Esercizio di dinamica
Ciao atutti ho questo problema di dinamica su cui ho dei dubbi
una pallina di massa m è libera di muoversei senza attrito all'interno di una scanalatura o guida radiale situata lungo un raggio di una piattaforma circolare che ruota in un piano orizzontale con velocità angolare costante $omega$.All'istante iniziale la pallina è ferma rispetto la piattaforma è si trova nel punto di ascissa radiale x_0=1/4r.Nel sistema fisso l'unica forza orizzontale agente sulla pallina è la reazione vincolare della parete della guida varibile con la posizione della pallina ed incognita.Il moto è completamente determinato da qusta forza di cui non sappiamo nulla .Ma possiamo considerare il moto relativo.
a)quanto vale la forza centrifuga lungo l'asse x?(primo dubbio asse x del sistema centrato sul disco o asse x del sistema fisso?)
nel primo caso sarebbe $F_c=-omega^2R$ ma cmq dovrei specificare la distanza dal centro
nel secondo caso è piu complicata mi trovo infatti un equazione differenziale
b)calcolare velocità relativa della pallina quando giunge nel punto di ascissa x_1=3/4 r ?qui la pallina dovrebbe avere una componente radiale ed una di trascinamento .La seconda posso facilmente calcolarla ,la prima posso farlo con il teorema del lavoro con $ L=1/2*m*omega^2(x_1^2-x_0^2)=1/2mv^2$.Poi dovrei sommare le due velocità in quadratura
c)come ricavare la reazione vincolare R?quanto vale in x_1?Non è uguale ed opposta all'accelerazione di coriolis?
grazie
una pallina di massa m è libera di muoversei senza attrito all'interno di una scanalatura o guida radiale situata lungo un raggio di una piattaforma circolare che ruota in un piano orizzontale con velocità angolare costante $omega$.All'istante iniziale la pallina è ferma rispetto la piattaforma è si trova nel punto di ascissa radiale x_0=1/4r.Nel sistema fisso l'unica forza orizzontale agente sulla pallina è la reazione vincolare della parete della guida varibile con la posizione della pallina ed incognita.Il moto è completamente determinato da qusta forza di cui non sappiamo nulla .Ma possiamo considerare il moto relativo.
a)quanto vale la forza centrifuga lungo l'asse x?(primo dubbio asse x del sistema centrato sul disco o asse x del sistema fisso?)
nel primo caso sarebbe $F_c=-omega^2R$ ma cmq dovrei specificare la distanza dal centro
nel secondo caso è piu complicata mi trovo infatti un equazione differenziale
b)calcolare velocità relativa della pallina quando giunge nel punto di ascissa x_1=3/4 r ?qui la pallina dovrebbe avere una componente radiale ed una di trascinamento .La seconda posso facilmente calcolarla ,la prima posso farlo con il teorema del lavoro con $ L=1/2*m*omega^2(x_1^2-x_0^2)=1/2mv^2$.Poi dovrei sommare le due velocità in quadratura
c)come ricavare la reazione vincolare R?quanto vale in x_1?Non è uguale ed opposta all'accelerazione di coriolis?
grazie
Risposte
a) La forza centrifuga è una forza apparente tipica di un sistema non inerziale, quindi ha senso parlarne solo se ci si riferisce ad un asse x solidale con la guida in rotazione con velocità angolare $omega$
Non credo tu debba specificare la distanza dal centro: tale distanza è variabile, quindi si puà indicare semplicemente con $R$
(Il versore radiale di solito si prende uscente, quindi ti conviene prendere $F_c$ positiva)
b)Per velocità "relativa" si intende quella che la pallina ha rispetto al sistema non inerziale, quindi c'è una sola componente parallela al raggio; la pallina, cioè, in questo sistema si muove su un segmento di retta (le due componenti ci sarebbero se si volesse calcolare la velocità in un sistema inerziale "fisso").
La forza centrifuga è centrale, quindi è conservativa; si può perciò definire un' energia potenziale tale che
$F_c = - (dU)/(dr)$
Quindi si ha $U = - (omega^2 r^2)/2$
Conoscendo le posizioni iniziale e finale si può imporre $W = - Delta U$, da cui si ricava il lavoro; successivamente si impone $W = Delta E_k$ da cui si ricava la velocità "finale" (sapendo che quella iniziale è nulla).
c)Si, la reazione è uguale ed opposta alla forza di Coriolis.
