Esercizio convoluzione e trasformata fuorier

[morello92]

Data la funzione $f(x)=e^-|x|$ calcolarne la trasformata. Utilizzare in seguito tale trasformata e il teorema di convoluzione per trovare la funzione $g(x)$ tale che $\hat g$$(p)=1/((1+p^2)^2$.
Usando la definizione mi sono calcolato la trasformata che è $f(p)=2/(1+p^2)$.
Ora però non riesco a capire come col teorema della convoluzione possa ricavarmi $g(x)$.

[luperale]

L' unica cosa che mi viene in mente è che la trasformata della convoluzione è il prodotto delle trasformate. A quel punto tu hai la trasformata di f e la trasformata di g, il loro prodotto è la trasformata della convoluzione di f e g. Fai l' antitrasformata e così ti trovi g.

[morello92]

Grazie, ora provo e vedo se mi riesce.

[morello92]

Fare la convoluzione significa risolvere questo integrale?
\( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(p-x)^2+1}+\frac{1}{(p^2+1)^2}\ \text{d}p \)

[morello92]

non con il + ma con il *

[luperale]

Non devi risolvere la convoluzione devi fare la trasformata inversa

[morello92]

Ho provato a fare come dici, e grazie per la disponibilità, ma mi viene fuori un integrale ancora più difficile di quello che si ha provando a calcolare direttamente l'antitrasformata di g, e non riesco a risolverlo..

[Demostene92]

"morello92":Data la funzione $f(x)=e^-|x|$ calcolarne la trasformata. Utilizzare in seguito tale trasformata e il teorema di convoluzione per trovare la funzione $g(x)$ tale che $\hat g$$(p)=1/((1+p^2)^2$.
Usando la definizione mi sono calcolato la trasformata che è $f(p)=2/(1+p^2)$.
Ora però non riesco a capire come col teorema della convoluzione possa ricavarmi $g(x)$.

Come ha detto correttamente luperale, devi sfruttare il fatto che la convoluzione tra due funzioni coincide con il prodotto delle relative trasformate. Nello specifico hai che:

$\hat(f)(p)=2/(1+p^2), \hat(g)(p)=1/((1+p^2)^2$

Quindi, sarà sufficiente trovare una funzione $h(x)$ la cui trasformata sia $\hat(h)(p)=1/[2(1+p^2)]$.

Infatti, in tal caso hai che:

$g(x)=f(x)**h(x)->\hat(g)(p)=\hat(f)(p)\hat(h)(p)=1/((1+p^2)^2$.

L'antitrasformata $h(x)$ di $\hat(h)(p)$ è proprio $h(x)=1/4e^(-|x|)$ (sempre nell'ipotesi che il risultato da te ottenuto per $f$ sia corretto, non ho il tempo di controllare). Ma allora la tua funzione $g(x)$ è:

$g(x)=f(x)**h(x)=e^(-|x|)**1/4e^(-|x|)=1/4\int_{-\infty}^(+\infty)e^(-|x|)e^(-|x-\tau|)d\tau=$

$=1/4\int_{-\infty}^(0)e^xe^(x-\tau)d\tau+1/4\int_{0}^(+\infty)e^(-x)e^(\tau-x)d\tau=$

$=1/4\int_{-\infty}^(0)e^(2x-\tau)d\tau+1/4\int_{0}^(+\infty)e^(\tau-2x)d\tau=$

$=e^(2x)/4\int_{-\infty}^(0)e^(-\tau)d\tau+e^(-2x)/4\int_{0}^(+\infty)e^(\tau)d\tau$.

[morello92]

Grazie mille per l'aiuto ora ho capito, non so perche' ma io facevo il prodotto tra la traformata di $g(x)$ e di $f(x)$ e non la divisione, e quindi non mi tornava nulla. Grazie ancora.