Esercizio di dinamica: trave che rotola su due cilindri
Ciao a tutti!
Affrontavo questo semplice problema di dinamica dei sistemi materiali. La traccia dell'esercizio è la seguente:
Una trave di massa$m$ è appoggiata su due rulli cilindrici omogenei uguali di raggio $r$; ogni rullo ha massa $m_1$. Tra la trave e riulli e tra i rulli e il suolo c'è attrito: la trave rotola sui rulli senza strisciare, così come i rulli sul suolo. La trave si sposta parallelarmente al suolo con velocità $V$. Si calcoli l'energia cinetica $E_C$ complessiva della trave e dei due rulli.
(Soluzione: $ E_C = (1/2 m + 3/4 m_1) V^2$).
L'energia cinetica dei sistemi in rotazione è data dalla relazione $E_C = 1/2 I \omega^2$.
In questo caso, l'inerzia è data dal teorema di Huygens-Steiner:
$ I = I_G + md^2 = 1/2 m_1 r^2 + m_1 + r^2 = 3/2 m_1 r^2$
Quindi, l'energia cinetica del sistema dovrebbe essere uguale alla somma delle energie cinetiche dei cilindri e dell'energia cinetica della trave:
$E_C = 2(3/4 m_1 r^2 \omega^2) + 1/2 mV^2 $
soluzione che differisce da quella proposta dal libro per l'energia cinetica dei due cilindri. Dove sta l'errore? Grazie!
Affrontavo questo semplice problema di dinamica dei sistemi materiali. La traccia dell'esercizio è la seguente:
Una trave di massa$m$ è appoggiata su due rulli cilindrici omogenei uguali di raggio $r$; ogni rullo ha massa $m_1$. Tra la trave e riulli e tra i rulli e il suolo c'è attrito: la trave rotola sui rulli senza strisciare, così come i rulli sul suolo. La trave si sposta parallelarmente al suolo con velocità $V$. Si calcoli l'energia cinetica $E_C$ complessiva della trave e dei due rulli.
(Soluzione: $ E_C = (1/2 m + 3/4 m_1) V^2$).
L'energia cinetica dei sistemi in rotazione è data dalla relazione $E_C = 1/2 I \omega^2$.
In questo caso, l'inerzia è data dal teorema di Huygens-Steiner:
$ I = I_G + md^2 = 1/2 m_1 r^2 + m_1 + r^2 = 3/2 m_1 r^2$
Quindi, l'energia cinetica del sistema dovrebbe essere uguale alla somma delle energie cinetiche dei cilindri e dell'energia cinetica della trave:
$E_C = 2(3/4 m_1 r^2 \omega^2) + 1/2 mV^2 $
soluzione che differisce da quella proposta dal libro per l'energia cinetica dei due cilindri. Dove sta l'errore? Grazie!
Risposte
A me tornerebbe $T=3/2m_1v^2+1/2mv^2$
A questo punto potrebbe essere un errore del libro...
Direi che ha sbagliato il libro.
Anche calcolando in altro modo il risultato esce diverso.
Posto i miei passaggi.
\[\begin{array}{l}
{E_{cil}} = \frac{1}{2}{I_{cm}}{\omega ^2} + \frac{1}{2}{m_1}{v_{cm}}^2 \\
{I_{cm}} = \frac{1}{2}{m_1}{r^2} \\
{v_{cm}} = \frac{V}{2} \\
\omega = \frac{{{v_{cm}}}}{r} = \frac{V}{{2r}} \\
{E_{cil}} = \frac{1}{2}\frac{1}{2}{m_1}{r^2}\frac{{{V^2}}}{{4{r^2}}} + \frac{1}{2}{m_1}\frac{{{V^2}}}{4} = \frac{1}{{16}}{m_1}{V^2} + \frac{1}{8}{m_1}{V^2} = \frac{3}{{16}}{m_1}{V^2} \\
{E_{tot}} = {E_{trave}} + 2{E_{cil}} = \frac{1}{2}m{V^2} + 2\frac{3}{{16}}{m_1}{V^2} \\
{E_{tot}} = \frac{1}{2}m{V^2} + \frac{3}{8}{m_1}{V^2} \\
\end{array}\]
Anche calcolando in altro modo il risultato esce diverso.
Posto i miei passaggi.
\[\begin{array}{l}
{E_{cil}} = \frac{1}{2}{I_{cm}}{\omega ^2} + \frac{1}{2}{m_1}{v_{cm}}^2 \\
{I_{cm}} = \frac{1}{2}{m_1}{r^2} \\
{v_{cm}} = \frac{V}{2} \\
\omega = \frac{{{v_{cm}}}}{r} = \frac{V}{{2r}} \\
{E_{cil}} = \frac{1}{2}\frac{1}{2}{m_1}{r^2}\frac{{{V^2}}}{{4{r^2}}} + \frac{1}{2}{m_1}\frac{{{V^2}}}{4} = \frac{1}{{16}}{m_1}{V^2} + \frac{1}{8}{m_1}{V^2} = \frac{3}{{16}}{m_1}{V^2} \\
{E_{tot}} = {E_{trave}} + 2{E_{cil}} = \frac{1}{2}m{V^2} + 2\frac{3}{{16}}{m_1}{V^2} \\
{E_{tot}} = \frac{1}{2}m{V^2} + \frac{3}{8}{m_1}{V^2} \\
\end{array}\]
Grazie Falco 5x! Ulteriore conferma dell'errore del libro...
Avevo sbagliato a scrivere $omega$.
Non importa. Avevo comunque capito a cosa ti riferivi. Grazie!
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