Esercizio corpo rigido su piano inclinato
Cito il corpo dell'esercizio, che mi sta dando grattacapi: "Una sfera di massa m e raggio R scende con moto di puro rotolamento lungo un piano inclinato; la velocità iniziale è nulla. Calcolare: a) velocità del centro di massa e velocità angolare nell'istante in cui il centro è sceso per un'altezza h su una superficie scabra. Nel tratto successivo il piano inclinato è liscio. Calcolare: b) velocità del centro di massa e velocità angolare dopo un'ulteriore discesa per altezza h, questa volte su superficie liscia."
Sono fermo al punto a. In presenza di una superficie scabra si origina una forza di attrito f, di direzione opposta rispetto alla componente della forza peso parallela al piano inclinato. Tuttavia, stante il fatto che le forze di attrito nel moto di puro rotolamento originano lavoro nullo, ho applicato il principio di conservazione dell'energia meccanica. Il problema si ferma sull'energia cinetica. Io avrei uguagliato l'energia potenziale all'energia cinetica data come prodotto di momento d'inerzia per il quadrato della velocità angolare, mentre il testo suggerisce l'applicazione del teorema di Konig - Huygens - Steiner? Perchè? L'energia cinetica viene considerata relativamente ad un'asse passante per l'asse principale della sfera. Perchè si prende in considerazione allora? E nel caso b, come fare?
Sono fermo al punto a. In presenza di una superficie scabra si origina una forza di attrito f, di direzione opposta rispetto alla componente della forza peso parallela al piano inclinato. Tuttavia, stante il fatto che le forze di attrito nel moto di puro rotolamento originano lavoro nullo, ho applicato il principio di conservazione dell'energia meccanica. Il problema si ferma sull'energia cinetica. Io avrei uguagliato l'energia potenziale all'energia cinetica data come prodotto di momento d'inerzia per il quadrato della velocità angolare, mentre il testo suggerisce l'applicazione del teorema di Konig - Huygens - Steiner? Perchè? L'energia cinetica viene considerata relativamente ad un'asse passante per l'asse principale della sfera. Perchè si prende in considerazione allora? E nel caso b, come fare?
Risposte
Se provi un attimo a fare i conti vedi che il risultato è lo stesso.
Il libro fa $I=2/5mR^2+mR^2 =7/5mR^2$ (H-Steiner), poi $E=1/2I\omega^2 = 1/2 7/5 mR^2 v^2/R^2 = 7/10mv^2$
Tu faresti $E=1/2I\omega^2+1/2mv^2 = 1/2 2/5mR^2v^2/R^2+1/2mv^2=7/10mv^2$
Nel caso b) hai che la velocità angolare non aumenta più e tutta l'energia va solo ad accelerare il centro di massa.
Il libro fa $I=2/5mR^2+mR^2 =7/5mR^2$ (H-Steiner), poi $E=1/2I\omega^2 = 1/2 7/5 mR^2 v^2/R^2 = 7/10mv^2$
Tu faresti $E=1/2I\omega^2+1/2mv^2 = 1/2 2/5mR^2v^2/R^2+1/2mv^2=7/10mv^2$
Nel caso b) hai che la velocità angolare non aumenta più e tutta l'energia va solo ad accelerare il centro di massa.
Ops. Avevo compiuto un -non tanto piccolo- errore concettuale alle spalle. Grazie mille per l'aiuto. 
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