Non credo tu debba specificare la distanza dal centro: tale distanza è variabile, quindi si puà indicare semplicemente con $R$
(Il versore radiale di solito si prende uscente, quindi ti conviene prendere $F_c$ positiva)
b)Per velocità "relativa" si intende quella che la pallina ha rispetto al sistema non inerziale, quindi c'è una sola componente parallela al raggio; la pallina, cioè, in questo sistema si muove su un segmento di retta (le due componenti ci sarebbero se si volesse calcolare la velocità in un sistema inerziale "fisso").
La forza centrifuga è centrale, quindi è conservativa; si può perciò definire un' energia potenziale tale che
$F_c = - (dU)/(dr)$
Quindi si ha $U = - (omega^2 r^2)/2$
Conoscendo le posizioni iniziale e finale si può imporre $W = - Delta U$, da cui si ricava il lavoro; successivamente si impone $W = Delta E_k$ da cui si ricava la velocità "finale" (sapendo che quella iniziale è nulla).
c)Si, la reazione è uguale ed opposta alla forza di Coriolis.
"VINX89":
a) La forza centrifuga è una forza apparente tipica di un sistema non inerziale, quindi ha senso parlarne solo se ci si riferisce ad un asse x solidale con la guida in rotazione con velocità angolare $omega$
Non credo tu debba specificare la distanza dal centro: tale distanza è variabile, quindi si puà indicare semplicemente con $R$
(Il versore radiale di solito si prende uscente, quindi ti conviene prendere $F_c$ positiva)
b)Per velocità "relativa" si intende quella che la pallina ha rispetto al sistema non inerziale, quindi c'è una sola componente parallela al raggio; la pallina, cioè, in questo sistema si muove su un segmento di retta (le due componenti ci sarebbero se si volesse calcolare la velocità in un sistema inerziale "fisso").
La forza centrifuga è centrale, quindi è conservativa; si può perciò definire un' energia potenziale tale che
$F_c = - (dU)/(dr)$
Quindi si ha $U = - (omega^2 r^2)/2$
Conoscendo le posizioni iniziale e finale si può imporre $W = - Delta U$, da cui si ricava il lavoro; successivamente si impone $W = Delta E_k$ da cui si ricava la velocità "finale" (sapendo che quella iniziale è nulla).
c)Si, la reazione è uguale ed opposta alla forza di Coriolis.
grazie solo una cosa $U = - (omega^2 r^2)/2$ non dovrebbe essere $U = - m(omega^2 r^2)/2$ ?
Si... la forza centrifuga è $F_c = m omega^2 r$, non $F_c = omega^2 r$ !!!
salve, scusate se resuscito questo post, l'ho trovato durante una ricerca.
dunque vorrei chiedervi un'opinione riguardo una variante di questo esercizio. supponiamo che la giostra su cui è posizionata la pallina non sia mossa da alcun motore, ma sia semplicemente in moto a velocità angolare $\Omega$.
Ad un tratto la pallina è lasciata libera di scorrere dalla sua posizione radiale iniziale $r$ fino ad una posizione $R$. Assumo che, per effetto della forza centrifuga, questa pallina migri verso l'esterno. La giostra, prevedibilmente, dovrebbe rallentare sino a velocità angolare $\omega$, per effetto "ballerina".
Ora, io mi faccio sto conto: non intervengono forze o momenti esterni, quindi vale la conservazione del momento angolare:
$mr^2\Omega=mR^2\omega\Rightarrow\omega=\frac{r}{R}\Omega$.
Per questo motivo, il lavoro della forza centrifuga sulla pallina, per farla passare da $r$ ad $R$, dovrebbe essere:
$dL=F_c\cdot dr=mr^2\omega(r)dr\Rightarrow L=\int_r^Rmr^2\omega(r)dr=\frac{m\Omega^2}{6R^4}(R^6-r^6)>0$.
Facendomi due conti, ammesso che non abbia disimparato a fare integrali, a me viene un lavoro positivo. Questo è in accordo col fatto che la forza centrifuga sposta in avanti la pallina, nel suo verso insomma. Tutto ciò sembrerebbe vero, ma non saprei dire davvero se lo è. Infatti, se calcolassimo l'energia cinetica della pallina, scopriremmo che da $r$ ad $R$ diminuisce:
$T_r=\frac 1 2 mr^2\Omega^2,\ T_R=\frac 1 2 mR^2\omega^2\Rightarrow T_R-T_r=\frac 1 2 mr^2\Omega^2(\frac{r^2}{R^2}-1)<0$
Com'è possibile che effettuando un lavoro POSITIVO sulla pallina, la sua energia cinetica diminuisca? dovrebbe per lo meno aumentare..di che cosa mi sto scordando?
dunque vorrei chiedervi un'opinione riguardo una variante di questo esercizio. supponiamo che la giostra su cui è posizionata la pallina non sia mossa da alcun motore, ma sia semplicemente in moto a velocità angolare $\Omega$.
