Esercizio corpo rigido: asta e punto materiale
Un'asta di lunghezza L= 2 m e massa M= 9 m è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo A. Un punto materiale di massa m è attaccato al centro dell'asta. Il sistema viene lasciato andare da una posizione che forma un angolo $alpha$= 60° con la verticale. Quando raggiunge la posizione verticale m si stacca dall'asta. Determinare:
- il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse di rotazione;
- la velocità angolare del sistema nell'istante in cui raggiunge la posizione verticale;
- la velocità di v_0 di m in tale istante;
- la velocità angolare dell'asta subito dopo il distacco.
- Sapendo che m tocca il suolo ad una distanza d= 2.75 m da O, determinare l'altezza h.
Per il momento d'inerzia: $I_0= I_asta+I_m$
$I_0= 1/12 ML^2 + M L^2 /4+ mL^2 /4= 39/12 m L^2$
Per calcolare la velocità angolare del sistema nell'istante in cui raggiunge la posizione verticale, prima calcolo la posizione del CM.
CM= L/2
$y_CM= L/2 cos alpha$
Ora utilizzo la conservazione dell'energia meccanica: $E_I=E_f$
$(m+M) g y_CM= 1/2 I_0 w_0^2$
$w_0= 5.49 (rad)/ s $
Per calcolare la velocità $v_0$ di m in tale istante pongo: $v_CM=v_0$
$v_CM= w* L/2= 5.49 m/s$
Non avendo i risultati non so se fin qui ho fatto bene, ma il quarto quesito non riesco a capirlo poiché solitamente studio gli urti e non i distacchi.
- il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse di rotazione;
- la velocità angolare del sistema nell'istante in cui raggiunge la posizione verticale;
- la velocità di v_0 di m in tale istante;
- la velocità angolare dell'asta subito dopo il distacco.
- Sapendo che m tocca il suolo ad una distanza d= 2.75 m da O, determinare l'altezza h.
Per il momento d'inerzia: $I_0= I_asta+I_m$
$I_0= 1/12 ML^2 + M L^2 /4+ mL^2 /4= 39/12 m L^2$
Per calcolare la velocità angolare del sistema nell'istante in cui raggiunge la posizione verticale, prima calcolo la posizione del CM.
CM= L/2
$y_CM= L/2 cos alpha$
Ora utilizzo la conservazione dell'energia meccanica: $E_I=E_f$
$(m+M) g y_CM= 1/2 I_0 w_0^2$
$w_0= 5.49 (rad)/ s $
Per calcolare la velocità $v_0$ di m in tale istante pongo: $v_CM=v_0$
$v_CM= w* L/2= 5.49 m/s$
Non avendo i risultati non so se fin qui ho fatto bene, ma il quarto quesito non riesco a capirlo poiché solitamente studio gli urti e non i distacchi.
Risposte
Non ci sei.
Il momento di inerzia non puo' essere. Hai sommato M e m???
Poi non capisco la formula della conservazione dell'energia. Manca un termine L/2 dal momento che metti 0 l'energia potenziale nel perno. Poi sembra dimensionalmente errato(c'e' un M(M=m) al primo membro.
Quando si stacca, il centro di massa cammina come un punto materiale di massa M=m, e ruota su se stesso con la velocita' angolare. Quindi, basta vedere quando impatta un degli estremi della barra
Il momento di inerzia non puo' essere. Hai sommato M e m???
Poi non capisco la formula della conservazione dell'energia. Manca un termine L/2 dal momento che metti 0 l'energia potenziale nel perno. Poi sembra dimensionalmente errato(c'e' un M(M=m) al primo membro.
Quando si stacca, il centro di massa cammina come un punto materiale di massa M=m, e ruota su se stesso con la velocita' angolare. Quindi, basta vedere quando impatta un degli estremi della barra
$I_0 = 1/3 M L^2 + mL^2/4 = 1/3*9m*L^2 + mL^2/4 = (13)/4mL^2$ .
Quindi $I_0 $ calcolato da mircosam va bene .
Quindi $I_0 $ calcolato da mircosam va bene .
