Esercizio di elettrostatica da esame

[carmecut99]

Sto risolvendo un vecchio esercizio di elettrostatica da esame, ma sto riscontrando dei problemi.

Ho una carica Q distribuita in modo uniforme all'interno di una sfera di raggio R.
Ho poi una carica q puntiforme posta a distanza r dal centro della sfera (dentro la sfera).

a) determinare il valore di Q se il campo elettrostatico nel punto P, distande d (tra il bordo della sfera e q) e il più vicino possibile alla carica q è nullo.

b) l'espressione per il campo elettrico in funzione di r.

c) l'espressione per l'energia elettrostatica all'interno della sfera di raggio R.

d) se la carica venisse lasciata libera di muoversi, con che energia cinetica arriverebbe al centro della sfera.


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Per prima cosa suppongo che la sfera sia piena, anche se ne testo non è specificato. Poi non ho ben capito come comportarmi con il quesito uno. Devo forse trovare il campo nel punto P, eguagliarlo a zero e ricavarmi Q?

Per l'espressione del campo in funzione di r, penso di dover applicare Gauss, ma come mi comporto con la carica q? Questa non genera forse campo all'interno e all'esterno della sfera?

[RenzoDF]

Puoi postare una immagine (foto) del testo originale?

[carmecut99]

[carmecut99]

Sto provando a risolverlo in questo modo:

Da testo sò che il campo (totale credo) nel punto P è nullo, e dato che ho due cariche, i due campi devono essere uguali e opposti nel punto P, giusto?

Per il teorema di sovrapposizione, la carica q non perturba il campo creato da Q, quindi li calcolo singolarmente.

Per calcolare il campo creato da Q, dato che Q è uniforme:

$ E=1/(4epsilon pi)Q/r^2 $

Che è anche il campo creato da una carica puntiforme, quindi non mi convince.

[Quinzio]

Per il quesito a) va usata la sovrapposizione degli effetti.
$(d/R)^3 Q/(4 \pi \epsilon_0 d^2) + q/(4 \pi \epsilon_0 (d-r)^2) = 0$

$(d/R)^3 Q/d^2 + q/ (d-r)^2 = 0$

$Q = -q (R/d)^3 d^2/(d-r)^2$

[carmecut99]

Va bene. Ho trovato i due campi ed eguagliandoli ho ottenuto la stessa Q che sarà negativa.

Per il quesito B, invece, devo trovare il campo elettrico per r < R e per r > R. Però devo trovare quello creato dalla sfera carica con Q, quindi non considero q. Quest'ultima per la sovrapposizione non influisce nel campo creato da Q.

Questo ragionamento è giusto?

[Quinzio]

b)
Campo elettrico in funzione della distanza $x$ dal centro lungo il raggio che passa per $q$.
Da $x=0$ a $x $E = (x/R)^3 Q/(4 \pi \epsilon_0 x^2) - q/(4 \pi \epsilon_0 (x-r)^2) $

Da $x>r$ a $x $ E = (x/R)^3 Q/(4 \pi \epsilon_0 x^2) + q/(4 \pi \epsilon_0 (x-r)^2) $

Da $x \ge R$ in poi
$ E = Q/(4 \pi \epsilon_0 x^2) + q/(4 \pi \epsilon_0 (x-r)^2) $

Ti trovi in tutto questo ?
E' la legge di Gauss, sempre quella.

[Quinzio]

"Carmelo99":Va bene. Ho trovato i due campi ed eguagliandoli ho ottenuto la stessa Q che sarà negativa.

Per il quesito B, invece, devo trovare il campo elettrico per r < R e per r > R. Però devo trovare quello creato dalla sfera carica con Q, quindi non considero q. Quest'ultima per la sovrapposizione non influisce nel campo creato da Q.

Questo ragionamento è giusto?

Perche' non dovresti considerare $q$ ?
Devi sempre fare la somma dei singoli campi elettrostatici.

[carmecut99]

"Quinzio":b)
Campo elettrico in funzione della distanza $x$ dal centro lungo il raggio che passa per $q$.
Da $x=0$ a $x $E = (x/R)^3 Q/(4 \pi \epsilon_0 x^2) - q/(4 \pi \epsilon_0 (x-r)^2) $

Da $x>r$ a $x $ E = (x/R)^3 Q/(4 \pi \epsilon_0 x^2) + q/(4 \pi \epsilon_0 (x-r)^2) $

Da $x \ge R$ in poi
$ E = Q/(4 \pi \epsilon_0 x^2) + q/(4 \pi \epsilon_0 (x-r)^2) $

Ti trovi in tutto questo ?
E' la legge di Gauss, sempre quella.

Va bene, ma non mi è chiaro perché influisce il campo creato da q per 0

Cita

Segnala

[Quinzio]

La carica $q$ e' in $x=r$.
Attorno alla carica $q$, il suo campo elettrico esiste, quindi esiste per $0 \le x < r$, non trovi ?