Ad un tratto la pallina è lasciata libera di scorrere dalla sua posizione radiale iniziale $r$ fino ad una posizione $R$. Assumo che, per effetto della forza centrifuga, questa pallina migri verso l'esterno. La giostra, prevedibilmente, dovrebbe rallentare sino a velocità angolare $\omega$, per effetto "ballerina".
Ora, io mi faccio sto conto: non intervengono forze o momenti esterni, quindi vale la conservazione del momento angolare:
$mr^2\Omega=mR^2\omega\Rightarrow\omega=\frac{r}{R}\Omega$.
Per questo motivo, il lavoro della forza centrifuga sulla pallina, per farla passare da $r$ ad $R$, dovrebbe essere:
$dL=F_c\cdot dr=mr^2\omega(r)dr\Rightarrow L=\int_r^Rmr^2\omega(r)dr=\frac{m\Omega^2}{6R^4}(R^6-r^6)>0$.
Facendomi due conti, ammesso che non abbia disimparato a fare integrali, a me viene un lavoro positivo. Questo è in accordo col fatto che la forza centrifuga sposta in avanti la pallina, nel suo verso insomma. Tutto ciò sembrerebbe vero, ma non saprei dire davvero se lo è. Infatti, se calcolassimo l'energia cinetica della pallina, scopriremmo che da $r$ ad $R$ diminuisce:
$T_r=\frac 1 2 mr^2\Omega^2,\ T_R=\frac 1 2 mR^2\omega^2\Rightarrow T_R-T_r=\frac 1 2 mr^2\Omega^2(\frac{r^2}{R^2}-1)<0$
Com'è possibile che effettuando un lavoro POSITIVO sulla pallina, la sua energia cinetica diminuisca? dovrebbe per lo meno aumentare..di che cosa mi sto scordando?
Il tuo calcolo non tiene conto di diverse cose.
Per prima cosa la pedana diminuisce la sua velocità angolare in modo significativo solo se la sua massa è paragonabile a quella della pallina. Devi tenere conto che il momento angolare si conserva solo in senso globale, cioè sommando quello della pallina più quello della piattaforma. Dunque verosimilmente la piattaforma non rallenta affatto o quasi. Pensiamola costante tanto per semplificare un po' la trattazione.
In secondo luogo la velocità della pallina non è uguale a quella angolare moltiplicata per il raggio, quella è solo la velocità di trascinamento del luogo dove la pallina si trova, ma la pallina assume anche una velocità relativa diversa da zero rispetto alla piattaforma.
Dunque quando calcoli il lavoro come integrale della forza centrifuga questo dà luogo proprio all'energia cinetica calcolata usando la sola velocità relativa, nell'espressione della quale, dunque, la velocità angolare della piattaforma, per quanto detto, è una costante o quasi e quindi rimane fuori dall'integrale.
Per prima cosa la pedana diminuisce la sua velocità angolare in modo significativo solo se la sua massa è paragonabile a quella della pallina. Devi tenere conto che il momento angolare si conserva solo in senso globale, cioè sommando quello della pallina più quello della piattaforma. Dunque verosimilmente la piattaforma non rallenta affatto o quasi. Pensiamola costante tanto per semplificare un po' la trattazione.
In secondo luogo la velocità della pallina non è uguale a quella angolare moltiplicata per il raggio, quella è solo la velocità di trascinamento del luogo dove la pallina si trova, ma la pallina assume anche una velocità relativa diversa da zero rispetto alla piattaforma.
Dunque quando calcoli il lavoro come integrale della forza centrifuga questo dà luogo proprio all'energia cinetica calcolata usando la sola velocità relativa, nell'espressione della quale, dunque, la velocità angolare della piattaforma, per quanto detto, è una costante o quasi e quindi rimane fuori dall'integrale.
vabbe supponiamo che la pedana sia assolutamente senza peso. che non abbia inerzia. forse è un'assunzione troppo forte, ma che ci importa..in compenso ho scoperto una cosa: includendo il lavoro della forza di coriolis torna tutto. è come se la pedana esercitasse una forza che, invece di lasciar partire la pallina per la tangente, ne fissasse il moto su di un'orbita tale per cui, nel sistema di riferimento solidale con la pedana, il moto della pallina è solo radiale. ti sembra razionale come cosa?
"freeware":
vabbe supponiamo che la pedana sia assolutamente senza peso. che non abbia inerzia. forse è un'assunzione troppo forte, ma che ci importa..in compenso ho scoperto una cosa: includendo il lavoro della forza di coriolis torna tutto. è come se la pedana esercitasse una forza che, invece di lasciar partire la pallina per la tangente, ne fissasse il moto su di un'orbita tale per cui, nel sistema di riferimento solidale con la pedana, il moto della pallina è solo radiale. ti sembra razionale come cosa?
