Esercizio corpo rigido fisica 1
ho dei problemi con questa tipologia di esercizi.
Un sistema meccanico è costituito da un disco sottile di massa Ma= 1 kg e raggio 30 cm. La densità del disco cresce linearmente con la distanza dal centro. Si determini il coeff di attrito minimo affinchè si instauri un regime di puro rotolamento su un piano inclinato di 30°. Si discuta come la condizione trovata si modificherebbe in presenza di un disco di massa pari alla massa totale del sistema descritto ma con densità uniforme. Si dica, in particolare, in quale delle de configurazioni il disco arriverebbe in fondo al piano inclinato.
SOLUZIONE
Per prima cosa ho scritto
dS=2πrdr variazione della superficie
dm=σ(r)dS infinitesimo di massa
I=∫R2 dm con intervalli 0,R
mi serve anche la massa totale che sarà l integrale di dm
Ho però dei problemi a mettere insieme queste informazioni.
I passi successivi sono di scrivere la 1 e 2 equazione cardinale metterla a sistema insieme alle condizioni di puro rotolamento , ricavare Fatt(statico) imporre Fatt<=uN e ricavare il coeff di attrito minimo.
Per quanto riguarda la condizione scriverei le formule utilizzando come momento d inerzia I=1/2Mr2 e poi mi blocco sulla discussione. Sapreste aiutarmi? scusate per la confusione
Un sistema meccanico è costituito da un disco sottile di massa Ma= 1 kg e raggio 30 cm. La densità del disco cresce linearmente con la distanza dal centro. Si determini il coeff di attrito minimo affinchè si instauri un regime di puro rotolamento su un piano inclinato di 30°. Si discuta come la condizione trovata si modificherebbe in presenza di un disco di massa pari alla massa totale del sistema descritto ma con densità uniforme. Si dica, in particolare, in quale delle de configurazioni il disco arriverebbe in fondo al piano inclinato.
SOLUZIONE
Per prima cosa ho scritto
dS=2πrdr variazione della superficie
dm=σ(r)dS infinitesimo di massa
I=∫R2 dm con intervalli 0,R
mi serve anche la massa totale che sarà l integrale di dm
Ho però dei problemi a mettere insieme queste informazioni.
I passi successivi sono di scrivere la 1 e 2 equazione cardinale metterla a sistema insieme alle condizioni di puro rotolamento , ricavare Fatt(statico) imporre Fatt<=uN e ricavare il coeff di attrito minimo.
Per quanto riguarda la condizione scriverei le formule utilizzando come momento d inerzia I=1/2Mr2 e poi mi blocco sulla discussione. Sapreste aiutarmi? scusate per la confusione
Risposte
Ti dico prima di tutto questo : la formula $I = 1/2mr^2 $ vale per un disco omogeneo , cioè con densità costante.Non vale quando la densità varia lungo il raggio .
Se immagini di "spostare" tutta la massa del disco verso la periferia , e addirittura di addensarla in un anello sottile , che abbia raggio medio uguale a $r$ , il momento di inerzia rispetto a un asse baricentrico perpendicolare al piano dell'anello vale $mr^2 $ . Questo dovrebbe suggerirti qualcosa circa il diverso comportamento che avrebbero un disco e un anello , di ugual raggio e massa , posti in cima a un piano inclinato e lasciati liberi di rotolare verso il basso .
Ti suggerisco di valutare le forze agenti , e l'accelerazione , di un corpo come questo , in grado di rotolare lungo un piano inclinato senza strisciare . Nel forum ci sono parecchie discussioni al riguardo, usa la funzione "cerca" .
Per esempio, dai un'occhiata a questo post e allo scritto sotto spoiler :
viewtopic.php?f=19&t=189380&p=8356558&hilit=rotolamento+puro#p8356558
e anche a questo :
viewtopic.php?f=19&t=133401&hilit=+rotolamento+disco#p853696
Richiamo la tua attenzione su questa frase dell'ultimo messaggio citato :
Per tornare all'esercizio, sei in grado di trovare il momento di inerzia rispetto all' asse baricentrico perpendicolare al piano del disco , con la densità che varia linearmente dal centro ad $R$ ?
Se immagini di "spostare" tutta la massa del disco verso la periferia , e addirittura di addensarla in un anello sottile , che abbia raggio medio uguale a $r$ , il momento di inerzia rispetto a un asse baricentrico perpendicolare al piano dell'anello vale $mr^2 $ . Questo dovrebbe suggerirti qualcosa circa il diverso comportamento che avrebbero un disco e un anello , di ugual raggio e massa , posti in cima a un piano inclinato e lasciati liberi di rotolare verso il basso .
Ti suggerisco di valutare le forze agenti , e l'accelerazione , di un corpo come questo , in grado di rotolare lungo un piano inclinato senza strisciare . Nel forum ci sono parecchie discussioni al riguardo, usa la funzione "cerca" .
