco a comprendere evidentemente perché sono quasi certo che la trasformazione in realtà sia isobara ma tutto il ragionamento fatto successivamente mi porta da un'altra parte.
Vi ringrazio per l'aiuto eventuale
Matteo
mi trovo ad affrontare un esercizio di esame di fisica I che mi sta creando dei problemi.
Il problema vede un cilindro adiabatico diviso da una parete diatermica con un ugual numero di moli di Argon nella parte di sinistra e di Ossigeno in quella destra. La parete che contiene ossigeno può essere modificata nel volume attraverso l'azione di un pistone anch'esso adiabatico. Le condizioni iniziali dei due gas sono le stesse ovvero p = 1 bar e T = 300 K. Agendo poi reversibilmente sul pistone viene dimezzato il volume della camera dove è contenuto l'Ossigeno e raddoppia la temperatura dell'Argon. Devo calcolare la differenza di pressione tra le due camere.
Svolgimento:
Immagino che la trasformazione subita dall'Ossigeno sia una trasformazione isobara mentre quella subita dall'Argon sia una trasformazione isocora reversibile.
In questa maniera posso calcolare i valori di pressione nelle due camere.
Se volessi però calcolare la pressione nella camera dell'Ossigeno sfruttando la legge dei gas perfetti troverei $p_{0o_2}V_{0o_2}=nR_{0o_2} $
$ p_{1o_2}V_{1o_2}=nRT_{1o_2} $
immaginando che lo stato $0$ sia ad inizio compressione e lo stato $1$ a fine compressione.
Facendo il rapporto tra le due quantità troverei:
$ \frac{p_{0o_2}}{p_{1o_2}}=\frac{T_{0o_2}}{T_{1o_2}}*\frac{V_{1o_2}}{V_{0o_2}} $
A questo punto poiché il volume dimezza e la temperatura dell'Ossigeno raddoppia (c'è una parete diatermica) il risultato che ottengo è pari a $4$.
Ho fatto anche un'altra considerazione: ho provato a collegare lo stato termodinamico finale dell'Ossigeno attraverso delle trasformazioni reversibili che conosco: Prima ho immaginato una compressione adiabatica $0-1$ fino ad avere un dimezzamento del volume, poi ho effettuato un riscaldamento isocoro della sola camera dell'Ossigeno $1-2$ e poi ho messo in comunicazione termica le due camere ipotizzando un raffreddamento isocoro $2-3$.
Prima compressione:
$ p_{0o_2}V_{0o_2}^{\gamma }= V_{1o_2}^{\gamma } $
$ p_{1o_2}=p_{0o_2}*2^{\gamma}=2.639 Bar $
A questo punto ho calcolato la temperatura di fine compressione sempre sfruttando le relazioni di una adiabatica reversibile ed ottengo
$T_2=395K$
La temperatura è più bassa di quella di equilibrio e quindi mi sono calcolato la temperatura che dovrebbe avere l'Ossigeno attraverso il bilancio del calore scambiato in una trasformazione isocora:
$ nc_{vArg}(T_{1Arg}-T_{0Arg})=nc_{vO_2}(T_{2O_2}-T_{3O_2}) $ dove ovviamente $T_{3O_2}$ e $T_{1Arg}$ sono uguali.
La temperatura che ho trovato è $T_{2O_2} = 782 K$.
Dovrò quindi fornire calore per portare l'Ossigeno a $782K$. La pressione si innalza e si porta a $5.211Bar$ ottenuta attraverso le relazioni proprie dell'isocora reversibile $ \frac{p_{1O_2}}{p_{2O_2}}=\frac{T_{1O_2}}{T_{2O_2}} $.
A questo punto attraverso le stesse relazioni ma per la trasformazione $2-3$ trovo la pressione dell'Ossigeno.
Il risultato è di nuovo $4$.
C'è un errore concettuale che non riesco a comprendere evidentemente perché sono quasi certo che la trasformazione in realtà sia isobara ma tutto il ragionamento fatto successivamente mi porta da un'altra parte.
Vi ringrazio per l'aiuto eventuale
Matteo
Risposte
Ci sei quasi...
Io comprimerei isotermicamente l'ossigeno.
Il lavoro fatto per dimezzare il volume deve essere uguale al calore che devi estrarre dall'ossigeno.
Il lavoro lo puoi calcolare, note la pressione e volume iniziale e volume finale. Quindi sai il calore che devi estrrre.
Quel calore va dentro l'argon, che quindi si riscalda lungo un isovolumica aumentandone la temperatura.