Quello che si può dire è che se la pedana ha massa zero la pallina ha moto solo radiale (nel sistema relativo) e la sua energia si conserva (nel sistema assoluto), nel senso che passa da essere puramente traslazionale a tralazionale e rotazionale insieme. Infatti il puro rotolamento della pallina sulla pedana non consuma energia, e nemmeno c'è trasferimento di energia dalla pedana alla pallina visto che la pedana non ha energia essendo a massa nulla.
In secondo luogo la forza di Coriolis non fa lavoro perché è ortogonale alla velocità (nel sistema relativo), dunque l'unica forza da considerare è quella centrifuga.
Noto infine che questo problema è oggettivamente difficile, quando l'ho risolto anni fa in un forum delle olimpiadi di fisica ho ricevuto un sacco di obiezioni (e il caso era più facile perché la pedana andava a omega costante).
ma se nel sistema assoluto l'energia si conserva, oltre alla variazione di energia cinetica ed al lavoro della forza centrifuga, di cosa devo tenere conto? io nel sistema assoluto terrei conto del lavoro della reazione vincolare della pedana, solo tangenziale e pari a quello della forza di coriolis, perché vincola la pallina su una traiettoria precisa. la tua obiezione sul lavoro della forza di coriolis è sacrosanto ma nel sistema di riferimento relativo. in quello assoluto, a causa della reazione vincolare, a me verrebbe di dire che devo tenerne conto. Tu pensi che debba comunque ignorarlo?
"freeware":
ma se nel sistema assoluto l'energia si conserva, oltre alla variazione di energia cinetica ed al lavoro della forza centrifuga, di cosa devo tenere conto? io nel sistema assoluto terrei conto del lavoro della reazione vincolare della pedana, solo tangenziale e pari a quello della forza di coriolis, perché vincola la pallina su una traiettoria precisa. la tua obiezione sul lavoro della forza di coriolis è sacrosanto ma nel sistema di riferimento relativo. in quello assoluto, a causa della reazione vincolare, a me verrebbe di dire che devo tenerne conto. Tu pensi che debba comunque ignorarlo?
Nel sistema assoluto la forza di Coriolis non esiste, esiste solo la forza reattiva esercitata dai vincoli.
Allora il centro della pedana dove questa è incernierata non fa lavoro perché la forza del vincolo non sposta il punto di applicazione. E nemmeno l'attrito statico della pedana sulla pallina fa lavoro per lo stesso motivo (la parola statico spiega da sola il fenomeno). Dunque l'energia si sposta soltanto da traslazionale a rotazionale, ma complessivamente rimane inalterata.
veramente una reazione vincolare io la vedrei: se la pallina percorre una traiettoria radiale nel sistema di riferimento relativo, ossia una traiettoria non perfettamente rettilinea nel sistema di riferimento assoluto, allora vuol dire che una qualche forza agisce sulla pallina. La forza di coriolis, nel sistema di riferimento relativo, è bilanciata dalla reazione vincolare tangenziale della pedana, la quale dunque compie un lavoro. Secondo me, l'unico modo per far procedere in direzione puramente radiale una pallina nel sistema di riferimento relativo è posizionarla su un binario, che quindi esercita una reazione vincolare tangenziale. Tu dici che non compie un lavoro?
Le forze non sempre compiono lavoro.
Nel sistema assoluto la traiettoria è curva perché la pallina è soggetta a una forza centrale che però non altera l'energia cinetica.
Facciamo un esempio diverso: un satellite che ruota attorno a un pianeta. In quel caso la forza centrale compie lavoro e questo lavoro altera l'energia cinetica. Questo lavoro si esprime anche come differenza di energia potenziale nel campo gravitazionale del pianeta, e il satellite assume energia cinetica o ne cede in funzione della sua distanza dal pianeta ovvero della sua energia potenziale.
Qui il caso è diverso, nel sistema assoluto non c'è energia potenziale, è tutta cinetica, le forze in atto non compino lavoro perché il punto di applicazione della forza rimane fisso nello spazio. Dunque l'energia cinetica resta costante, passa solo dalla forma traslatoria a quella rotatoria.
Nel sistema relativo invece esiste un campo gravitazionale, anche se solo apparente: il campo centrifugo.