Per esempio, dai un'occhiata a questo post e allo scritto sotto spoiler :
viewtopic.php?f=19&t=189380&p=8356558&hilit=rotolamento+puro#p8356558
e anche a questo :
viewtopic.php?f=19&t=133401&hilit=+rotolamento+disco#p853696
Richiamo la tua attenzione su questa frase dell'ultimo messaggio citato :
Se metti in cima a uno stesso piano inclinato una sfera, un cilindro pieno, un cilindro cavo, quale di questi tre corpi arriva prima in fondo ? E la massa, c'entra qualcosa?
Per tornare all'esercizio, sei in grado di trovare il momento di inerzia rispetto all' asse baricentrico perpendicolare al piano del disco , con la densità che varia linearmente dal centro ad $R$ ?
Niente, solo silenzio. Non ti viene a mente nulla? Ti do una piccola spinta .
LA densità superficiale varia linearmente dal centro alla periferia , quindi si può dire che : $ sigma(r) = kr $ , con $k$ costante di dimensioni $[ML^-3]$ . Per trovare $k$ , si può sfruttare il fatto che è data la massa $M$ del disco , e quindi scrivere :
$ds = 2pirdr$ (superficie elementare )
$dm = sigma(r) ds = 2pikr^2dr$
$M= int_0^Rsigma(r) ds = int_0^R2pikr^2dr = 2pikR^3/3$
da cui si ha che : $k = 3/2M/(AR) rarr$
Trovata la densità , per calcolare il momento di inerzia del disco rispetto all'asse baricentrico normale al piano si scrive :
$I = int_0^R r^2 dm $
e si procede in maniera analoga a prima . Ora continua tu .
LA densità superficiale varia linearmente dal centro alla periferia , quindi si può dire che : $ sigma(r) = kr $ , con $k$ costante di dimensioni $[ML^-3]$ . Per trovare $k$ , si può sfruttare il fatto che è data la massa $M$ del disco , e quindi scrivere :
$ds = 2pirdr$ (superficie elementare )
$dm = sigma(r) ds = 2pikr^2dr$
$M= int_0^Rsigma(r) ds = int_0^R2pikr^2dr = 2pikR^3/3$
da cui si ha che : $k = 3/2M/(AR) rarr$
$rarr sigma(r) = 3/2 M/(AR) r $
Trovata la densità , per calcolare il momento di inerzia del disco rispetto all'asse baricentrico normale al piano si scrive :
$I = int_0^R r^2 dm $
e si procede in maniera analoga a prima . Ora continua tu .
ciao shackle ero impegnatissimo in facoltà scusami, allora (correggimi se sbaglio, dicendo che la densità cresce linearmente con il raggio suppongo che la densità sia pari a kr?), ricavo la massa totale sapendo che è pari all integrale tra zero ed R della densità per dm da qui ne ricavo k che sostituisco nella densità calcolo il momento d' inerzia mi esce 1/5 MR^2 potrebbero esserci errori nel fattore numerico ma la forma è corretta).
successivamente uso le leggi cardinali e la disugualianza per trovare il coeff d'attrito affinche si abbia il moto di puro rotolamento, un dubbio la massa da utilizzare sarà m=1kg?
per quanto riguarda la discussione dovrei confrontare un disco e un anello. ti ringrazio per il tuo tempo
successivamente uso le leggi cardinali e la disugualianza per trovare il coeff d'attrito affinche si abbia il moto di puro rotolamento, un dubbio la massa da utilizzare sarà m=1kg?
per quanto riguarda la discussione dovrei confrontare un disco e un anello. ti ringrazio per il tuo tempo
"mirco001":
ciao shackle ero impegnatissimo in facoltà scusami, allora (correggimi se sbaglio, dicendo che la densità cresce linearmente con il raggio suppongo che la densità sia pari a kr?), ricavo la massa totale sapendo che è pari all integrale tra zero ed R della densità per dm da qui ne ricavo k che sostituisco nella densità calcolo il momento d' inerzia mi esce 1/5 MR^2 potrebbero esserci errori nel fattore numerico ma la forma è corretta).
Con la densità che varia linearmente dal centro alla periferia : $sigma(r) = kr = 3/2M/(AR) r $ , il momento di inerzia e':
$I = int_0^R r^2dm = int_0^R 2\pikr^4dr = 2\pikR^5/5 = 3/5MR^2 = 0.6 MR^2 $
Come vedi, e' maggiore del valore $0.5MR^2$ che si ha per il disco omogeneo.
successivamente uso le leggi cardinali e la disugualianza per trovare il coeff d'attrito affinche si abbia il moto di puro rotolamento, un dubbio la massa da utilizzare sarà m=1kg?
per quanto riguarda la discussione dovrei confrontare un disco e un anello. ti ringrazio per il tuo tempo
Procedi pure, nei link hai tutti gli strumenti e i passaggi. La massa e' quella data , e cioe' $M=1kg$ . Ma alla fine la massa scompare, conta il raggio di inerzia del corpo $sqrt(I/M) $ e quindi il coefficiente adimensionale $I/(MR^2)$, nella determinazione della accelerazione del CM del corpo e della forza di attrito.
tutto chiaro ora, ti ringrazio per il tuo tempo
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