Esercizio di dinamica con masse
Ho provato a risolvere questo esercizio ma non so se ho fatto bene, se qualcuno potesse darmi una mano a trovare gli errori mi farebbe un favore..
Un sistema è formato da una massa $M$ saldata al suolo, su questa massa è poggiata sul piano superiore una massa $m_1$ e lateralmente a destra una massa $m_2$, le due masse $m_1$ e $m_2$ sono collegate tra di loro attraverso una fune ideale che passa per una carrucola ideale saldata sullo spigolo destro della massa $M$. Si considera trascurabile ogni forza di attrito.
1) Determinare l’accelerazione delle due masse $m_1$ e $m_2$.
Essendo la carrucola ideale le tensioni applicate dalla fune ai due capi di essa sono uguali $T_1=T_2:=T$, inoltre, essendo la fune ideale, l’accelerazione di $m_1$ è la stessa di $m_2$: $a_1=a_2:=a$. L’equazione di moto per $m_1$ lungo la direzione del moto è $m_1a=T$, mentre per $m_2$ è $m_2 a=m_2 g-T$, quindi $a=m_2/(m_1+m_2)g$.
2) Consideriamo in questo momento la massa $M$ libera di muoversi, quale forza $F$ dobbiamo applicare alla massa $M$ (verso destra) per impedire il moto relativo tra le masse?
In questa non capisco bene come impostare le equazioni, credo di aver sbagliato.. Direi che se le masse si muovono in modo solidale tra di loro la massa $m_2$ non si muove lungo la direzione verticale, lungo questa direzione quindi: $T=m_2g$, inoltre l’accelerazione di $M$ e $m_1$ è la stessa. La massa $m_1$ risente di una forza apparente verso sinistra uguale in modulo a $F$, la sua equazione di moto è: $m_1a=T-F$, per la massa $M$ si ha $Ma=F$. Il sistema di equazioni è:
\begin{cases} T=m_2g \\ m_1a=T-F \\ Ma=F \end{cases}
Dalla terza si ricava $a=F/M$, sostituendo questa e la prima eq nella seconda: $F=(m_2M)/(m_1+M)g$.
3) Adesso consideriamo ancora la massa $M$ libera di muoversi, ma senza forze esterne applicate, determinare l’accelerazione delle tre masse (supporre che $m_2$ resti sempre appoggiata a M).
Le equazioni di moto per $m_1$ e $m_2$ sono come prima $m_2a=m_2g-T$ e $m_1a=T$. La massa $M$ è libera di muoversi e risente di una reazione uguale ad opposta a $m_1a$, quindi $MA= -m_1a$. Il sistema è quindi:
\begin{cases} m_2a=m_2g-T \\ m_1a=T \\ MA= -m_1a \end{cases}
Dalle prime due eq si ricava $a=m_2/(m_1+m_2)g$ e sostituendo nella terza si trova $A=-(m_1m_2)/(M(m_1+m_2))g$, dove il segno - indica che il moto di $M$ è verso sinistra.
4) Determinare l’equazione della traiettoria di $m_2$
Se i punti precedenti sono corretti l’accelerazione (in modulo) di $m_2$ lungo x è $a_x=(m_1m_2)/(M(m_1+m_2))g$, mentre lungo y è $a_y=m_2/(m_1+m_2)g$. Le accelerazioni sono costanti nel tempo, quindi, supponendo che al tempo $t=0$ la massa $m_2$ sia nella posizione $(0,0)$, la posizione di $m_2$ al tempo $t$ è: $(x_2(t), y_2(t))=(1/2 a_x t^2, 1/2 a_y t^2)$, dalla posizione lungo x ricavo $t^2=2/(a_x)x$ e sostituendo nella posizione lungo y $y_2(x)=a_y/(a_x)x$, quindi $y_2(x)=M/m_1 x$.
Un sistema è formato da una massa $M$ saldata al suolo, su questa massa è poggiata sul piano superiore una massa $m_1$ e lateralmente a destra una massa $m_2$, le due masse $m_1$ e $m_2$ sono collegate tra di loro attraverso una fune ideale che passa per una carrucola ideale saldata sullo spigolo destro della massa $M$. Si considera trascurabile ogni forza di attrito.
1) Determinare l’accelerazione delle due masse $m_1$ e $m_2$.
