Esercizio di dinamica dell'urto
Salve ragazzi!
Mi chiedevo se qualcuno può darmi una mano con questo esercizio di dinamica dell'urto. La traccia è la seguente:
Una massa m1 = 10 kg si trova in quiete sopra il piano di un carrello di massa m=90 kg in moto su una superficie orizzontale liscia con velocità costante di modulo V: Tra la cassa e il piano del carrello vi è attrito con coefficiente di attrito statico uguale a 0,3. Il carrello va ad urtare l'estremità libera di una molla avente l'asse diretto secondo la direzione di moto del carrello e la seconda estremità fissata ad una parete: la costante elastica della molla è k =900 N/m. Qual è il valore Vmax che V può avere se la cassa non deve scivolare lungo il piano del carrello?
Ho provato in diversi modi ma non sono riuscito a tirare fuori l'espressione per calcolare la Vmax richiesta dal problema. Ho calcolato il valore della forza d'attrito statico e ho supposto che la forza di cui risente il carrello in seguito all'urto deve essere minore o uguale alla forza d'attrito statico affinchè la cassa non scivoli sul carrello. Inoltre, ho cercato di cavarne fuori qualcosa utilizzando il principio di conservazione dell'energia meccanica considerando l'energia cinetica iniziale uguale a quella posseduta dal carrello e, dunque, dguale ad ½mv² e nulla l'energia potenziale iniziale della molla e fissando come istante finale quello in cui avviene la massima compressione della molla con energia cinetica nulla ed energia potenziale massima. Da qui però non sono riuscito ad andare avanti in alcun modo. Ho inoltre provato a calcolarmi la risultante delle forze ma ho qualche dubbio anche su questo purtroppo. Qualcuno sa darmi una mano? Sto preparando un esame e per me è molto importante togliermi dei dubbi che possono sembrare banali ma che mi rendono insicuro mentre cerco di risolvere i problemi. Grazie
Mi chiedevo se qualcuno può darmi una mano con questo esercizio di dinamica dell'urto. La traccia è la seguente:
Una massa m1 = 10 kg si trova in quiete sopra il piano di un carrello di massa m=90 kg in moto su una superficie orizzontale liscia con velocità costante di modulo V: Tra la cassa e il piano del carrello vi è attrito con coefficiente di attrito statico uguale a 0,3. Il carrello va ad urtare l'estremità libera di una molla avente l'asse diretto secondo la direzione di moto del carrello e la seconda estremità fissata ad una parete: la costante elastica della molla è k =900 N/m. Qual è il valore Vmax che V può avere se la cassa non deve scivolare lungo il piano del carrello?
Ho provato in diversi modi ma non sono riuscito a tirare fuori l'espressione per calcolare la Vmax richiesta dal problema. Ho calcolato il valore della forza d'attrito statico e ho supposto che la forza di cui risente il carrello in seguito all'urto deve essere minore o uguale alla forza d'attrito statico affinchè la cassa non scivoli sul carrello. Inoltre, ho cercato di cavarne fuori qualcosa utilizzando il principio di conservazione dell'energia meccanica considerando l'energia cinetica iniziale uguale a quella posseduta dal carrello e, dunque, dguale ad ½mv² e nulla l'energia potenziale iniziale della molla e fissando come istante finale quello in cui avviene la massima compressione della molla con energia cinetica nulla ed energia potenziale massima. Da qui però non sono riuscito ad andare avanti in alcun modo. Ho inoltre provato a calcolarmi la risultante delle forze ma ho qualche dubbio anche su questo purtroppo. Qualcuno sa darmi una mano? Sto preparando un esame e per me è molto importante togliermi dei dubbi che possono sembrare banali ma che mi rendono insicuro mentre cerco di risolvere i problemi. Grazie
Risposte
Ti do alcuni spunti.
La cassa non scivola finché l'accelerazione del carrello è minore (in modulo) di 0,3g. Infatti con accelerazione superiore a questo limite la forza di inerzia sulla cassa nel sistema di riferimento carrello vince la forza d'attrito. Allora assumiamo questo valore di 0,3g come accelerazione limite che soddisfa il problema.
Il sistema carrello+cassa quando urta la molla subisce una decelerazione, il cui massimo valore viene raggiunto nel punto di massima compressione della molla: infatti la forza della molla è proporzionale alla sua compressione.
La compressione massima della molla avviene quando tutta l'energia cinetica del carrello+cassa è immagazzinata nel potenziale elastico della molla. Scrivendo dunque l'espressione di questa compressione massima e quindi della forza massima in funzione dell'energia cinetica e quindi di V, e imponendo che la forza massima sia uguale a 30g (=100 kg x 0,3g) si ricava V.
La cassa non scivola finché l'accelerazione del carrello è minore (in modulo) di 0,3g. Infatti con accelerazione superiore a questo limite la forza di inerzia sulla cassa nel sistema di riferimento carrello vince la forza d'attrito. Allora assumiamo questo valore di 0,3g come accelerazione limite che soddisfa il problema.
