Esercizio di dinamica dei fluidi
Ciao a tutti! Stavo cercando di risolvere questo esercizio di dinamica ma ho una certa difficoltà ad impostarlo in quanto ho diversi dubbi. Mi chiedevo se qualcuno può gentilmente aiutarmi nella risoluzione. La traccia dell'esercizio è questa:
Si abbia un bacino di acqua in montagna. Il pelo libero dell'acqua sia ad una quota H mentre il fondo del bacino sia ad una quota h. Si faccia partire dal fondo un condotto di sezione S nella quale l'acqua si incanala fino ad arrivare a livello 0. Si chiede quanto vale la potenza massima teoricamente estraibile dall'acqua che arriva in una centrale. (Se i dati sono pochi integrarli, se eccessivi ignorarli).
Qualcuno può aiutarmi a impostarlo? Grazie!
Si abbia un bacino di acqua in montagna. Il pelo libero dell'acqua sia ad una quota H mentre il fondo del bacino sia ad una quota h. Si faccia partire dal fondo un condotto di sezione S nella quale l'acqua si incanala fino ad arrivare a livello 0. Si chiede quanto vale la potenza massima teoricamente estraibile dall'acqua che arriva in una centrale. (Se i dati sono pochi integrarli, se eccessivi ignorarli).
Qualcuno può aiutarmi a impostarlo? Grazie!
Risposte
Un tentativo? Definizione di potenza?
Che cosa vuoi dire?
Che cosa ti sembra che voglia dire??
Comincia a scrivere le definizioni che sai, guarda cosa ti manca, vedi come puoi trovarlo!
Comincia a scrivere le definizioni che sai, guarda cosa ti manca, vedi come puoi trovarlo!
Se parli telegraficamente rispondendo con una frase mancante di predicato verbale e complementi non ti pare che sia piuttosto facile che chi legge non comprenda quello che tu voglia dire? Detto questo scrivo come ho proceduto nella tentata risoluzione del problema.
La pressione che agisce sulla superficie dell'acqua è uguale alla pressione atmosferica mentre quella sul fondo del bacino è data dalla legge di stevino.
La potenza è uguale a $ w = F v $ dove $ F = P S $ è la forza esercitata dall'acqua sulla conduttura di sezione S (P è la pressione esercitata dall'acqua in fondo al bacino). La velocità di imbocco dell'acqua nel tubo è, per il teorema di Torricelli, $ v=sqrt (2g(H-h)) $. Per il principio di conservazione dell'energia meccanica ( a patto che si possa usare senza commettere qualche leggerezza) la velocità di fuoriuscita dell'acqua dovrebbe essere $ v = sqrt (2gH) $.
Quindi, avendo calcolato la velocità, ho calcolato la forza $F$ e facendo il prodotto ho ottenuto la potenza $w$.
Non avevo scritto la mia risoluzione del problema perchè penso di aver commesso parecchie leggerezze e, non avendo il risultato, non ho avuto modo di capire cosa avessi sbagliato. Alcuni dei miei dubbi sono: si può considerare la velocità all'inizio del condotto come data dal teorema di torricelli? E' possibile utilizzare il principio di conservazione dell'energia meccanica per calcolare la velocità di fuoriuiscita dell'acqua dal tubo? Ho come l'impressione di non aver afferrato per niente il nocciolo del problema...
La pressione che agisce sulla superficie dell'acqua è uguale alla pressione atmosferica mentre quella sul fondo del bacino è data dalla legge di stevino.
La potenza è uguale a $ w = F v $ dove $ F = P S $ è la forza esercitata dall'acqua sulla conduttura di sezione S (P è la pressione esercitata dall'acqua in fondo al bacino). La velocità di imbocco dell'acqua nel tubo è, per il teorema di Torricelli, $ v=sqrt (2g(H-h)) $. Per il principio di conservazione dell'energia meccanica ( a patto che si possa usare senza commettere qualche leggerezza) la velocità di fuoriuscita dell'acqua dovrebbe essere $ v = sqrt (2gH) $.
Quindi, avendo calcolato la velocità, ho calcolato la forza $F$ e facendo il prodotto ho ottenuto la potenza $w$.
Non avevo scritto la mia risoluzione del problema perchè penso di aver commesso parecchie leggerezze e, non avendo il risultato, non ho avuto modo di capire cosa avessi sbagliato. Alcuni dei miei dubbi sono: si può considerare la velocità all'inizio del condotto come data dal teorema di torricelli? E' possibile utilizzare il principio di conservazione dell'energia meccanica per calcolare la velocità di fuoriuiscita dell'acqua dal tubo? Ho come l'impressione di non aver afferrato per niente il nocciolo del problema...