[mgrau]

"Quinzio":
$Q = -q (R/d)^3 d^2/(d-r)^2$

Qualcosa non torna. Se $d = r$, sarebbe $Q = infty$?
A me risulterebbe
$q/(R-r-d)^2 = (Q((R-d)/R)^3)/(R-d)^2$

[RenzoDF]

"mgrau":...
A me risulterebbe
$q/(R-r-d)^2 = (Q((R-d)/R)^3)/(R-d)^2$

$-q/(R-r-d)^2 = (Q((R-d)/R)^3)/(R-d)^2$

[Quinzio]

"mgrau":[quote="Quinzio"]
$Q = -q (R/d)^3 d^2/(d-r)^2$

Qualcosa non torna. Se $d = r$, sarebbe $Q = infty$?
A me risulterebbe
$q/(R-r-d)^2 = (Q((R-d)/R)^3)/(R-d)^2$[/quote]
Beh, se $d=r$ sei posizionato proprio sulla carica puntiforme $q$, quindi l'intensita' del campo elettrico e' infinita in teoria.
Non so, se gentilmente puoi prendere la mia formula e vedere dov'e' l'errore. Io non vedo nulla.

[Quinzio]

"Quinzio":Per il quesito a) va usata la sovrapposizione degli effetti.
$(d/R)^3 Q/(4 \pi \epsilon_0 d^2) + q/(4 \pi \epsilon_0 (d-r)^2) = 0$

$(d/R)^3 Q/d^2 + q/ (d-r)^2 = 0$

$Q = -q (R/d)^3 d^2/(d-r)^2$

Intendo queste formule.

[mgrau]

"Quinzio":
Non so, se gentilmente puoi prendere la mia formula e vedere dov'e' l'errore. Io non vedo nulla.

Dai non te la prendere così. $r$ è la distanza dal centro, $d$ la distanza dal bordo, quindi $d = r$ non significa che il punto P sta sopra $q$. A meno che mi sia confuso io.
@RenzoDF. OK

[Quinzio]

Non me la sono presa affatto. Ho pensieri piu' importanti che questo esercizio, se proprio vogliamo.
Comunque, io avevo preso:
$d=5$
$r=1$
$R=10$
Mi sembra naturale misurare le distanze dal centro.

[carmecut99]

Va bene, adesso mi è chiaro come la carica puntiforme influisca sul calcolo del campo.

Per il punto c, invece, ho utilizzato la formula della densità di energia elettrostatica, prendendo in considerazione i diversi campi, quindi:

$ U=int_(0)^(r) (Qx)/(4epsilon piR^3)-q/(4epsipi(x-r)^2) dx + int_(r)^(R) (Qx)/(4epsilon piR^3)+q/(4epsipi(x-r)^2) dx + int_(R)^(oo) (Q)/(4epsilon pix^2)+q/(4epsipi(x-r)^2) dx $

[RenzoDF]

"Carmelo99":... adesso mi è chiaro come la carica puntiforme influisca sul calcolo del campo...quindi:
$ U=int_(0)^(r) (Qx)/(4epsilon piR^3)-q/(4epsipi(x-r)^2) dx + int_(r)^(R) (Qx)/(4epsilon piR^3)+q/(4epsipi(x-r)^2) dx + int_(R)^(oo) (Q)/(4epsilon pix^2)+q/(4epsipi(x-r)^2) dx $

... e inoltre, visto che nel testo non viene specificato nulla, direi che la richiesta in b) sia relativa ad un qualsiasi punto P dello spazio, e non alla sola retta radiale passante per q.

... senza dubbio "bella" anche la richiesta in c).

BTW La mia solita domanda: da dove arriva questo problema (ateneo e/o autore)

[Quinzio]

Energia potenziale elettrica prendendo spunto da qui
https://it.wikipedia.org/wiki/Energia_p ... _elettrica
http://www.phys.uri.edu/gerhard/PHY204/tsl94.pdf
senza la carica $q$.


$${\displaystyle U_{e}={\frac {1}{2}}\int _{\tau }\rho (x,y,z)V(x,y,z)d\tau }$$
$${\displaystyle U_{e}={\frac {1}{2}}\int _{r= 0}^R 4 \pi r^2 \rho (r) V(r) \ dr }$$
$${\displaystyle U_{e}={\frac {1}{2}}\int _{r= 0}^R 4 \pi r^2 \frac{Q}{4/3 \pi R^3} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^3} \frac{3R^2-r^2}{2} \ dr }$$
$${\displaystyle U_{e}={\frac {1}{2}}\int _{r= 0}^R \frac{3Q^2}{8\pi \epsilon_0 R^6} (3R^2r^2-r^4) \ dr }$$
$$\displaystyle U_{e}=\frac{3Q^2}{20\pi \epsilon_0 R} $$

Poi si aggiunge la carica $q$ a distanza $r_q$ dal centro
$$\displaystyle U_{e}=\frac{3Q^2}{20\pi \epsilon_0 R} + \frac{Qq}{8 \pi \epsilon_0 R} \left( 3- \frac{r_q^2}{R^2} \right) $$

Energia cinetica della carica $q$ libera di muoversi.
$$E = q\Delta V = \frac{Qq}{8 \pi \epsilon_0 } \frac{r_q^2}{R^3} $$