Esercizio di dinamica del corpo rigido: rotolo di carta.

[ing.nunziom]

Ciao ragazzi, non riesco a risolvere questo problema:

Un rotolone di carta di raggio $R=8 cm$ ha un momento d’inerzia rispetto al suo asse di $I=3 \cdot 10^-3 kgm^2$.
Una forza $F=3.5 N$ è applicata ad un capo del rotolo per $t=2s$, senza che la carta si strappi.
Supponendo vi sia sull’asse un attrito il cui momento è $m=0.1Nm$ ,determinare, supponendo trascurabile lo spessore e la massa della carta:
a) la lunghezza del foglio di carta che si è svolto durante l’azione della forza $F$;
b) la lunghezza della carta che ancora continua a srotolarsi fino a quando il rotolo
si ferma ed il tempo necessario a fermarsi.

Ho pensato al teorema dell'impulso angolare...ma sinceramente non so come procedere.
Consigli?

[fafnir39]

Il mio tentativo:
divido il problema in due fasi:

1) $ 0 leq t leq 2: sumtau\_O=-RF+tau_{f}=Ialpha_1->alpha_1=-60 (rad)/s^2 $
$ theta=-1/2 alpha t^2=-120 text{ rad}->s_1=|Rtheta_1|=9.6m $

2) $ t>2: omega_0=alpha_1t_1=-120 (rad)/s; sumtau_O=tau_f=Ialpha_2->alpha_2~~ 33.3 (rad)/s^2 $
$ 0=omega_0+alpha_2t_2->t_2 ~~ 3.6 text{ s}; theta_2=omega_0t+1/2 alpha_2 t_2^2=-216.216 rad -> s_2=|Rtheta_2|=17.3 m $

[ing.nunziom]

Per la prima parte ho provato a risolvere così:

$M=RF-m=I\alpha$

da cui ho ricavato $\alpha=60 (rad)/(s^2)$

Applicando il teorema del momento dell'impulso:

$\int_{0}^{2s}Mdt=I\omega$

da cui $\omega=120(rad)/s$

e quindi:

$\theta(t)=\omegat+1/2 \alpha t^2=140rad$
$x(t)=\theta(t)R=11.2m$

Dove sbaglio?

[Sk_Anonymous]

"ing.nunziom":Per la prima parte ho provato a risolvere così:

$ M=RF-m=I\alpha $

da cui ho ricavato $ \alpha=60 (rad)/(s^2) $

Fin qui è giusto. Ma questo significa che il moto circolare è uniformemente accelerato, quindi la velocità angolare varia secondo la legge : $\omega = \alpha*t$ , cioè linearmente col tempo. Perciò che c'entra il teorema dell'impulso che vuoi usare dopo? E che rappresenta quel valore di $\omega$ che hai trovato?

Invece, è giusto che l'angolo di cui il rotolone Regina è ruotato in $2s$ valga : $\theta = 1/2\alphat^2 = 120 rad $ , come se si trattasse dello spazio percorso in un moto rettilineo uniformemente accelerato (con le condizioni iniziali : $\theta_0 = 0 = dot\theta_0$ ) .

[ing.nunziom]

"navigatore": rotolone Regina

Ahah grazie!