Se la piattaforma avesse massa e ci fosse una rotaia radiale liscia che costringesse la pallina a percorrerla, l'energia cinetica si potrebbe calcolare facilmente integrando la sola forza centrifuga, perché la reazione trasversale della rotaia liscia, che contrasta la forza di Coriolis, non fa lavoro come non lo fa nessun vincolo liscio. In questo caso la pallina acquisterebbe energia cinetica, e lo farebbe a scapito dell'energia cinetica della piattaforma che così rallenterebbe. Ma il sistema totale piattaforma + pallina conserverebbe la sua energia cinetica complessiva nel sistema assoluto.
Se poi ci fosse un motore che costringesse la piattaforma a mantenere costante la sua velocità angolare, l'energia cinetica della pallina aumenterebbe a spese dell'energia del motore, essendo l'energia cinetica della piattaforma costante nel sistema assoluto.
Nel sistema assoluto la traiettoria è curva perché la pallina è soggetta a una forza centrale che però non altera l'energia cinetica.
Facciamo un esempio diverso: un satellite che ruota attorno a un pianeta. In quel caso la forza centrale compie lavoro e questo lavoro altera l'energia cinetica. Questo lavoro si esprime anche come differenza di energia potenziale nel campo gravitazionale del pianeta, e il satellite assume energia cinetica o ne cede in funzione della sua distanza dal pianeta ovvero della sua energia potenziale.
Qui il caso è diverso, nel sistema assoluto non c'è energia potenziale, è tutta cinetica, le forze in atto non compino lavoro perché il punto di applicazione della forza rimane fisso nello spazio. Dunque l'energia cinetica resta costante, passa solo dalla forma traslatoria a quella rotatoria.
Nel sistema relativo invece esiste un campo gravitazionale, anche se solo apparente: il campo centrifugo.
Se la piattaforma avesse massa e ci fosse una rotaia radiale liscia che costringesse la pallina a percorrerla, l'energia cinetica si potrebbe calcolare facilmente integrando la sola forza centrifuga, perché la reazione trasversale della rotaia liscia, che contrasta la forza di Coriolis, non fa lavoro come non lo fa nessun vincolo liscio. In questo caso la pallina acquisterebbe energia cinetica, e lo farebbe a scapito dell'energia cinetica della piattaforma che così rallenterebbe. Ma il sistema totale piattaforma + pallina conserverebbe la sua energia cinetica complessiva nel sistema assoluto.
Se poi ci fosse un motore che costringesse la piattaforma a mantenere costante la sua velocità angolare, l'energia cinetica della pallina aumenterebbe a spese dell'energia del motore, essendo l'energia cinetica della piattaforma costante nel sistema assoluto.
ho capito cosa dici. A me però non tornano i conti: se calcolo la variazione di energia cinetica della pallina, tale variazione in modulo è uguale al lavoro della forza centrifuga, ma ha il segno sbagliato. Ti riassumo brevemente cosa mi viene:
se suppongo la conservazione del momento angolare della pallina, lasciandola libera di migrare verso l'esterno su una traiettoria esclusivamente radiale nel sistema di riferimento relativo, l'energia cinetica mi diminuisce, mentre il lavoro della forza centrifuga viene positivo. Questo mi turba: se il lavoro è positivo, perché l'energia cinetica diminuisce?
se suppongo la conservazione del momento angolare della pallina, lasciandola libera di migrare verso l'esterno su una traiettoria esclusivamente radiale nel sistema di riferimento relativo, l'energia cinetica mi diminuisce, mentre il lavoro della forza centrifuga viene positivo. Questo mi turba: se il lavoro è positivo, perché l'energia cinetica diminuisce?
"freeware":
ho capito cosa dici. A me però non tornano i conti: se calcolo la variazione di energia cinetica della pallina, tale variazione in modulo è uguale al lavoro della forza centrifuga, ma ha il segno sbagliato. Ti riassumo brevemente cosa mi viene:
se suppongo la conservazione del momento angolare della pallina, lasciandola libera di migrare verso l'esterno su una traiettoria esclusivamente radiale nel sistema di riferimento relativo, l'energia cinetica mi diminuisce, mentre il lavoro della forza centrifuga viene positivo. Questo mi turba: se il lavoro è positivo, perché l'energia cinetica diminuisce?
Penso che semplicemente hai sbagliato i calcoli.
In primo luogo non capisco come e se hai tenuto conto della rotazione della pallina. Probabilmente l'hai considerata un punto materiale su una rotaia, e questo va bene per semplificare i calcoli altrimenti il problema è troppo complicato.
In questo caso l'energia cinetica traslazionale della pallina deve rimanere inalterata nel sistema assoluto.
