Esercizio di cinematica
Ciao a tutti, ho un problema a capire alcune cose di questo problema:
Uno sciatore compie un salto da una rampa inclinata di 15°
rispetto all’orizzontale per poi ricadere lungo un piano inclinato di
45° come mostrato in figura. Sapendo che lo sciatore lascia la
rampa con una velocita’ in modulo pari a V0=10 m/s e trascurando
la resistenza dell’aria, calcolare a che distanza dal punto di lancio
lo sciatore atterra e le componenti della velocita’ nel punto di
atterraggio.
Soluzione:
Fissando l’origine del sistema di riferimento nel punto di lancio dello sciatore si ottiene:
$x(t) = v_{o} * cos(alpha )*t
y(t) = v_{o} *sen(alpha)*t-1/2*g*t^2$
da cui $ y = x*tan(alpha ) - 1/2 *g*x^2/cos^2(alpha)*v_{o}^2 $
L'equazione della traiettoria, insieme all'equazione del piano inclinato y = -x, consente di ricavare l'ascissa del punto di caduta dello sciatore
$ x_{c}= (2*v_{o}^2*(tan(alpha)+1)*cos^2(alpha))/g $ da cui si ottiene $d = x_{c}/cos(vartheta) = 34.11m vartheta = 45$
Per il calcolo delle componenti delle velocita’ nel punto di atterraggio basta ricordare che
$v_{x}(t) = v_{0}*cos(alpha)=9.66 m/s
v_{y}=v_{0}*sin(alpha)-g*t_{c}$
dove tc e’ l’istante dell’atterraggio. Quest’ultimo si ricava imponendo $x(t_{c})=x_{c}$ da cui si ottiene
$t_{c}= (2*v_{o}*(tan(alpha)+1)*cos(alpha))/g = 2.5 s $
$v_{y}(t_{c}) = v_{0}*sin(alpha)-g*t_{c} = 21.9 m/s$
Non capisco, perchè l'equazione del piano inclinato valga $ y = -x$ e poi divide per $cos(vartheta)$.
Altra cosa, non riesco a vedere come ha fatto a togliere i quadrati a $t_{c}$ imponendo $x(t_{c}) = x_{c}$.
Ultima, nella parte di $tan(alpha)+1$, a me invece viene $tan(alpha)*cos^2(alpha)$, erro?
Uno sciatore compie un salto da una rampa inclinata di 15°
rispetto all’orizzontale per poi ricadere lungo un piano inclinato di
45° come mostrato in figura. Sapendo che lo sciatore lascia la
rampa con una velocita’ in modulo pari a V0=10 m/s e trascurando
la resistenza dell’aria, calcolare a che distanza dal punto di lancio
lo sciatore atterra e le componenti della velocita’ nel punto di
atterraggio.
Soluzione:
Fissando l’origine del sistema di riferimento nel punto di lancio dello sciatore si ottiene:
$x(t) = v_{o} * cos(alpha )*t
y(t) = v_{o} *sen(alpha)*t-1/2*g*t^2$
da cui $ y = x*tan(alpha ) - 1/2 *g*x^2/cos^2(alpha)*v_{o}^2 $
L'equazione della traiettoria, insieme all'equazione del piano inclinato y = -x, consente di ricavare l'ascissa del punto di caduta dello sciatore
$ x_{c}= (2*v_{o}^2*(tan(alpha)+1)*cos^2(alpha))/g $ da cui si ottiene $d = x_{c}/cos(vartheta) = 34.11m vartheta = 45$
Per il calcolo delle componenti delle velocita’ nel punto di atterraggio basta ricordare che
$v_{x}(t) = v_{0}*cos(alpha)=9.66 m/s
v_{y}=v_{0}*sin(alpha)-g*t_{c}$
dove tc e’ l’istante dell’atterraggio. Quest’ultimo si ricava imponendo $x(t_{c})=x_{c}$ da cui si ottiene
$t_{c}= (2*v_{o}*(tan(alpha)+1)*cos(alpha))/g = 2.5 s $
$v_{y}(t_{c}) = v_{0}*sin(alpha)-g*t_{c} = 21.9 m/s$
Non capisco, perchè l'equazione del piano inclinato valga $ y = -x$ e poi divide per $cos(vartheta)$.
Altra cosa, non riesco a vedere come ha fatto a togliere i quadrati a $t_{c}$ imponendo $x(t_{c}) = x_{c}$.
Ultima, nella parte di $tan(alpha)+1$, a me invece viene $tan(alpha)*cos^2(alpha)$, erro?
Risposte
Posta un immagine o descrivi meglio il fenomeno.
E' il primo esercizio del primo pdf su questo sito:
http://unina.stidue.net/Fisica%20Genera ... %20Svolti/
http://unina.stidue.net/Fisica%20Genera ... %20Svolti/
Quando hai calcolato la traiettoria hai messo il modulo quadro della velocità iniziale a numeratore al posto del denominatore.
L'equazione del piano inclinato \(y=-x\) perchè è una retta con pendenza \(-1\) passante per l'origine del tuo sistema di riferimento.
L'equazione del piano inclinato \(y=-x\) perchè è una retta con pendenza \(-1\) passante per l'origine del tuo sistema di riferimento.
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