Secondo me la risoluzione non va così male. A patto di assumere che la sezione \(S\) sia molto più piccola della superficie del bacino [ipotesi ragionevole], se applichi il Teorema di Bernoulli tra la superficie ed \(S\) o tra la superficie e il livello zero, ottieni quello che hai scritto.
La conservazione dell'energia meccanica regge perché hai solo forze conservative, quindi su quello puoi stare tranquillo.
La conservazione dell'energia meccanica regge perché hai solo forze conservative, quindi su quello puoi stare tranquillo.
E se invece non si potesse supporre che la sezione sia piccola? Questo esercizio mi è stato dato ad un esame di fisica e ricordo che il professore ha detto che non sapevamo le dimensioni della sezione.
Se la sezione non fosse trascurabile, allora quando scrivi il teorema di Bernoulli tra la superficie \(A\) ed un altro punto \(B\)
\[
p_0 + \frac 1 2 \rho v_A^2 + \rho g (h + H) = p_0 + \frac 1 2 \rho v_B^2 + \rho g h_B
\]
puoi semplificare il termine \(p_0\) ma non il termine \(\frac 1 2 \rho v_A^2\) perché, senza quell'ipotesi, \(v_A\) non è trascurabile e quindi ti rimane un'incognita in più.
\[
p_0 + \frac 1 2 \rho v_A^2 + \rho g (h + H) = p_0 + \frac 1 2 \rho v_B^2 + \rho g h_B
\]
puoi semplificare il termine \(p_0\) ma non il termine \(\frac 1 2 \rho v_A^2\) perché, senza quell'ipotesi, \(v_A\) non è trascurabile e quindi ti rimane un'incognita in più.
Se la sezione è molto ppiccola rispetto alla ssuperficie si assume che la velocità sulla superficie del fluido sia nulla (dunque $ \V_A =0 $ ). Nel caso in cui la sezione non è trascurabile non è possibile fare quest'ipotesi?
Comunque non ho capito ben dove la forza $F$ deve agire per calcolare la potenza. La definizione di potenza che ho utilizzato io ti sembra adeguata o ci poteva essere un altro modo di proseguire? Ho scritto le formule e sono andato avanti ad intuizioni ma non credo ddi aaver afferrato davvero il problema...
La definizione di potenza mi sembra vada bene: \(P = \frac L t = \frac{F \cdot s} t = F \cdot v\).
La sezione del tubo inoltre mi sembra si intenda sia sempre costante, quindi anche lì nessun problema.
La sezione del tubo inoltre mi sembra si intenda sia sempre costante, quindi anche lì nessun problema.
Sono appena riuscito a reperire la soluzione svolta dal professore che ha tenuto il mio esame di Fisica I. Eccola:
Si abbia a disposizione, ogni secondo, una massa $m$ dotata di velocità $v$. Quanto lavoro potremmo ottenere sfruttando il fatto che è in moto? Chiramente, arrestandola, il valore della sua energia cinetica, cioè $ 1/2 m v^2$. Essendo questo il lavoro ottenibile nell'unità di tempo, tale è pure la potenza ottenibile. Ora, la bocca del nostro condotto ci fornisce acqua alla velocità $v$. Nell'unità di tempo, quanta acqua ci viene fornita dal condotto? Ovviamente $ v S \rho $, dove $\rho$ è la densità dell'acqua e $v S$ é il volume che esce dalla sezione $S$ nell'unità di tempo. Quindi la potenza ottenibile, arrestando l'acqua dopo la centrale, viene ad essere: $ 1/2 (v S \rho) v^2 $. Ma, si obietterà, l'acqua non può essere completamente arrestata, perchè altrimenti si bloccherebbe il suo deflusso! Certo, ma l'equazione di continuità ci dice che, a patto di costruire a valle della centrale un condotto di deflusso di sezione sufficientemente grande, l'acqua può defluire con velocità arbitrariamente piccola e quindi il valore sopra trovato corrisponde, matematicamente parlando, all'estremo superiore dei valori di potenza ottenibili, sempre naturalmente avendo completamente trascurato le perdite per attriti ecc. che inevitabilmente si presentano. E la velocità $v$ della formula di sopra? Bernoulli dice subito: $v = sqrt(2gH)$ da cui si ha $w=1/2 (S \rho) v^3 = 1/2 (S\rho) (sqrt ((2gH)^3))$ sicchè la grandezza $h$ è superflua.