Nel sistema relativo invece aumenta, però in questo caso devi considerare la sola velocità radiale, che puoi calcolare proprio con l'integrale della forza centrifuga. Non può venire un integrale negativo perché la forza è nella stessa direzione dello spostamento, e l'energia cinetica aumenta in ragione di questo lavoro. Per avere un riscontro dovresti considerare il moto della pallina nel sistema assoluto e fare i corrispondenti cambi di sistema di riferimento, non credo che tu l'abbia fatto. Nel sistema assoluto la pallina si muove in linea retta perché la pedana è senza massa dunque non oppone nessun vincolo. La traiettoria in linea retta conserva infatti il momento angolare. La traiettoria sarebbe curva solo pensando al rotolamento della pallina, ma questo è un caso troppo complicato e quindi l'ho escluso.
allora aspe, rifaccio i calcoli con tutte le ipotesi. per favore, dimmi cosa ne pensi.
La pallina, punto materiale, inizialmente si trova a distanza radiale $r$ dall'asse, rotante a velocità angolare $\Omega$. Viene sbloccata e lasciata libera di muoversi RADIALMENTE nel sistema di riferimento relativo. Nessun momento esterno interviene. La pallina si ferma ad una distanza radiale $R$ data, con velocità angolare $\omega$, da calcolare. Si ferma e basta, niente attriti, nulla di nulla, sbatte contro un fermo.
1) assumo la conservazione del momento angolare della pallina, non intervenendo alcun momento esterno:
$mr^2\Omega=mR^2\omega\Rightarrow\omega=\frac{r^2}{R^2}\Omega$.
2) calcolo la variazione di energia cinetica nel sistema di riferimento assoluto. L'energia cinetica in $r$ ed in $R$ a me sembra solo rotazionale:
$T_r=\frac{1}{2} I_r\Omega^2=\frac{1}{2}mr^2\Omega^2$
$T_R=\frac{1}{2}I_R\omega^2=\frac{1}{2}mR^2\omega^2=\frac{1}{2}mR^2\frac{r^4}{R^4}\Omega^2=\frac{r^2}{R^2}T_r,$
$\Rightarrow T_R-T_r=T_r(\frac{r^2}{R^2}-1)<0.$
Già non mi torna qualcosa. Nel sistema di riferimento assoluto questa variazione non è nulla.
3) A questo punto io ho pensato: vabbe devo tenere conto della forza centrifuga, che compie lavoro. Questo lavoro lo calcolo così:
$L_c=\int_r^R m\omega^2(r_0)r_0dr_0,$
con
$\omega(r_0)=\frac{r^2}{r_0^2}\Omega.$
Da cui:
$L_c=\int_r^R m\Omega^2\frac{r^4}{r_0^4}r_0dr_0=m\Omega^2r^4\int_r^R r_0^-3dr_0=\frac{m\Omega^2r^4}{-2}\int_r^R -2r_0^-3dr_0=$
$=\frac{m\Omega^2r^4}{2}(r^-2-R^-2)=\frac{1}{2} I_r\Omega^2(1-\frac{r^2}{R^2})>0,$
ok, positivo, lo dicevamo ce lo aspettiamo.
4) a questo punto dovrebbe essere
$T_R-T_r=L_c>0$,
ma già si vede che non viene. Curiosamente, però, si vede che vale
$T_R-T_r=L_c-2L_c$
dove, e io a questo punto penso si tratti di coincidenza, $-2L_c$ vale ESATTAMENTE quanto il lavoro della forza di Coriolis. Mi sembrava razionale, ma a questo punto bho.
La pallina, punto materiale, inizialmente si trova a distanza radiale $r$ dall'asse, rotante a velocità angolare $\Omega$. Viene sbloccata e lasciata libera di muoversi RADIALMENTE nel sistema di riferimento relativo. Nessun momento esterno interviene. La pallina si ferma ad una distanza radiale $R$ data, con velocità angolare $\omega$, da calcolare. Si ferma e basta, niente attriti, nulla di nulla, sbatte contro un fermo.
1) assumo la conservazione del momento angolare della pallina, non intervenendo alcun momento esterno:
$mr^2\Omega=mR^2\omega\Rightarrow\omega=\frac{r^2}{R^2}\Omega$.
2) calcolo la variazione di energia cinetica nel sistema di riferimento assoluto. L'energia cinetica in $r$ ed in $R$ a me sembra solo rotazionale:
$T_r=\frac{1}{2} I_r\Omega^2=\frac{1}{2}mr^2\Omega^2$
$T_R=\frac{1}{2}I_R\omega^2=\frac{1}{2}mR^2\omega^2=\frac{1}{2}mR^2\frac{r^4}{R^4}\Omega^2=\frac{r^2}{R^2}T_r,$
$\Rightarrow T_R-T_r=T_r(\frac{r^2}{R^2}-1)<0.$
Già non mi torna qualcosa. Nel sistema di riferimento assoluto questa variazione non è nulla.