Essendo la carrucola ideale le tensioni applicate dalla fune ai due capi di essa sono uguali $T_1=T_2:=T$, inoltre, essendo la fune ideale, l’accelerazione di $m_1$ è la stessa di $m_2$: $a_1=a_2:=a$. L’equazione di moto per $m_1$ lungo la direzione del moto è $m_1a=T$, mentre per $m_2$ è $m_2 a=m_2 g-T$, quindi $a=m_2/(m_1+m_2)g$.
2) Consideriamo in questo momento la massa $M$ libera di muoversi, quale forza $F$ dobbiamo applicare alla massa $M$ (verso destra) per impedire il moto relativo tra le masse?
In questa non capisco bene come impostare le equazioni, credo di aver sbagliato.. Direi che se le masse si muovono in modo solidale tra di loro la massa $m_2$ non si muove lungo la direzione verticale, lungo questa direzione quindi: $T=m_2g$, inoltre l’accelerazione di $M$ e $m_1$ è la stessa. La massa $m_1$ risente di una forza apparente verso sinistra uguale in modulo a $F$, la sua equazione di moto è: $m_1a=T-F$, per la massa $M$ si ha $Ma=F$. Il sistema di equazioni è:
\begin{cases} T=m_2g \\ m_1a=T-F \\ Ma=F \end{cases}
Dalla terza si ricava $a=F/M$, sostituendo questa e la prima eq nella seconda: $F=(m_2M)/(m_1+M)g$.
3) Adesso consideriamo ancora la massa $M$ libera di muoversi, ma senza forze esterne applicate, determinare l’accelerazione delle tre masse (supporre che $m_2$ resti sempre appoggiata a M).
Le equazioni di moto per $m_1$ e $m_2$ sono come prima $m_2a=m_2g-T$ e $m_1a=T$. La massa $M$ è libera di muoversi e risente di una reazione uguale ad opposta a $m_1a$, quindi $MA= -m_1a$. Il sistema è quindi:
\begin{cases} m_2a=m_2g-T \\ m_1a=T \\ MA= -m_1a \end{cases}
Dalle prime due eq si ricava $a=m_2/(m_1+m_2)g$ e sostituendo nella terza si trova $A=-(m_1m_2)/(M(m_1+m_2))g$, dove il segno - indica che il moto di $M$ è verso sinistra.
4) Determinare l’equazione della traiettoria di $m_2$
Se i punti precedenti sono corretti l’accelerazione (in modulo) di $m_2$ lungo x è $a_x=(m_1m_2)/(M(m_1+m_2))g$, mentre lungo y è $a_y=m_2/(m_1+m_2)g$. Le accelerazioni sono costanti nel tempo, quindi, supponendo che al tempo $t=0$ la massa $m_2$ sia nella posizione $(0,0)$, la posizione di $m_2$ al tempo $t$ è: $(x_2(t), y_2(t))=(1/2 a_x t^2, 1/2 a_y t^2)$, dalla posizione lungo x ricavo $t^2=2/(a_x)x$ e sostituendo nella posizione lungo y $y_2(x)=a_y/(a_x)x$, quindi $y_2(x)=M/m_1 x$.
Risposte
Andiamo per gradi, non ho neanche letto tutto.
Il primo va bene, anche se hai scritto male l’equazione per m_1.
Il secondo: se le tre masse sono in quiete tra loro, puoi dire che:
$a =F/(m_1+m_2+M)$
Ma non basta...
Il primo va bene, anche se hai scritto male l’equazione per m_1.
Il secondo: se le tre masse sono in quiete tra loro, puoi dire che:
$a =F/(m_1+m_2+M)$
Ma non basta...
"Shackle":
Il primo va bene, anche se hai scritto male l’equazione per m_1.
Giusto, ho corretto.
"Shackle":
Il secondo: se le tre masse sono in quiete tra loro, puoi dire che:
$ a =F/(m_1+m_2+M) $
Ma non basta...
A questo punto sono abbastanza convinto che non vada bene il modo in cui l'ho risolto, vorrei capire che errori ho commesso per non rifarli.. L'equazione per $m_2$, cioè $T=m_2g$, penso possa andare, ma quella per $m_1$ non sono convinto per niente.