Quindi penso di aver sbagliato un bel pò di cose...
Si abbia a disposizione, ogni secondo, una massa $m$ dotata di velocità $v$. Quanto lavoro potremmo ottenere sfruttando il fatto che è in moto? Chiramente, arrestandola, il valore della sua energia cinetica, cioè $ 1/2 m v^2$. Essendo questo il lavoro ottenibile nell'unità di tempo, tale è pure la potenza ottenibile. Ora, la bocca del nostro condotto ci fornisce acqua alla velocità $v$. Nell'unità di tempo, quanta acqua ci viene fornita dal condotto? Ovviamente $ v S \rho $, dove $\rho$ è la densità dell'acqua e $v S$ é il volume che esce dalla sezione $S$ nell'unità di tempo. Quindi la potenza ottenibile, arrestando l'acqua dopo la centrale, viene ad essere: $ 1/2 (v S \rho) v^2 $. Ma, si obietterà, l'acqua non può essere completamente arrestata, perchè altrimenti si bloccherebbe il suo deflusso! Certo, ma l'equazione di continuità ci dice che, a patto di costruire a valle della centrale un condotto di deflusso di sezione sufficientemente grande, l'acqua può defluire con velocità arbitrariamente piccola e quindi il valore sopra trovato corrisponde, matematicamente parlando, all'estremo superiore dei valori di potenza ottenibili, sempre naturalmente avendo completamente trascurato le perdite per attriti ecc. che inevitabilmente si presentano. E la velocità $v$ della formula di sopra? Bernoulli dice subito: $v = sqrt(2gH)$ da cui si ha $w=1/2 (S \rho) v^3 = 1/2 (S\rho) (sqrt ((2gH)^3))$ sicchè la grandezza $h$ è superflua.
Quindi penso di aver sbagliato un bel pò di cose...
La soluzione del libro è
\[
w = \frac 1 2 (S\rho) v^3
\]
cioè
\[
w = S \cdot v \cdot \frac 1 2 \rho v^2
\]
La soluzione proposta da te è
\[
w = PSv = S \cdot v \cdot P
\]
Confrontandole si scopre [surprise surprise
] che
\[
S \cdot v \cdot \frac 1 2 \rho v^2 = S \cdot v \cdot P
\]
che significa
\[
P = \frac 1 2 \rho v^2
\]
L'espressione ti dice niente?
\[
w = \frac 1 2 (S\rho) v^3
\]
cioè
\[
w = S \cdot v \cdot \frac 1 2 \rho v^2
\]
La soluzione proposta da te è
\[
w = PSv = S \cdot v \cdot P
\]
Confrontandole si scopre [surprise surprise
] che\[
S \cdot v \cdot \frac 1 2 \rho v^2 = S \cdot v \cdot P
\]
che significa
\[
P = \frac 1 2 \rho v^2
\]
L'espressione ti dice niente?
Sinceramente no 
Sono un pò confuso anche perchè se non ho fatto bene questo esercizio sono bocciato 
Sono un pò confuso anche perchè se non ho fatto bene questo esercizio sono bocciato
Bernoulli says..
\[
p_0 + \rho g h + \frac 1 2 \rho v^2 \dots
\]
ed il terzo termine è uguale a quello che ti è avanzato. Siccome il primo è una pressione e "non si sommano mele con arance", è giusto che il termine mancante combaci in quel modo.
In altre parole, le grandezze nelle due formule sono le stesse, solo scritte in maniera diversa!
\[
p_0 + \rho g h + \frac 1 2 \rho v^2 \dots
\]
ed il terzo termine è uguale a quello che ti è avanzato. Siccome il primo è una pressione e "non si sommano mele con arance", è giusto che il termine mancante combaci in quel modo.
In altre parole, le grandezze nelle due formule sono le stesse, solo scritte in maniera diversa!
Ciò supponendo sempre che la sezione sia piccola rispetto alla superficie?
Comunque la potenza della soluzione è $ w = 1/2 (S\rho) v^3 $ mentre a me esce $w= PSv$. Nella mia soluzione è presente la pressione atmosferica e la velocità non è al cubo... inoltre la pressione ricavata dal prof è diversa da quella che mi sono ricavato io.. infatti la mia pressione è $\rho_0 + \rho g H $ ...
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