Esercizio di cinematica?
Come si fa questo esercizio?
La legge del moto è la seguente:
$x=a*sin (omegat)$ $y=a*cos (2*omegat)$ $z=0$
$ AAt>=0 $ dove $a,omega$ sono due costanti
Studiare il moto dell'elemento.
La legge del moto è la seguente:
$x=a*sin (omegat)$ $y=a*cos (2*omegat)$ $z=0$
$ AAt>=0 $ dove $a,omega$ sono due costanti
Studiare il moto dell'elemento.
Risposte
La Fisica è già finita lì.
Il moto ce l'hai, forse ti chiedono di dire che traiettoria segue il punto nel piano al variare di $a$ e $omega$
Il moto ce l'hai, forse ti chiedono di dire che traiettoria segue il punto nel piano al variare di $a$ e $omega$
Allora, possiamo dire che la posizione
iniziale del punto materiale è il vettore
$r(0) = (0,a,0)$. Quindi all'istante iniziale
il punto si trova a distanza $|a|$ dall'origine
del sistema di riferimento canonico in $RR^3$.
La velocità del punto materiale
calcolata in un generico istante di tempo t
sarà invece il vettore derivata del vettore
$r(t)=(asin(omegat),acos(2omegat),0)$.
La derivata di un vettore è un vettore che
ha per componenti le derivate delle componenti,
quindi $v(t)=(aomegacos(omegat),-2omegaasin(2omegat),0)
che all'istante $t=0$ è il vettore $v(0)=(aomega,0,0)$,
quindi all'istante $t=0$ il punto ha
velocità scalare uguale a $||v(0)||=|aomega|$.
Se vogliamo calcolare l'accelerazione in ogni
punto bisognerà allora calcolare la derivata
di $v(t)$ ed eventualmente vedere quanto vale
il suo modulo per $t=0$ etc.
iniziale del punto materiale è il vettore
$r(0) = (0,a,0)$. Quindi all'istante iniziale
il punto si trova a distanza $|a|$ dall'origine
del sistema di riferimento canonico in $RR^3$.
La velocità del punto materiale
calcolata in un generico istante di tempo t
sarà invece il vettore derivata del vettore
$r(t)=(asin(omegat),acos(2omegat),0)$.
La derivata di un vettore è un vettore che
ha per componenti le derivate delle componenti,
quindi $v(t)=(aomegacos(omegat),-2omegaasin(2omegat),0)
che all'istante $t=0$ è il vettore $v(0)=(aomega,0,0)$,
quindi all'istante $t=0$ il punto ha
velocità scalare uguale a $||v(0)||=|aomega|$.
Se vogliamo calcolare l'accelerazione in ogni
punto bisognerà allora calcolare la derivata
di $v(t)$ ed eventualmente vedere quanto vale
il suo modulo per $t=0$ etc.
Comunque sì, ha ragione Maxos...
Questo se vuoi è un esercizio di Geometria Differenziale...
Si tratta di fare calcoli sulla curva
${(x(t)=asin(omegat)),(y(t)=acos(2omegat)),(z(t)=0):}
Questo se vuoi è un esercizio di Geometria Differenziale...
Si tratta di fare calcoli sulla curva
${(x(t)=asin(omegat)),(y(t)=acos(2omegat)),(z(t)=0):}
mi scrive come risposta oltre a quello scritto da voi, anke la traiettoria e dice che è un arco di parabola. Come ci arrivo all'equazione cartesiana sudetta.
Grazie per le precedenti risposte.
Grazie per le precedenti risposte.