Io direi che $T= m_1a$ , e poi $T=m_2g$ , così ricavi $F$
"Shackle":
Io direi che $ T= m_1a $ , e poi $ T=m_2g $ , così ricavi $ F $
Questa cosa non l’ho ben capita.. quando il sistema accelera la massa 1 non è sottoposta ad una forza apparente verso sinistra? Avrei detto, quasi senza dubbi, che il sistema è non inerziale..
Il blocco $M$ è accelerato rispetto al piano fisso, quindi è un riferimento non inerziale. Però, siccome:
$a_a=a_r+a_t$
(Coriolis è nulla), e l’accelerazione relativa di $m_1$ è nulla , la sua accelerazione assoluta è uguale a quella di trascinamento . È sempre così. Pensa a quando sei seduto in una macchina che accelera . Tu dici che una forza ( apparente!) di trascinamento $-ma_t$ ti schiaccia sul sedile ma il sedile reagisce con una forza uguale e contraria, per cui rimani in quiete sul sedile.
Io, che ti osservo da terra, dico invece che, per inerzia, tu vorresti continuare a muoverti a velocità costante (o rimanere in quiete rispetto a terra, se l’auto accelera da ferma), ma l’auto agisce su di te con la forza vera esercitata dal sedile.
$a_a=a_r+a_t$
(Coriolis è nulla), e l’accelerazione relativa di $m_1$ è nulla , la sua accelerazione assoluta è uguale a quella di trascinamento . È sempre così. Pensa a quando sei seduto in una macchina che accelera . Tu dici che una forza ( apparente!) di trascinamento $-ma_t$ ti schiaccia sul sedile ma il sedile reagisce con una forza uguale e contraria, per cui rimani in quiete sul sedile.
Io, che ti osservo da terra, dico invece che, per inerzia, tu vorresti continuare a muoverti a velocità costante (o rimanere in quiete rispetto a terra, se l’auto accelera da ferma), ma l’auto agisce su di te con la forza vera esercitata dal sedile.
Ok forse ho capito cosa non mi torna, come giustamente hai detto l'accelerazione assoluta della massa $m_1$ è uguale a quella di trascinamento, perché è ferma rispetto a $M$. Quello che mi turba e che mi ha portato a scrivere queste equazioni è l'assenza di attrito. Le due masse sono inizialmente ferme, se imprimo una forza su $M$ essa inizia ad accelerare, e, non essendoci attrito, mi immagino che la massa $m_1$ inizi a scivolare.
Cerco di spiegarmi meglio, immaginiamo di avere solo le masse $M$ e $m_1$, sul sistema non sono applicate forze e gli attriti sono trascurabili, quindi applico una forza $F$ su $M$, in questo caso $m_1$ non subisce forze? Non riesco a capire, anche per il fatto che alcuni esercizi trattano proprio questo sistema, chiedendo l'attrito minimo tra le due masse per impedire a $m_1$ di cadere..
Cerco di spiegarmi meglio, immaginiamo di avere solo le masse $M$ e $m_1$, sul sistema non sono applicate forze e gli attriti sono trascurabili, quindi applico una forza $F$ su $M$, in questo caso $m_1$ non subisce forze? Non riesco a capire, anche per il fatto che alcuni esercizi trattano proprio questo sistema, chiedendo l'attrito minimo tra le due masse per impedire a $m_1$ di cadere..
Qui si vuole trovare la forza F giusta, per assicurare che le tre masse rimangano in quiete relativa durante l’accelerazione. Non essendoci attrito, se applichiamo una forza inferiore a quella giusta la massa sospesa tira giù la massa di sopra; se applichiamo una forza superiore a quella giusta, è la massa di sopra che scivola indietro e tira quella sospesa.
Se ci fossero solo due masse , M ed $m_1$, senza attrito quella di sopra rimane nello stato di moto iniziale rispetto al suolo; con attrito, questo dev’essere sufficiente ad evitare lo scivolamento , quindi l’accelreazione deve essere inferiore a $\mug$.
Se ci fossero solo due masse , M ed $m_1$, senza attrito quella di sopra rimane nello stato di moto iniziale rispetto al suolo; con attrito, questo dev’essere sufficiente ad evitare lo scivolamento , quindi l’accelreazione deve essere inferiore a $\mug$.