3) A questo punto io ho pensato: vabbe devo tenere conto della forza centrifuga, che compie lavoro. Questo lavoro lo calcolo così:
$L_c=\int_r^R m\omega^2(r_0)r_0dr_0,$
con
$\omega(r_0)=\frac{r^2}{r_0^2}\Omega.$
Da cui:
$L_c=\int_r^R m\Omega^2\frac{r^4}{r_0^4}r_0dr_0=m\Omega^2r^4\int_r^R r_0^-3dr_0=\frac{m\Omega^2r^4}{-2}\int_r^R -2r_0^-3dr_0=$
$=\frac{m\Omega^2r^4}{2}(r^-2-R^-2)=\frac{1}{2} I_r\Omega^2(1-\frac{r^2}{R^2})>0,$
ok, positivo, lo dicevamo ce lo aspettiamo.
4) a questo punto dovrebbe essere
$T_R-T_r=L_c>0$,
ma già si vede che non viene. Curiosamente, però, si vede che vale
$T_R-T_r=L_c-2L_c$
dove, e io a questo punto penso si tratti di coincidenza, $-2L_c$ vale ESATTAMENTE quanto il lavoro della forza di Coriolis. Mi sembrava razionale, ma a questo punto bho.
"freeware":
allora aspe, rifaccio i calcoli con tutte le ipotesi. per favore, dimmi cosa ne pensi.
La pallina, punto materiale, inizialmente si trova a distanza radiale $r$ dall'asse, rotante a velocità angolare $\Omega$. Viene sbloccata e lasciata libera di muoversi RADIALMENTE nel sistema di riferimento relativo. Nessun momento esterno interviene. La pallina si ferma ad una distanza radiale $R$ data, con velocità angolare $\omega$, da calcolare. Si ferma e basta, niente attriti, nulla di nulla, sbatte contro un fermo.
1) assumo la conservazione del momento angolare della pallina, non intervenendo alcun momento esterno:
$mr^2\Omega=mR^2\omega\Rightarrow\omega=\frac{r^2}{R^2}\Omega$.
2) calcolo la variazione di energia cinetica nel sistema di riferimento assoluto. L'energia cinetica in $r$ ed in $R$ a me sembra solo rotazionale:
$T_r=\frac{1}{2} I_r\Omega^2=\frac{1}{2}mr^2\Omega^2$
$T_R=\frac{1}{2}I_R\omega^2=\frac{1}{2}mR^2\omega^2=\frac{1}{2}mR^2\frac{r^4}{R^4}\Omega^2=\frac{r^2}{R^2}T_r,$
$\Rightarrow T_R-T_r=T_r(\frac{r^2}{R^2}-1)<0.$
Già non mi torna qualcosa. Nel sistema di riferimento assoluto questa variazione non è nulla.
Per stasera mi fermo qui perché ho sonno.
Mi fermo perché c'è qualcosa che non va.
Tu non puoi dire che quando la pallina arriva a R trova un fermo e si arresta, e pretendere che conservi l'energia. Se si arresta su un fermo fa un urto anelastico, dunque perde energia e la trasforma in calore. Dunque quando calcoli l'energia cinetica in quel punto nel modo che hai fatto tu, hai già perso una quota di energia.
Devi invece valutare l'energia cinetica totale quando la pallina arriva a distanza R ma senza fermarla, perché oltre ad avere una velocità trasversale data da $\omegaR$ ha anche una velocità radiale, la quale contribuisce non poco all'energia cinetica, visto che proprio grazie al moto radiale l'energia potenziale offerta dal campo centrifugo si trasforma in cinetica.
Se nel sistema relativo calcolassi l'energia cinetica a pallina ferma a distanza r e a distanza R troveresti sempre zero! dove sarebbe andata l'energia potenziale centrifuga? sarebbe andata persa in calore nell'urto anelastico contro il fermo a distanza R.
accipicchia hai ragione! è un urto anelastico, mi sento un deficiente. Grazie mille! quindi devo solo integrare l'equazione del moto in direzione radiale e vedere cosa succede. E' non lineare mi sembra, io la metto qui, se puoi continuare ad aiutarmi mi fai un favore, altrimenti ti capisco..
$m\ddot r=m\omega^2(r)r$
con $r_0
Mi viene infine:
$r^3\ddot r=r_0^4\Omega^2$.
Quest'ultima non saprei risolverla.
$m\ddot r=m\omega^2(r)r$
con $r_0
Mi viene infine:
$r^3\ddot r=r_0^4\Omega^2$.
Quest'ultima non saprei risolverla.
"freeware":
Mi viene infine:
$r^3\ddot r=r_0^4\Omega$.
