Esercizio di cinematica
Probabilmente il mio quesito è banale e molti inorridiranno a questa mia forse sciocca richiesta. Ma tant'è: ho bisogno di aiuto. 
Mi spiego proponendovi il seguente esercizio:
In uno stretto canale vi è una barca (supposta puntiforme) trainata mediante una fune inestendibile da un uomo, fisso a terra, distante $ a=10 m $ dal canale stesso. Se l'uomo recupera la fune alla velocità costante $ v=1m/s $, determinare la velocità istantanea $ u $ della barca nel canale quando la lunghezza della fune ancora tesa è $ l=20m $.
Ho iniziato a pensare e sono giunto alla conlcusione che avrei dovuto trovare una formuletta che considerasse la lunghezza della corda in funzione del tempo e dello spostamento che la barca nel frattempo eseguiva. Preso dallo sconforto (e, lo ammetto, da un po' di pigrizia) sono andato a sbirchiare la soluzione in fondo al libro rendendomi conto che non ci sarei mai arrivato.
L'autore del libro lo risolve nel seguente modo:
Detta $ l(t) $ la lunghezza della fune tesa all'istante $ t $ e $ l(t+dt) $ quella all'istante successivo $ t+dt $, dall fig. si ha che lo spostamento durante $ dt $ della barca è:
$ dx=1/cosvartheta dl $
Dividendo ambo i membri per $ dt $ si ha:
$ dx/dt=u=1/(cosvartheta)(dl)/dt=v/cosvartheta $
dove $ cosvartheta=root(2)(1-a^2/l^2) $ . Quindi
$ u=v/root(2)(1-a^2/l^2) $
La mia domanda è semplice: perchè usa il coseno?
Mi spiego proponendovi il seguente esercizio:
In uno stretto canale vi è una barca (supposta puntiforme) trainata mediante una fune inestendibile da un uomo, fisso a terra, distante $ a=10 m $ dal canale stesso. Se l'uomo recupera la fune alla velocità costante $ v=1m/s $, determinare la velocità istantanea $ u $ della barca nel canale quando la lunghezza della fune ancora tesa è $ l=20m $.
Ho iniziato a pensare e sono giunto alla conlcusione che avrei dovuto trovare una formuletta che considerasse la lunghezza della corda in funzione del tempo e dello spostamento che la barca nel frattempo eseguiva. Preso dallo sconforto (e, lo ammetto, da un po' di pigrizia) sono andato a sbirchiare la soluzione in fondo al libro rendendomi conto che non ci sarei mai arrivato.
L'autore del libro lo risolve nel seguente modo:
Detta $ l(t) $ la lunghezza della fune tesa all'istante $ t $ e $ l(t+dt) $ quella all'istante successivo $ t+dt $, dall fig. si ha che lo spostamento durante $ dt $ della barca è:
$ dx=1/cosvartheta dl $
Dividendo ambo i membri per $ dt $ si ha:
$ dx/dt=u=1/(cosvartheta)(dl)/dt=v/cosvartheta $
dove $ cosvartheta=root(2)(1-a^2/l^2) $ . Quindi
$ u=v/root(2)(1-a^2/l^2) $
La mia domanda è semplice: perchè usa il coseno?
Risposte
Se guardi la figura si vede bene che (considera il piccolo triangolo rettangolo con ipotenusa $dx$):
\(\displaystyle dx\cos \theta = dl \)
Tieni presente che l'angolo acuto compreso tra $dl$ e $dx$ è opposto al vertice dell'angolo $\theta$ indicato in figura e quindi sono uguali.
\(\displaystyle dx\cos \theta = dl \)
Tieni presente che l'angolo acuto compreso tra $dl$ e $dx$ è opposto al vertice dell'angolo $\theta$ indicato in figura e quindi sono uguali.
Ok grazie! Ho capito. Alla fine era banale, ma se non altro mi si è sbloccata una parte del cervello che si era incantata...
Scusate ma perchè $ cosvartheta=root(2)(1-(a^2) / (l^2)) $ ?
"Sgt. Mat":
Scusate ma perchè...
\(\displaystyle \cos\theta =\sqrt{1-\sin^2\theta} \)
e dal disegno si vede che
\(\displaystyle l\sin\theta =a \) da cui \(\displaystyle \sin\theta=\frac{a}{l} \)
Quindi il fatto che seno é il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, e che il coseno é il rapporto tra il cateto adiacente è l'ipotenusa, può essere usato anche quando i triangoli non sono rettangoli?
"Sgt. Mat":
Quindi il fatto che seno é il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, e che il coseno é il rapporto tra il cateto adiacente è l'ipotenusa, può essere usato anche quando i triangoli non sono rettangoli?
Assolutamente no! Vale solo per i triangoli rettangoli (anche perché se un triangolo non è rettangolo mi spieghi come fai a distinguere i cateti dall'ipotenusa?!
). Il triangolo in figura è rettangolo. Devi considerare il triangolo che ha per lati la distanza $a$, la lunghezza $l$ ed un tratto di canale.
Infatti io ero arrivo a questa conclusione ma non mi sembra un triangolo rettangolo quello formato dai lati $ a $, $ l $ e il tratto del canale che lega $ l $ ad $ a $, proprio perchè quest'ultimo lato non è parallelo al canale se parte dal vertice formato da $ dl $ e $ dx $ e arriva nel punto superiore del segmento a...
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