Ora, senza fare i conti, dubito che a fine compressione, a causa del calore sottratto dall'ossigeno la temperatura dell'argon raddoppi esattamente. Probabilmente e' piu' alta. Qui e' dove non ho chiaro il problema:
In queste condizioni (non di equilibrio) ti e' possibile calcolare la diff. di pressione.
Pero' credo che il problema voglia la ddp all'equilibrio.
Quindi devi ricalcolare il calore che ritorna verso l'ossigeno (argon e' al doppio della temperatura dell'ossigeno, perche quest' ultimo non ha mai variato la sua temperatura durante tutto questo ambaradan).
LA temperatura si assestera' a un valore finale intermedio tra $T_1$ e $2T_1$.
Trovate le T in cond. di equilibrio, le pressioni vengono di conseguenza.
Spero.
PK
Io comprimerei isotermicamente l'ossigeno.
Il lavoro fatto per dimezzare il volume deve essere uguale al calore che devi estrarre dall'ossigeno.
Il lavoro lo puoi calcolare, note la pressione e volume iniziale e volume finale. Quindi sai il calore che devi estrrre.
Quel calore va dentro l'argon, che quindi si riscalda lungo un isovolumica aumentandone la temperatura.
Ora, senza fare i conti, dubito che a fine compressione, a causa del calore sottratto dall'ossigeno la temperatura dell'argon raddoppi esattamente. Probabilmente e' piu' alta. Qui e' dove non ho chiaro il problema:
In queste condizioni (non di equilibrio) ti e' possibile calcolare la diff. di pressione.
Pero' credo che il problema voglia la ddp all'equilibrio.
Quindi devi ricalcolare il calore che ritorna verso l'ossigeno (argon e' al doppio della temperatura dell'ossigeno, perche quest' ultimo non ha mai variato la sua temperatura durante tutto questo ambaradan).
LA temperatura si assestera' a un valore finale intermedio tra $T_1$ e $2T_1$.
Trovate le T in cond. di equilibrio, le pressioni vengono di conseguenza.
Spero.
PK
Non si sbaglia, però, considerando poi l'operazione di riequilibrio delle due temperature che è una situazione di non reversibilità in un processo che è reversibile?
No. Una volta raggiunto l'equilibrio, non ti interessa piu la reversibilita'.
Qui ti chiede la differenza di pressione raggiunta, nient'altro. Quindi, vai tranquillo, risolvi e facci sapere!
Qui ti chiede la differenza di pressione raggiunta, nient'altro. Quindi, vai tranquillo, risolvi e facci sapere!
Ciao PK (ho visto che su un thread ti chiamavano così 
)
Ho provato a collegare i due stati nella maniera che dici tu ovvero attuando una prima compressione isoterma e poi un raffreddamento isovolumico. I "problemi", però, li ho riscontrati già nel primo passaggio. Facendo riferimento a quanto detto precedentemente ho ipotizzato una prima trasformazione reversibile isoterma:
$ -nRT_{0o2}ln \ ( \frac{1}{2}\ )=nc_{vArg}(T_1-T_0) $
$ -R*300*ln(1/2)=3/2R(T_1-T_0) $ $ rArr $ $T_1=438 K $
La temperatura è comunque più bassa di quella di equilibrio e quindi devo comunque provvedere ad un riscaldamento isovolumico dell'ossigeno o sbaglio?
Ma a questo punto senza fare tutto questo discorso non si potrebbe semplicemente considerare i due stati di equilibrio e trovare i rapporti tra le pressioni, sempre per quanto riguarda l'Ossigeno, attraverso l'equazione di stato dei gas perfetti?
)Ho provato a collegare i due stati nella maniera che dici tu ovvero attuando una prima compressione isoterma e poi un raffreddamento isovolumico. I "problemi", però, li ho riscontrati già nel primo passaggio. Facendo riferimento a quanto detto precedentemente ho ipotizzato una prima trasformazione reversibile isoterma:
$ -nRT_{0o2}ln \ ( \frac{1}{2}\ )=nc_{vArg}(T_1-T_0) $
$ -R*300*ln(1/2)=3/2R(T_1-T_0) $ $ rArr $ $T_1=438 K $
La temperatura è comunque più bassa di quella di equilibrio e quindi devo comunque provvedere ad un riscaldamento isovolumico dell'ossigeno o sbaglio?
Ma a questo punto senza fare tutto questo discorso non si potrebbe semplicemente considerare i due stati di equilibrio e trovare i rapporti tra le pressioni, sempre per quanto riguarda l'Ossigeno, attraverso l'equazione di stato dei gas perfetti?
Se consideri le temperature iniziali, Argon era a 27 gradi - Ora e' 165 gradi.