Quest'ultima non saprei risolverla.
Prova questa:
\[r\left( t \right) = {r_0}\sqrt {{t^2} + \frac{1}{{{\Omega ^2}}}} \]
1) non si ride della schiappaggine della gente. anche se hai ragione a ridere della mia. quindi puoi. evviva la schiappaggine.
2) non mi viene con quella, anche se (sembrerebbe assurdo, mi viene tutto con:
$r(t)=r_0\sqrt{t^2+\Omega^2}$.
È ancora questione di schiappaggine?
3) dove hai trovato sta cosa? comincio a credere di non aver mai dato fisica 1, e l'esame di averlo solo sognato..
4) una cosa: dimensionalmente $r(t)$ non mi torna, ne come l'hai scritta tu, ne come viene a me. come mai?
5) ho trovato! era: $r(t)=r_0\Omega\sqrt{t^2+\frac{1}{\Omega^2}}$! l'ho capito da solo osservandone le dimensioni. mua ha ha. facendo i conti torna tutto, l'energia cinetica è conservata. grazie mille falco! sarebbe interessante capire cosa succede nel sistema di riferimento relativo. Ora mi ci metterò e continuerò ad ammorbarti. (Per inciso, anche nel sistema di riferimento relativo mi tornano le cose. Con questo considero chiusa la polemica tra me stesso e il buon senso e ti ringrazio ancora)
2) non mi viene con quella, anche se (sembrerebbe assurdo, mi viene tutto con:
$r(t)=r_0\sqrt{t^2+\Omega^2}$.
È ancora questione di schiappaggine?
3) dove hai trovato sta cosa? comincio a credere di non aver mai dato fisica 1, e l'esame di averlo solo sognato..
4) una cosa: dimensionalmente $r(t)$ non mi torna, ne come l'hai scritta tu, ne come viene a me. come mai?
5) ho trovato! era: $r(t)=r_0\Omega\sqrt{t^2+\frac{1}{\Omega^2}}$! l'ho capito da solo osservandone le dimensioni. mua ha ha. facendo i conti torna tutto, l'energia cinetica è conservata. grazie mille falco! sarebbe interessante capire cosa succede nel sistema di riferimento relativo. Ora mi ci metterò e continuerò ad ammorbarti. (Per inciso, anche nel sistema di riferimento relativo mi tornano le cose. Con questo considero chiusa la polemica tra me stesso e il buon senso e ti ringrazio ancora)
"freeware":
1) non si ride della schiappaggine della gente. anche se hai ragione a ridere della mia. quindi puoi. evviva la schiappaggine.
2) non mi viene con quella, anche se (sembrerebbe assurdo, mi viene tutto con:
$r(t)=r_0\sqrt{t^2+\Omega^2}$.
È ancora questione di schiappaggine?
3) dove hai trovato sta cosa? comincio a credere di non aver mai dato fisica 1, e l'esame di averlo solo sognato..
4) una cosa: dimensionalmente $r(t)$ non mi torna, ne come l'hai scritta tu, ne come viene a me. come mai?
5) ho trovato! era: $r(t)=r_0\Omega\sqrt{t^2+\frac{1}{\Omega^2}}$! l'ho capito da solo osservandone le dimensioni. mua ha ha. facendo i conti torna tutto, l'energia cinetica è conservata. grazie mille falco! sarebbe interessante capire cosa succede nel sistema di riferimento relativo. Ora mi ci metterò e continuerò ad ammorbarti. (Per inciso, anche nel sistema di riferimento relativo mi tornano le cose. Con questo considero chiusa la polemica tra me stesso e il buon senso e ti ringrazio ancora)
Vedi che non sei schiappa? mi hai trovato un errore dimensionale!
Ad ogni modo ti voglio confidare un segreto (errore dimensionale a parte, che riguarda solo una costante moltiplicativa).
Sai come ho trovato la soluzione all'equazione differenziale? Io mica sono tanto bravo in matematica.
Semplicemente sono partito dal fatto che nel sistema assoluto la pallina percorre una traiettoria rettilinea a velocità costante e uguale a quella iniziale $\Omegar_0$. Poi con considerazioni geometriche ho scritto l'equazione della distanza r tra il punto sulla retta al tempo t generico e l'origine. E infine ho verificato se questa funzione soddisfaceva all'equazione differenziale. La mia faccina ridente
non era causata dalla tua inettitudine, ma dalla mia trovata che avrebbe sollevato sicuramente la tua meraviglia.Ciao.
considera che ho passato una mezzoretta a verificare che nel sistema assoluto la traiettoria è rettilinea a partire da quella funzione li. il tuo è stato un modo bellissimo di trovarla..
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