Esercizio di Dinamica dei fluidi
Salve a tutti!
Avrei bisogno di un'aiuto riguardo a questo esercizio di dinamica dei fluidi proposto dal mio prof. in una sessione di esame. La traccia dell'esercizio è la seguente:
Un camion si muove con accelerazione costante. Sopra di esso vi è un cilindro che ruota intorno al suo asse verticale con velocità angolare $\omega$ costante. All'interno del cilindro vi è acqua. Determinare la forma del pelo libero dell'acqua.
Io ho seguito questo ragionamento:
supponendo inizialmente il camion fermo, la forma del pelo libero dell'acqua sarebbe quella di un paraboloide di rotazione in quanto ogni singola particella di acqua è soggetta sia alla forza peso $g(dm)$ sia alla forza centrifuga $(dm)\omega^2 r$. A ciò bisogna aggiungere l'accelerazione del camion che contribuisce a variare la forma del pelo libero dell'acqua. In questo caso, su ogni particella di massa $dm$ agisce oltre alla forza peso e a quella centrifuga anche la forza apparente $(dm)a$ con $a$ di verso opposto a quella del camion. Ho pensato che la forma della superficie a pelo libero dell'acqua dovrebbe essere simile a questa:
anche se non ne sono per niente convinto. Potete darmi una mano? Grazie a tutti in anticipo!
Avrei bisogno di un'aiuto riguardo a questo esercizio di dinamica dei fluidi proposto dal mio prof. in una sessione di esame. La traccia dell'esercizio è la seguente:
Un camion si muove con accelerazione costante. Sopra di esso vi è un cilindro che ruota intorno al suo asse verticale con velocità angolare $\omega$ costante. All'interno del cilindro vi è acqua. Determinare la forma del pelo libero dell'acqua.
Io ho seguito questo ragionamento:
supponendo inizialmente il camion fermo, la forma del pelo libero dell'acqua sarebbe quella di un paraboloide di rotazione in quanto ogni singola particella di acqua è soggetta sia alla forza peso $g(dm)$ sia alla forza centrifuga $(dm)\omega^2 r$. A ciò bisogna aggiungere l'accelerazione del camion che contribuisce a variare la forma del pelo libero dell'acqua. In questo caso, su ogni particella di massa $dm$ agisce oltre alla forza peso e a quella centrifuga anche la forza apparente $(dm)a$ con $a$ di verso opposto a quella del camion. Ho pensato che la forma della superficie a pelo libero dell'acqua dovrebbe essere simile a questa:
anche se non ne sono per niente convinto. Potete darmi una mano? Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Non si ottiene più una superficie assial-simmetrica: cioè i punti del pelo libero che si trovano alla stessa altezza non sono più su una circonferenza, come nel caso di rotazione del cilindro a camion fermo.
Il ragionamento da seguire è analogo a quello che si segue per determinare la superficie libera nel caso di sola rotazione del cilindro.. quindi completa quel ragionamento tenendo conto anche dell'accelerazione del camion.
Dovresti ottenere per l'equazione della superficie libera qualcosa del tipo:
$z= a(x^2+y^2)+by+c$
in coordinate cartesiane oppure
$z= ar^2+b sin (theta)+c$
in coordinate cilindriche
con $a$ e $b$ e $c$ costanti legate alla velocità angolare del cilindro, all'accelerazione del camion, al volume di liquido iniziale, alla altezza del liquido nel cilindro a cilindro e camion fermi e alla posizione zero dell'asse $z$ (gli assi hanno origine sull'asse del cilindro con l'asse $y$ diretto nella direzione di avanzamento del camion).
Il ragionamento da seguire è analogo a quello che si segue per determinare la superficie libera nel caso di sola rotazione del cilindro.. quindi completa quel ragionamento tenendo conto anche dell'accelerazione del camion.
Dovresti ottenere per l'equazione della superficie libera qualcosa del tipo:
$z= a(x^2+y^2)+by+c$
in coordinate cartesiane oppure
$z= ar^2+b sin (theta)+c$
in coordinate cilindriche
con $a$ e $b$ e $c$ costanti legate alla velocità angolare del cilindro, all'accelerazione del camion, al volume di liquido iniziale, alla altezza del liquido nel cilindro a cilindro e camion fermi e alla posizione zero dell'asse $z$ (gli assi hanno origine sull'asse del cilindro con l'asse $y$ diretto nella direzione di avanzamento del camion).
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