M= 9m quindi ho fatto una semplice sostituzione; alla conservazione dell'energia ho sbagliato a scrivere al pc: $(m+M) g y_C= 1/2 I_0 w_0^2$ inoltre $y_C= L/2 cos alpha$
professorkappa non ho capito il tuo consiglio per la velocità angolare dopo il distacco.
Il CM del sistema è a metà dell'asta, cioè coincide con la massa $m$ . Orienta l'asse $z$ verticale verso il basso. La quota del CM passa da $L/2cos60°= L/4$ a $L/2$. Cioè il CM nella rotazione di 60° si abbassa di $L/4$ .
LA corrispondente diminuzione di energia potenziale è quindi : $ (m+M)g*L/4$ . A tale diminuzione corrisponde un incremento di energia cinetica del sistema uguale a $1/2I_0\omega^2$ . Perciò deve essere :
$ (m+M)g*L/4 = 1/2I_0\omega^2 $
Da qui io ricavo che : $\omega ^2 = (20)/(13) g/L $ . E sostituendo i valori trovo : $\omega = 2.747 (rad)/s $ .
Controlla questi passaggi.
LA corrispondente diminuzione di energia potenziale è quindi : $ (m+M)g*L/4$ . A tale diminuzione corrisponde un incremento di energia cinetica del sistema uguale a $1/2I_0\omega^2$ . Perciò deve essere :
$ (m+M)g*L/4 = 1/2I_0\omega^2 $
Da qui io ricavo che : $\omega ^2 = (20)/(13) g/L $ . E sostituendo i valori trovo : $\omega = 2.747 (rad)/s $ .
Controlla questi passaggi.
hai ragione, è stato un mio errore accidentale. E la velocità $v_0$ di m va bene?
"navigatore":
$I_0 = 1/3 M L^2 + mL^2/4 = 1/3*9m*L^2 + mL^2/4 = (13)/4mL^2$ .
Quindi $I_0 $ calcolato da mircosam va bene .
Ah, non ho visto M=9m. O meglio, nella fretta credevo fosse la lunghezza della barra (9metri!)
La velocità del CM nell'istante in cui l'asta raggiunge la posizione verticale, prima che la massa $m$ si stacchi dall' asta, è data semplicemente da : $v = omega*L/2$ . Questo è pacifico.
MA più interessante è vedere che cosa succede immediatamente dopo questo istante, perché $m$ si stacca dall'asta.
Quindi, secondo me, la massa $m$ non procede orizzontalmente (nel solo istante seguente il distacco, è chiaro) con la velocità appena calcolata . Bisogna invece trovarla, e trovare la nuova velocità angolare dell'asta, applicando un paio di principi di conservazione .
Quali?
MA più interessante è vedere che cosa succede immediatamente dopo questo istante, perché $m$ si stacca dall'asta.
Quindi, secondo me, la massa $m$ non procede orizzontalmente (nel solo istante seguente il distacco, è chiaro) con la velocità appena calcolata . Bisogna invece trovarla, e trovare la nuova velocità angolare dell'asta, applicando un paio di principi di conservazione .
Quali?
E' proprio questo il punto dove mi bloccavo poiché sono abituato alla situazione opposta. Comunque penso conservazione dell'energia cinetica e del momento angolare.
Direi proprio di sì . Vai .
ciao, scusate se riesumo questo post vecchissimo, ma mi sono imbattuta nello stesso problema e non riesco a risolvere i punti 3 e 4, ossia omega dell'asta dopo il distacco e h
qualcuno potrebbe aiutarmi?
qualcuno potrebbe aiutarmi?
qualcuno può far vedere gli ultimi passaggi per trovare omega?
"ninettaway":
qualcuno può far vedere gli ultimi passaggi per trovare omega?
Prova a scrivere prima l'equazioni di conservazione dell'energia cinetica e poi del momento angolare (rispetto all'estremo attorno cui ruota l'asta) tra prima e dopo il distacco.
ciao!
