Esercizio di cinematica
Si consideri un proiettile di massa m = 5 g che si muove lungo la direzione positiva dell’asse x con velocità costante v = 10 m/s, passando per l’origine al tempo t =0s. Dal momento in cui giunge nel punto x = 20 m, è soggetto ad una forza diretta nella direzione positiva dell’asse y pari a F = 1,5 N.Trascurando effetti dovuti alla gravità, determinare la posizione del proiettile al tempo t = 4s.
Dev'essere facilissimo ma non so come svolgerlo... Qualche aiuto?
Grazie!
Dev'essere facilissimo ma non so come svolgerlo... Qualche aiuto?
Grazie!
Risposte
Se la forza è costante diretta parallelamente all'asse \(y\) vuol dire che la massa avrà un'accelerazione anch'essa costante parallela allo stesso asse
\[\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}a=\frac{F}{m}\]
integriamo l'accelerazione per trovare il vettore velocità
\[\vec{v}=\vec{v}_{0}+\int^{t}_{0}{\vec{a}dt}=\vec{v}_{0}+\vec{a}\int^{t}_{0}{dt}=\vec{v}_{0}+\vec{a}t=v_{0}\vec{i}+at\vec{j}\]
dal quale osserviamo che
\[v_{x}=v_{0}\hspace{2 cm}v_{y}=at\]
Dopodichè integriamo il vettore velocità per ricavare il raggio vettore
\[\vec{r}=\vec{r}_{0}+\int^{t}_{0}{\vec{v}}=\vec{v}_{0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^{2}=v_{0}t\vec{i}+\frac{1}{2}at^{2}\vec{j}\]
dal quale osserviamo che
\[x=v_{0}t\hspace{2 cm}y=\frac{1}{2}at^{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}y=\frac{a}{2v^{2}_{0}}x^{2}\]
Ricapitolando ricavando le leggi orarie lungo gli assi \(x\) e \(y\) e le velocità lungo gli stessi assi abbiamo scoperto che:
il moto lungo \(x\) è un moto rettilineo uniforme, il moto lungo \(y\) è rettilineo uniformemente accelerato, e la traiettoria è una parabola. Ora utilizza i dati che hai per risolvere l'esercizio.
\[\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}a=\frac{F}{m}\]
integriamo l'accelerazione per trovare il vettore velocità
\[\vec{v}=\vec{v}_{0}+\int^{t}_{0}{\vec{a}dt}=\vec{v}_{0}+\vec{a}\int^{t}_{0}{dt}=\vec{v}_{0}+\vec{a}t=v_{0}\vec{i}+at\vec{j}\]
dal quale osserviamo che
\[v_{x}=v_{0}\hspace{2 cm}v_{y}=at\]
Dopodichè integriamo il vettore velocità per ricavare il raggio vettore
\[\vec{r}=\vec{r}_{0}+\int^{t}_{0}{\vec{v}}=\vec{v}_{0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^{2}=v_{0}t\vec{i}+\frac{1}{2}at^{2}\vec{j}\]
dal quale osserviamo che
\[x=v_{0}t\hspace{2 cm}y=\frac{1}{2}at^{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}y=\frac{a}{2v^{2}_{0}}x^{2}\]
Ricapitolando ricavando le leggi orarie lungo gli assi \(x\) e \(y\) e le velocità lungo gli stessi assi abbiamo scoperto che:
il moto lungo \(x\) è un moto rettilineo uniforme, il moto lungo \(y\) è rettilineo uniformemente accelerato, e la traiettoria è una parabola. Ora utilizza i dati che hai per risolvere l'esercizio.
Non ho ben compreso perche' debba essere integrata l'accelerazione, in questo caso.
Considerando il moto nelle sue componenti orizzontale e verticale, una volta appurato che lungo x il moto e' uniforme mentre lungo y e' uniformemente accelerato a partite da x = 20 (Al tempo t = 2), la posizione del proiettile dovrebbe essere determinata calcolando:
\(\displaystyle
x = x(0) + v_x(0) * 4 = 0 + 10 * 4 = 40 m. \\
y = y(2) + v_y(2) * (4-2) + \frac{1}{2} * \frac{F}{m} * (4-2)^2 = 0 + 0 * 2 + \frac{3}{5} = \frac{3}{5} m.
\)
Considerando il moto nelle sue componenti orizzontale e verticale, una volta appurato che lungo x il moto e' uniforme mentre lungo y e' uniformemente accelerato a partite da x = 20 (Al tempo t = 2), la posizione del proiettile dovrebbe essere determinata calcolando:
\(\displaystyle
x = x(0) + v_x(0) * 4 = 0 + 10 * 4 = 40 m. \\
y = y(2) + v_y(2) * (4-2) + \frac{1}{2} * \frac{F}{m} * (4-2)^2 = 0 + 0 * 2 + \frac{3}{5} = \frac{3}{5} m.
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Se hai studiato non c'è alcun motivo, è un esercizio come hai visto praticamente immediato. Ho semplicemente fatto un ripasso a vlfdj sulla composizione di moti e viceversa.
"MenoInfinito":
Non ho ben compreso perche' debba essere integrata l'accelerazione, in questo caso.
Considerando il moto nelle sue componenti orizzontale e verticale, una volta appurato che lungo x il moto e' uniforme mentre lungo y e' uniformemente accelerato a partite da x = 20 (Al tempo t = 2), la posizione del proiettile dovrebbe essere determinata calcolando:
\(\displaystyle
x = x(0) + v_x(0) * 4 = 0 + 10 * 4 = 40 m. \\
y = y(2) + v_y(2) * (4-2) + \frac{1}{2} * \frac{F}{m} * (4-2)^2 = 0 + 0 * 2 + \frac{3}{5} = \frac{3}{5} m.
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Grazie! Solo una precisazione minima: i 5g della massa vanno trasformati in kg, infatti il risultato è (40, 600)m comunque grazie mille ad entrambi
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