"Shackle":
Se ci fossero solo due masse , M ed $m_1$, senza attrito quella di sopra rimane nello stato di moto iniziale rispetto al suolo
Nel senso che $m_1$ si muove solidalmente con $M$ o che "scivola" su di essa per poi cadere perché inizialmente era ferma rispetto al suolo?
E' questo che non capisco, se $M$ e $m_1$ sono inizialmente in quiete e $M$ (non l'intero sistema) subisce una forza $F$ verso una direzione, non essendoci vincoli tra le due masse come posso affermare che esse si muovono solidalmente? Per intendersi, se fossi nella macchina che accelera, ma non fossi tenuto fermo dal sedile o dall'attrito, sentirei una forza apparente che mi spinge indietro. Allo stesso modo se l'auto decelera vengo spinto in avanti, tornando al sistema delle due masse mi viene quindi da pensare che se il sistema si muove con velocità costante e decelera la massa $m_1$ subisce una forza apparente che lo "spinge" in avanti, mentre se il sistema accelera $m_1$ subisce una forza che lo "spinge" indietro.
Se chiedo aiuto per capire questo problema è perché dopo aver fatto diversi esercizi sui sistemi non inerziali (tipo l'aereo che decolla, l'autobus che frena, ...) questa situazione mi ha davvero confuso, mi sembrano cose contrastanti..
Ti ringrazio per l'aiuto
Supponiamo che ci siano solo due masse, la $M$ di sotto, poggiata sul piano orizzontale liscio, cioè senza alcuna forza di attrito in ogni condizione di moto ; la $m_1$ poggiata sopra $M$ , la cui superficie è anch’essa liscia. Perciò, se inizialmente il sistema è in quiete, e viene applicata ad $M$ una forza $vecF$ parallela al piano, la massa $M$ si piglia tutta la forza, e la sua accelerazione rispetto al piano è:
$veca =(vecF)/M$
La massa $m_1$ non si muove rispetto al piano orizzontale, il suo diagramma di corpo libero è sempre lo stesso, costituito da peso e reazione normale che si fanno equilibrio; fino a che $M$ si sfila del tutto da sotto, e $m_1$ cade giù in verticale.
Per rispondere alla tua prima domanda: se non c’è attrito, non si muovono mica solidalmente!
Corretto!
$veca =(vecF)/M$
La massa $m_1$ non si muove rispetto al piano orizzontale, il suo diagramma di corpo libero è sempre lo stesso, costituito da peso e reazione normale che si fanno equilibrio; fino a che $M$ si sfila del tutto da sotto, e $m_1$ cade giù in verticale.
Per rispondere alla tua prima domanda: se non c’è attrito, non si muovono mica solidalmente!
Allo stesso modo se l'auto decelera vengo spinto in avanti, tornando al sistema delle due masse mi viene quindi da pensare che se il sistema si muove con velocità costante e decelera la massa m1 subisce una forza apparente che lo "spinge" in avanti, mentre se il sistema accelera m1 subisce una forza che lo "spinge" indietro.
Corretto!
Ok quindi tornando al problema iniziale, nel sistema di riferimento solidale con le masse che si muovono $m_1$ risente di una forza apparente, ma è fermo, quindi la sua equazione di moto è $T-F_a=0$, mentre nel sistema esterno inerziale $m_1$ non è sottoposto a forze apparenti e si muove con la stessa accelerazione di $M$, la sua equazione di moto è quindi $m_1a=T$, credo di aver capito.. Ora vorrei capire come mai, essendo specificato che la forza $F$ è applicata su $M$, non scriviamo $F=Ma$, ma $F=(m_1+m_2+M)a$. Capisco che il sistema si muove solidalmente, ma queste masse non sono vincolate tra di loro, o posso considerarle tali (cioè come un blocco unico) se il moto relativo tra esse è nullo?
Il sistema si muove solidalmente, perché la massa $M$ spinge la puleggia in alto a destra, e questa trasmette la stessa forza T alle altre due masse, tramite il filo. Come ti ho già detto, dobbiamo cercare il valore “giusto “ della forza, che assicuri la quiete relativa delle due masse rispetto ad M . Ti direi di non perdere ancora tempo su questo punto, la forza cercata è :
$F = g m_2/(m_1)*(m_1+m_2+M)$
Vai avanti.
$F = g m_2/(m_1)*(m_1+m_2+M)$
Vai avanti.
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