A questo punto ferma tutto. Il calore passera dall'argon all'ossigeno. Devi trovare la temperatura di equilibrio.
La pressione nell'argon decresce in ragione di questa fuga di calore fino alla temp. intermedia, quella dell'ossigeno aumentera' di conseguenza.
Attenzione che l'argon e' (5/2)xR
A questo punto ferma tutto. Il calore passera dall'argon all'ossigeno. Devi trovare la temperatura di equilibrio.
La pressione nell'argon decresce in ragione di questa fuga di calore fino alla temp. intermedia, quella dell'ossigeno aumentera' di conseguenza.
Attenzione che l'argon e' (5/2)xR
Aspetta l'Argon è un gas raro e quindi cv = (3/2)R. Così mi dice sul Mazzoldi. Per quanto riguarda il raddoppio della temperatura...bisogna considerare i Kelvin o i Celsius?
Io ho considerato il raddoppio dei Kelvin e non dei Celsius...Per questo stavo considerando la temperatura di 600 Kelvin.
Io ho considerato il raddoppio dei Kelvin e non dei Celsius...Per questo stavo considerando la temperatura di 600 Kelvin.
Non ci siamo!
Mi trovo una temperatura di equilibrio di 86.09 gradi Celsius ovvero 359.25 Kelvin.
Ma se a questo punto, sapendo che la trasformazione è reversibile e usando la legge di stato dei gas perfetti facessi così:
$ \frac{p_{0o2}}{p_{1o2}}=\frac{T_{0o2}}{T_{1o2}}\frac{V_{1o2}}{V_{0o2}} $ = $ \frac{p_{0o2}}{ }=\frac{1}{2}\frac{300}{380.55} $
$ p_{1o2}=2.537 Bar $
La pressione e la temperatura dell'Argon me la trovo facilmente pensando che quella ha subito una trasformazione isovolumica e quindi
$ \frac{p_{0Arg}}{T_{0Arg}}=\frac{p_{1Arg}}{T_{1Arg}}|-> p_{1Arg}=1.268 Bar $
Mi trovo una temperatura di equilibrio di 86.09 gradi Celsius ovvero 359.25 Kelvin.
Ma se a questo punto, sapendo che la trasformazione è reversibile e usando la legge di stato dei gas perfetti facessi così:
$ \frac{p_{0o2}}{p_{1o2}}=\frac{T_{0o2}}{T_{1o2}}\frac{V_{1o2}}{V_{0o2}} $ = $ \frac{p_{0o2}}{ }=\frac{1}{2}\frac{300}{380.55} $
$ p_{1o2}=2.537 Bar $
La pressione e la temperatura dell'Argon me la trovo facilmente pensando che quella ha subito una trasformazione isovolumica e quindi
$ \frac{p_{0Arg}}{T_{0Arg}}=\frac{p_{1Arg}}{T_{1Arg}}|-> p_{1Arg}=1.268 Bar $
L'esercizio e' ambiguo. Avrebbe dovuto specificare.
Ma se il ragionamento e' corretto, l'unico modo per togliere l'ambiguita e' usare i celsius.
per l'argon, non discuto, andavo a memoria.
Comunque su un manuale di compressori che ho in mano, ho trovato che Cp = 20779J/MoleK che conferma (ma non ce n'era bisogno, ovviamente, il Mazzoldi fa piu' testo di me!) che Cv=(3/2)R.
Continua e vediamo che esce
Ciao
PK
Ma se il ragionamento e' corretto, l'unico modo per togliere l'ambiguita e' usare i celsius.
per l'argon, non discuto, andavo a memoria.
Comunque su un manuale di compressori che ho in mano, ho trovato che Cp = 20779J/MoleK che conferma (ma non ce n'era bisogno, ovviamente, il Mazzoldi fa piu' testo di me!) che Cv=(3/2)R.
Continua e vediamo che esce
Ciao
PK
Allora PK, scusa per il ritardo della risposta, mi sono consultato anche con dei miei amici e alla fine abbiamo concluso che utilizzeremo i celsius per la differenza.
Per il resto a destra applicherei la legge dell'equilibrio per lo stato iniziale trovando V iniziale (V/n), che e' il doppio di quello finale.
A destra applicherei la legge dell'equilibrio per lo stato finale, dove ora l'incognita e' la pressione finale.
Per il resto a destra applicherei la legge dell'equilibrio per lo stato iniziale trovando V iniziale (V/n), che e' il doppio di quello finale.
A destra applicherei la legge dell'equilibrio per lo stato finale, dove ora l'incognita e' la pressione finale.
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