Innanzitutto grazie per la risposta
ho proceduto proprio così,ma non arrivo ad un risultato concreto, quindi probabilmente sbaglio qualcosa
avrei bisogno di vedere proprio lo svolgimento
Innanzitutto grazie per la risposta
ho proceduto proprio così,ma non arrivo ad un risultato concreto, quindi probabilmente sbaglio qualcosa
avrei bisogno di vedere proprio lo svolgimento
per favore ho l'esame a breveee 
"ninettaway":
ciao!
ho proceduto proprio così,ma non arrivo ad un risultato concreto, quindi probabilmente sbaglio qualcosa
avrei bisogno di vedere proprio lo svolgimento
Anche noi avremmo bisogno di vedere il TUO svolgimento... non crediamo che darti la soluzione precotta ti sia di gran giovamento...
che gentilezza e simpatia… ho solo chiesto una mano perché non mi sto trovando su un punto di un problema…
non so cosa costi mostrare il procedimento o anche soltanto l’impostazione del sistema, anche perché il senso del forum è aiutare non remare contro
ho fra l’altro scritto che avevo già proceduto come mi era stato suggerito ma che non ero riuscita a risolvere …
vabbè va
non so cosa costi mostrare il procedimento o anche soltanto l’impostazione del sistema, anche perché il senso del forum è aiutare non remare contro
ho fra l’altro scritto che avevo già proceduto come mi era stato suggerito ma che non ero riuscita a risolvere …
vabbè va
Permalosetta, eh... Ma vediamo un po'. Vuoi " l’impostazione del sistema", però "avevo già proceduto come mi era stato suggerito", quindi l'hai già avuta, mi pare, però "non ero riuscita a risolvere". Si potrà presumere che hai sbagliato qualcosa? Non sarebbe il caso di capire che cosa hai sbagliato?
Comunque non disperare, magari si presenterà qualcuno più gentile e simpatico...
Comunque non disperare, magari si presenterà qualcuno più gentile e simpatico...
certamente, qualcosa l’avrò sbagliata e vorrei capire cosa per l’appunto
se l’impostazione del sistema è la stessa devo solo rivedere i calcoli, se è diversa mi renderei conto dell’eventuale errore, non mi sembra così difficile da comprendere come discorso e ragionamento.
detto ciò… permalosa bah, semplicemente non comprendo come si possa essere così poco disponibili ad aiutare su un forum nato per aiutare e soprattutto così antipatici
se l’impostazione del sistema è la stessa devo solo rivedere i calcoli, se è diversa mi renderei conto dell’eventuale errore, non mi sembra così difficile da comprendere come discorso e ragionamento.
detto ciò… permalosa bah, semplicemente non comprendo come si possa essere così poco disponibili ad aiutare su un forum nato per aiutare e soprattutto così antipatici
[xdom="Faussone"]@ninettaway
Se leggi i messaggi nello storico del forum ti renderai conto che basta davvero mostrare un minimo sforzo (riportare le formule che hai provato a buttar giù, o circoscrivere meglio il dubbio specifico ) per avere tutto l'aiuto che vuoi.
Nel 99% dei casi si riceve una risposta più che esaustiva, persino al di là dell'avere la "semplice soluzione"; il restante 1% dei casi in cui non si riceve risposta è dovuto proprio al tipo di atteggiamento che stai mostrando, quindi fai tu. Anzi come moderatore faccio presente che se qualcuno "più gentile e simpatico", come ironicamente ha scritto mgrau, intervenisse, e ti scrivesse la soluzione, senza prima un intervento con tono ben diverso da parte tua, provvederò a non rendere visibile quel messaggio.[/xdom]
Se leggi i messaggi nello storico del forum ti renderai conto che basta davvero mostrare un minimo sforzo (riportare le formule che hai provato a buttar giù, o circoscrivere meglio il dubbio specifico ) per avere tutto l'aiuto che vuoi.
Nel 99% dei casi si riceve una risposta più che esaustiva, persino al di là dell'avere la "semplice soluzione"; il restante 1% dei casi in cui non si riceve risposta è dovuto proprio al tipo di atteggiamento che stai mostrando, quindi fai tu. Anzi come moderatore faccio presente che se qualcuno "più gentile e simpatico", come ironicamente ha scritto mgrau, intervenisse, e ti scrivesse la soluzione, senza prima un intervento con tono ben diverso da parte tua, provvederò a non rendere visibile quel messaggio.[/xdom]
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