Hai le equazioni parametriche e devi passare
a quelle cartesiane. Dalla prima equazione:
$x=asin(omegat)$ si ricava t:
$t=1/omega arcsin(x/a)
Sostituendo nella seconda si ottiene:
$y=acos(2arcsin(x/a))= - 2/a x^2 + a
a quelle cartesiane. Dalla prima equazione:
$x=asin(omegat)$ si ricava t:
$t=1/omega arcsin(x/a)
Sostituendo nella seconda si ottiene:
$y=acos(2arcsin(x/a))= - 2/a x^2 + a
Naturalmente è un ARCO di parabola
in quanto possiamo invertire il seno
tra $-pi/2$ e $pi/2$ (questo è il solito
intervallo che si sceglie per invertirlo
infatti, ma nulla ci vieta di scegliere
un altro intervallo in cui il seno sia invertibile)
e quindi dobbiamo considerare
$-pi/(2omega) <= t <= pi/(2omega)
che corrisponde a $-a <= x <= a$.
in quanto possiamo invertire il seno
tra $-pi/2$ e $pi/2$ (questo è il solito
intervallo che si sceglie per invertirlo
infatti, ma nulla ci vieta di scegliere
un altro intervallo in cui il seno sia invertibile)
e quindi dobbiamo considerare
$-pi/(2omega) <= t <= pi/(2omega)
che corrisponde a $-a <= x <= a$.
Grazie.
Mi chiede(in un altro esercizio) inoltre di calcolare il moto(la traiettoria) che soddisfano i problemi di cauchy ed è questo.
$dotx=kx$
$doty=ky$
con
$x(0)=-a$
$y(0)=b$
Mi chiede(in un altro esercizio) inoltre di calcolare il moto(la traiettoria) che soddisfano i problemi di cauchy ed è questo.
$dotx=kx$
$doty=ky$
con
$x(0)=-a$
$y(0)=b$
E' un sistema di equazioni differenziali,
peraltro davvero banale in quanto le
due equazioni sono indipendenti tra loro...
Per non parlare delle due equazioni che
compongono il sistema.
Entrambe le equazioni hanno soluzione:
$x(t)=x(0)e^(kt)
$y(t)=y(0)e^(kt)
quindi la legge del moto è
${(x(t)=-ae^(kt)),(y(t)=be^(kt)):}
peraltro davvero banale in quanto le
due equazioni sono indipendenti tra loro...
Per non parlare delle due equazioni che
compongono il sistema.
Entrambe le equazioni hanno soluzione:
$x(t)=x(0)e^(kt)
$y(t)=y(0)e^(kt)
quindi la legge del moto è
${(x(t)=-ae^(kt)),(y(t)=be^(kt)):}
E la equazione della traiettoria la puoi trovare stabilendo una relazione tra x, y partendo dalle equazioni di Fireball ed elimiando il parametro t.
lo scelto semplice apposta.
Come si trova l'esponenziale?
Come si trova l'esponenziale?
"Camillo":
E la equazione della traiettoria la puoi trovare stabilendo una relazione tra x, y partendo dalle equazioni di Fireball ed elimiando il parametro t.
L'equazione cartesiana intendi? Sì, però
di solito dal punto di vista "fisico", è la parametrizzazione
della curva (in funzione di un parametro $t in I$ con $I sube RR$)
quella che dà meglio le indicazioni riguardo
posizione, velocità, accelerazione etc.
E' bene poi ricordare che solo in rari casi
si può passare dalla parametrizzazione di una
curva alla sua equazione cartesiana (naturalmente,
stiamo parlando di curve piane). Un esempio
è la cicloide... Dalle sue equazioni parametriche
è impossibile ricavare quelle cartesiane.
si può passare dalla parametrizzazione di una
curva alla sua equazione cartesiana (naturalmente,
stiamo parlando di curve piane). Un esempio
è la cicloide... Dalle sue equazioni parametriche
è impossibile ricavare quelle cartesiane.
"fireball":
[quote="Camillo"]E la equazione della traiettoria la puoi trovare stabilendo una relazione tra x, y partendo dalle equazioni di Fireball ed elimiando il parametro t.
L'equazione cartesiana intendi? Sì, però
di solito dal punto di vista "fisico", è la parametrizzazione
della curva (in funzione di un parametro $t in I$ con $I sube RR$)
quella che dà meglio le indicazioni riguardo
posizione, velocità, accelerazione etc.[/quote]
Certo, se però voglio visualizzare che curva percorre..
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