Il sistema carrello+cassa quando urta la molla subisce una decelerazione, il cui massimo valore viene raggiunto nel punto di massima compressione della molla: infatti la forza della molla è proporzionale alla sua compressione.
La compressione massima della molla avviene quando tutta l'energia cinetica del carrello+cassa è immagazzinata nel potenziale elastico della molla. Scrivendo dunque l'espressione di questa compressione massima e quindi della forza massima in funzione dell'energia cinetica e quindi di V, e imponendo che la forza massima sia uguale a 30g (=100 kg x 0,3g) si ricava V.
Ciao,
ho provato a risolverlo nel modo seguente (che segue le indicazioni di Falco5x).
Nel momento in cui il carrello urta la molla, il sistema carrello+cassa subisce una accelerazione in verso contrario a quello del moto tramite la forza $F=kx$ che la molla imprime sul carrello. La forza $F$ agisce sul carrello ma risente della massa complessiva $m_1+m_2$ del sistema carrello+cassa poiché si suppone che la cassa non scivoli, la forza d'attrito $F_a$ agisce invece sulla cassa e ha stessa direzione e verso opposto alla forza $F$. L'accelerazione $a$ della cassa è la stessa del sistema allora posso scrivere utilizzando la seconda legge della dinamica $F=ma$
$F/(m_1+m_2)=F_a/m_1$ (1)
$F_a=m_1g mu_a$ avendo indicato con $mu_a$ il coefficiente di attrito statico. La (1) allora diventa:
$(kx)/(m_1+m_2)=g mu_a$ che lega la compressione $x$ della molla all'attrito statico. Poichè l'attrito statico non deve superare il suo valore massimo pena lo scivolamento della cassa anche $x$ dovrà avere un suo valore max. Ora dalla conservazione dell'energia meccanica sistema+cassa + molla metto in relazione la compressione $x$ con la velocità $v$: la variazione dell'energia cinetica del sistema carrello+cassa è uguale alla variazione dell'energia potenziale della molla:
$Delta E_c= Delta U_m$ (2)
con $E_c$ energia cinetica di carrello+cassa e $U_m$ energia potenziale della molla.
La compressione massima della molla si ha quando il carrello+cassa si arresta quindi poichè la molla inizialmente è a riposo la (2) diventa
$(m_1+m_2)v^2=kx^2$ da cui $x=v sqrt((m_1+m_2)/k)$
Non potendo $x$ superare un certo valore per quanto detto in precedenza, lo stesso vale per la $v$. Sostiuendo la (2) nella (1) trovo dopo gli opportuni passaggi:
$v=g mu_a sqrt((m_1+m_2)/k)$
ho provato a risolverlo nel modo seguente (che segue le indicazioni di Falco5x).
Nel momento in cui il carrello urta la molla, il sistema carrello+cassa subisce una accelerazione in verso contrario a quello del moto tramite la forza $F=kx$ che la molla imprime sul carrello. La forza $F$ agisce sul carrello ma risente della massa complessiva $m_1+m_2$ del sistema carrello+cassa poiché si suppone che la cassa non scivoli, la forza d'attrito $F_a$ agisce invece sulla cassa e ha stessa direzione e verso opposto alla forza $F$. L'accelerazione $a$ della cassa è la stessa del sistema allora posso scrivere utilizzando la seconda legge della dinamica $F=ma$
$F/(m_1+m_2)=F_a/m_1$ (1)
$F_a=m_1g mu_a$ avendo indicato con $mu_a$ il coefficiente di attrito statico. La (1) allora diventa:
$(kx)/(m_1+m_2)=g mu_a$ che lega la compressione $x$ della molla all'attrito statico. Poichè l'attrito statico non deve superare il suo valore massimo pena lo scivolamento della cassa anche $x$ dovrà avere un suo valore max. Ora dalla conservazione dell'energia meccanica sistema+cassa + molla metto in relazione la compressione $x$ con la velocità $v$: la variazione dell'energia cinetica del sistema carrello+cassa è uguale alla variazione dell'energia potenziale della molla:
$Delta E_c= Delta U_m$ (2)
con $E_c$ energia cinetica di carrello+cassa e $U_m$ energia potenziale della molla.
La compressione massima della molla si ha quando il carrello+cassa si arresta quindi poichè la molla inizialmente è a riposo la (2) diventa
$(m_1+m_2)v^2=kx^2$ da cui $x=v sqrt((m_1+m_2)/k)$
Non potendo $x$ superare un certo valore per quanto detto in precedenza, lo stesso vale per la $v$. Sostiuendo la (2) nella (1) trovo dopo gli opportuni passaggi:
$v=g mu_a sqrt((m_1+m_2)/k)$
Grazie ragazzi! Avevo fatto un procedimento simile ma non mi è venuto in mente di eguagliare le accelerazioni della cassa e del carro nonostante ci avessi pensato al fatto che l'accelerazione del sistema carro+cassa fosse uguale in tutti i suoi punti. Grazie ancora dell'aiuto! 
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